专题07 三角函数恒等变换的应用（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

专题07 三角函数恒等变换的应用 目录 典例详解 类型一、给角求值 类型二、给角求值判断大小 类型三、给值求值（两角和差公式的应用） 类型四、给值求值（两角和差公式的逆用） 类型五、给值求值（弦化切） 类型六、给值求值（利用平方） 类型七、给值求值（倍角公式、半角公式） 类型八、给值求角 类型九、三角恒等变换在三角形中应用 压轴专练 类型一、给角求值 常用方法： 诱导公式法化为锐角三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限 和差化积/积化和差出现三角函数乘积时考虑目标：产生特殊角或相消项 倍角/半角公式出现角的倍数关系时使用 辅助角公式化为单一三角函数求最值/零点 代数变形技巧通分、分解因式、配方 例1．（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·月考）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A由余弦二倍角公式求解；B由余弦的两角和公式求解；C利用化简求解；D切化弦，结合两角和的余弦公式和二倍角公式求解. 【详解】A:，A正确； B： ，B错误； C：===，C正确； D： ，D正确； 故选：ACD 变式1-1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以，A错误. 对于选项B，因为， 所以，B    正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD 变式1-2．（多选）（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用切化弦与两角和与差的三角函数公式化简求值，可判断A的真假；利用两角和与差的正切公式化简求值，可判断B的真假；把用，利用两角和与差的三角公式化简求值，可判断C的真假；利用降幂公式与积化和差公式化简求值，可判断D的真假. 【详解】对A： ，故A正确； 对B： ，故B正确； 对C：，故C错误； 对D： ，故D正确。 故选：ABD 变式1-3．（多选）（25-26高三上·河北·月考）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二倍角的正切公式、和差倍角的正弦公式、诱导公式等逐项计算即可. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：ACD. 类型二、给角求值判断大小 统一函数类型：将不同三角函数化为同一种（常用正弦、余弦） 统一角度形式：将角度化为相同形式（常用弧度或角度制统一） 寻找特殊角：优先向30°、45°、60°、90°等特殊角转化 应用恒等公式：诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）;和差公式、倍角公式;辅助角公式（asinx+bcosx形式）等化简求值，然后再比较大小。 例2．（2026高一上·重庆·专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差正余弦公式、二倍角公式和诱导公式化简可得，，，由正弦函数单调性可得结果. 【详解】 ； ； ； ，. 故选：D. 变式2-1．（25-26高一上·河南郑州·期末）若，，，那么、、的大小关系为 （按从小到大排序） 【答案】 【分析】利用两角差的正弦求得，利用同角三角函数关系式和二倍角公式化简，利用两角差的正切化简，比较大小得到结果； 【详解】因为， ， ， 因为时，，所以，所以，故 故答案为：. 变式2-2．（2025高三·全国·专题练习）若，，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角恒等变换化简各式，再由正弦函数的单调性进行判断． 【详解】， ， ， ． 由正弦函数的单调性，得． 故选：B 变式2-3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将、、进行化简，利用正弦函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为， ， ， 且函数在上为增函数，且， 所以，，即. 故选：B. 类型三、给值求值（两角和差公式的应用） 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。常见的一些拆角： 2、 在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 3、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 4、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 例3．（25-26高一上·陕西西安·期末）若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 【答案】D 【分析】先由，运用正切的差角公式计算出，再利用正切的二倍角公式，解得. 【详解】 ， 又因为， 则， 令，则有， 解得或，即或. 故选：D. 变式3-1．（25-26高一上·山东济南·月考）已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 变式3-2．（多选）（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由同角三角函数关系可得，再结合诱导公式及和差角公式，及二倍角公式计算可得. 【详解】由，，再由同角三角函数基本关系式得. 由诱导公式，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 变式3-3．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】，， 又由，得，即， ，即． 故选：D 类型四、给值求值（两角和差公式的逆用） ①； ②； 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 对于两角和差的正切公式的逆用: 例4．（25-26高二上·江苏南京·月考）若，为第二象限角，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的余弦公式化简已知条件，可得，从而可得，再结合正切两角和公式即可求解. 【详解】由， 则，又为第二象限角，所以，所以， 所以，故A正确． 故选：A． 变式4-1．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 变式4-2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先将已知等式化简得到与的关系，再逐一验证选项是否满足该关系. 【详解】已知， 变形可得： 因此（）. 对于选项A：，时，则，成立. 对于选项B：，时，则，成立. 对于选项C：时，则，故该情形不成立. 对于选项D：，时，则，成立. 故选：C 变式4-3．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则 . 【答案】 【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 类型五、给值求值（弦化切） 1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造 2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 例5．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】利用正切的两角差公式求出，然后化为齐次式，弦化切即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故答案为： 变式5-1．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由，得，代入，结合同角三角函数的平方关系，化简可得. 【详解】由，得. 由，得 所以. 故答案为：. 变式5-2．（福建省三明市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知，则 ． 【答案】 【分析】先讨论的情况，结合同角三角函数的平方关系排除矛盾，再运用同角三角函数的基本关系（切弦互化），并根据两角差的正切公式化简，最后代入求解即可. 【详解】由题意得，即， （若 ，则 ，与 矛盾，故 .） 所以两边同除以 ：， 所以，即 ， 又因为， 代入 和 ： 所以. 故答案为：. 变式5-3．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用弦化切可求三角函数式的值. 【详解】由， 则 ， 故答案为：. 类型六、给值求值（利用平方） 1、对通过该关系式可以对与进行互化。 2、遇到式子时，可以考虑平方相加。 3、遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。 例6．（多选）（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据同角三角函数基本关系以及平方关系计算可得A正确，结合角所在象限可得，联立解方程组可求得正弦、余弦值可判断BCD. 【详解】易知， 可得，A正确； 由，得，所以， 所以，C正确； 联立，解得，则，B正确； ，D错误. 故选：ABC. 变式6-1．（多选）（25-26高一上·陕西西安·期末）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件和同角三角函数的平方关系可得，计算，结合三角函数的正负可得，进而可得逐项判断. 【详解】∵， ∴，即， ∴，D错误； ∵，∴，∴， ∴， ∴，C正确； 由，得， 则，选项A正确，选项B正确. 故选：ABC 变式6-2．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若，则 ， . 【答案】 / / 【分析】应用平方关系及的关系求目标函数值. 【详解】由题设， 所以，则， 由. 故答案为：， 变式6-3．（25-26高三上·浙江·月考）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 类型七、给值求值（倍角公式、半角公式） 二倍角公式 ①； ②； ③； 降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 半角公式 ①； ②； ③； 例7．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的余弦公式及二倍角公式求值即可. 【详解】由，， 可得， 所以， 所以. 故选：D 变式7-1．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合诱导公式求得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】因为， 又，所以， . 故选：C. 变式7-2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 ，且 是方程 的两个根，则 . 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系，再利用二倍角公式可求得答案. 【详解】是方程 的两个根, 根据韦达定理，得，， 又，且， ，， 则，，故， 设，则，由二倍角公式，得， 即，解得， 又，. 故答案为：. 变式7-3．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】对原等式两边同平方并结合二倍角的正弦公式得，再缩小的范围，最后利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】，两边同平方得， 即，即，因为， 则，又因为，则， 则，则， 则. 故答案为：. 类型八、给值求角 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 例8．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 变式8-1．（25-26高一上·上海·月考）已知，且满足，则 ． 【答案】/ 【分析】根据两角差的余弦公式得，再根据角的范围求解. 【详解】根据题意，， 因为，则， 所以，则. 故答案为： 变式8-2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 变式8-3．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 类型九、三角恒等变换在三角形中应用 利用三角形内角和 的隐含条件，结合三角恒等式将条件式转化为仅含单一角度或可判断的形式。 例9．（2025·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】分析可知、都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出，由此可得出结论. 【详解】在中，内角、满足， 由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角， 不妨设为锐角，则，从而，故为锐角， ， 故角为锐角，从而可知为锐角三角形， 故选：A. 变式9-1．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，则此三角形是 三角形． 【答案】等边 【分析】利用两角和正切公式求出，再由二倍角正弦公式求得，从而得解. 【详解】由， 得，即， 由，得，所以或． 由得，与有定义矛盾，所以只能． 所以是等边三角形． 故答案为：等边 变式9-2．（2025·山东聊城·模拟预测）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 变式9-3．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）计算 (1)求的值. (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）由，利用两角差正切公式可整理得到结果. （2）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； （3）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， ， 所以原式． （2）原式 ； （3）原式 . 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式与和差角的正切公式化简计算，再根据正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】因， ， ， 又因函数在第一象限是增函数，故，即. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津·期末）已知为第一象限角，，，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系，得，再由进行求解. 【详解】因为为第一象限角，则， 又，可知为第一象限角， 所以，所以， 又， 所以 . 故答案为： 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知，则正实数的值为 . 【答案】 【分析】考查转化与化归思想，利用三角恒等变换求解. 【详解】设， 则, , 解得, 由, 即,解得或（舍去）， 故答案为： 5．（2025·河南·三模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用两角和差公式可得，进而可得，进而可求. 【详解】因为， 即，可得， 即，． 因为，则， 可得， 又因为， 可得． 所以． 故选：D. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知，则 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 7．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知，则 ． 【答案】/1.2 【分析】利用同角三角函数关系化简，再结合求解. 【详解】由， 可得 即, 故答案为：. 8．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知，. (1)求的值. (2)求的值. (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解； （2）由（1），可得，则，从而可得出答案； （3）根据，结合正余弦的符号去掉根号，化简，从而可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，，所以， 所以原式=； （3）由（2）得， 则 . 9．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角的三角函数关系得到，再利用差角的正切展开式结合同角的三角函数关系解方程组可得； （2）方法一：由差角的正切公式结合特殊角的正切值可得；方法二：由同角的三角函数关系结合两角和的余弦展开式可得. 【详解】（1）由，为锐角，则， 又，则， 所以， 即， 所以……①   又……② 由为锐角，由①②解得：． （2）由（1）知，又， 即． 由，且，则，所以， 又，则，所以． 法二：因为，为锐角，，，解得：，， 由，又， 所以， 则 ， 由，且，则，所以， 又，则，所以． 10．（2025高三·全国·专题练习）在中，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【详解】左边 . ∴原等式成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07三角函数恒等变换的应用 目录 典例详解 类型一、给角求值 类型二、给角求值判断大小 类型三、给值求值（两角和差公式的应用） 类型四、给值求值（两角和差公式的逆用) 类型五、给值求值（弦化切) 类型六、给值求值（利用平方） 类型七、给值求值（倍角公式、半角公式） 类型八、给值求角 类型九、三角恒等变换在三角形中应用 压轴专练 典例详解 类型一、给角求值 常用方法： 诱导公式法化为锐角三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限 和差化积积化和差出现三角函数乘积时考虑目标：产生特殊角或相消项 倍角/半角公式出现角的倍数关系时使用 辅助角公式化为单一三角函数求最值/零点 代数变形技巧通分、分解因式、配方 例1.（多选)(25-26高一上安徽阜阳月考)下列各式中，值为5的是（) Aos5-sm没 12 B.sin51°sin9°-sin141°cos9o 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C. 2cosl0°-sin20▣ 2c0s20☐ D.sin 500(1+13 tan10o 变式1-1.（多选）（25-26高一上·全国·课后作业)下列化简正确的是() A.tan48+an72°-5 tan48tan72° B.cos82sin52°+sin82cos128°=- 3 C.16sin10°c0s20°c0s30°c0s40°=√5 D.1 V3 =4 sinl0°cos10° 变式1-2.（多选）(2025高三上湖北黄冈·专题练习)下列等式成立的有() A.sin 40(tan 10-3)=-1 B.tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=√3 C.2cos10°-sin20 =-5 D.sin'a+cos(+sina cos( c0s20° 6 变式1-3.（多选）(25-26高三上·河北月考)下列各式化简结果为-√3的有() A.3cos275°-sin275°-1 B. 1-tan275 1+tan275 C.cos34°-2sin64 D. sin40°+sin80 sin34 cos160 类型二、给角求值判断大小 统一函数类型：将不同三角函数化为同一种（常用正弦、余弦） 统一角度形式：将角度化为相同形式（常用弧度或角度制统一） 寻找特殊角：优先向30°、45°、60°、90°等特殊角转化 应用恒等公式：诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）；和差公式、倍角公式：辅助角公式(asinx+bcosx 形式)等化简求值，然后再比较大小。 例2.（2026高-上重庆专题练习)设a=c0s50c0s127°+c0s40°sin127°，b=5 sin56°-cos56）, c=1-tan239 ,则a,b,c的大小关系是() 1+tan239° A.a>b>c B.bxa>c C.c>axb D.a>c>b 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式21.(25-26高一上河南郑州期末)若p=5nc。 218 2cos 2tan20° V3-tan20° 18 1+tan220°’r= ，9= 那 1+√3tan20° 么P、9、r的大小关系为（按从小到大排序） 变式2-2.（(2025高三全国专题练习》若a=5s血56°-c0s569,b=60s50e0s128+60540e038, 2 c=1-tan24030 1 ,d=。(cos80°-2cos250°+1，则a,b,c,d的大小关系为() 1+tan240°30' A.axbxcxd B.b>axdxc C.d>axbxc D.c>a>d>b 变式23.(2425高一下湖北武汉月考)设a=c0s6- 2tan13' 1-cos50° -sin6°，b= 1+tan213°’c= 则有 2 2 2 () A.axb>c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 类型三、给值求值（两角和差公式的应用）》 两角和与差的正余弦与正切 ①sin(ax±B)=sinacosB±cosasinB ②cos(a±β)=cosacosB干sinasinB: ③tan(u士P)=平anaa平 tana±tanB; 在运用两角和与差的三角函数公式时，若己知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。 1、注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个己知三角函数值的角。常见的一些拆角： 2a=(+月+(a-ya=(a+-B=学+9 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 3、对sinc士B)=sinacos3士cosasinB而言，可以把sinacosB,cosasinB看着两个整体，通过 直接求这两个值来求sim(&±B)。通常条件中出现sin(a+sin(a-B)器三者关系时。 4、对cos(ax士)=cosacos阝千sinasinB而言，可以把cosacosB,sinasinB看着两个整体，通过 直接求这两个值来求cos(ax士)。通常条件中出现cos(a+),cos(a-B)、tand·ta邛三者关系时。 例3.(2526高一上啖西西安期末)若a1e-B1-3,m3a-2B)=号，则am(号-a() A-3或 B-或号 C.-2或) D.或2 变式31.(256离-上山东济南月考)已如B引mla+识，m9-分则sma等于《) 4 A.② B.4V2 C.32 D.32 3 11 11 4 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2.（多选）(25-26高一上·湖南邵阳·期末)已知0<a<π， cosa 5,则() A.sin(π-a)= 6 a-3=6 3 B.cos a-23 C.sin2+=1 -42 +2F3 D. tan2a+π）= 4 7 变式33.(2526高-上云南昆明期末)已知sina+)-号ma=2EmB,则sincos=() A5 B. 2 C. 类型四、给值求值（两角和差公式的逆用） ①sinacosB±cosasinB=sin(a±f): ②cosacosB干sinasinB=cos(au±f) 通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。 对于两角和差的正切公式的逆用： tana+t点nB 1-tanatanB =tan(a+B) tana+tanB+tan(a+B)tanatanB=tan(a+B) 例4.(25-26高二上江苏南京月考)若sina-B)simB-cos(a-B)cosB=,a为第二象限角，则 tan(a+交)=() 4 A.7 1 B. 7 C.-7 D.7 4,(2025四川成都模拟预测)已知sina-B)cosa-cosB-a)sina三，B是第三象限 的值为() A.② B. 7W2 C.5 D._72 10 10 10 10 x 变式4-2.(25-26高一上·浙江宁波期末)己知实数x,y满足1-tan。=1+tan。tany,则下列情形不成立的 20 2 是() A. π 3y=12 B.x= 4 8 C.x=y 5 π 10 D.x=y= 6 变式43.(25-26高一上江苏无锡月考>若e+B-经，则1-ma1-am倒= 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、给值求值（弦化切） 1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除 cos或除cos2a来构造tana 2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1=cos2Q十sin2”来构造一个二次的分式 齐次式，上下同除cos2a,从而得到tan2a π 1 例5.（25-26高一上新疆喀什期末)己知tana- =2,则 4 sin 2a-cos-a 变式5-l.(25-26高一上内蒙古鄂尔多斯期末)已知tana=4,则sina+cosa sinacos'a 变式5-2.（福建省三明市2025.2026学年高一上学期期末数学试题）已知，c0sa 1 2cosa+sina4,则 变式5-3.(25-26高一上陕西商洛期末)已知tana=2,则3sina-2cosa sina +3cosa 类型六、给值求值（利用平方） 1、对(sina±cosa)2=cos2a+sin2a+2 sinacosa=1+2 sinacosa通过该关系式可以对 sina士cosa与sinacosa进行互化。 2、遇到asia+bcosB与acosa-bsinB式子时，可以考虑平方相加。 3、 遇到asina十bcos时，可以考虑构造对偶式acosa-bsina,平方相加后求值。 例6.（多选）(25-26高一上河南郑州期末)已知-不<x<0,sinx+cosx= 2 5,则() 12 3 A.sin x cosx=- B.tanx=- 25 4 C.sinx-cosx=- 1+sin 2x 1 5 D. 2cos2x+sin 2x 8 变式61.（多选）(25.26高一上陕西西安期末)已知0元.cos0+sim0= 2,则下列结论正确的是 5 () 2W5 A.cos0=- 5 B.tan0=-1 2 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.sin0-cos0=35 5 D.sin0cose=2 5 变式6-2.(25-26高一上贵州贵阳期末)若cosa+sina= ,则sina cosa= 2 cos*a sina 变式6-3.(25-26高三上·浙江月考)已知a∈0， 且meosa+ncos=m,msina-nsin&=n(mm≠0)， 2 2 则cosa=() 1 A. B. C. D. 2 3 3 类型七、给值求值（倍角公式、半角公式) 二倍角公式 ①sin2a=2 sinacosa: 2cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sina ③tan2c= 2tana 1tan'a 降幂公式 sin2a=上co2g cos2a=ltcos2a 2 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 半角公式 ①sina=2sin号cos号： ②c0sa=c0s2号-sin2号=2c0s2号-1=1-2sin2号 2tan号 ③tan= 上an9 例7.(25-26高一上·广东东莞期末)已知cos(a-B)= 2v2 .sina sin B= 则c0s(2a+2B)=() 6 7 C.5 5 B.- D. 9 变式7-1.(25-26高一上河北唐山期末)己知sina+ A号 C.、7 D.25 7 25 变式7-2.(25-26高一上·上海杨浦期末)己知a,Be(0,π)，且tana,tanB是方程3x2+10x+8=0的两 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个根，则tana+ 2 变式23。〈2526商-上山东相台期术)已知sna-osu-5,ae0,则os2a的值为 类型八、给值求角 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在 讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生 增根。 例8.(25-26高一上湖南郴州期末)已知a,B都是锐角，sina=0 。,cos+B)=Y2，则B=() 5 A君 B c. 5π D. 12 变式8-1.(25-26高一上·上海·月考)己知a∈(0，π，且满足cosacos 2 2π1 -sinasin- 9 92’则 a= 变式82.（2425商-下江赤能江期未)已知a,B为悦角，ama=},cosa+)=-日，则2u+B的 10 值为() A.3元 B. D. 7π 4 4 4 变式8-3.（24-25高二下陕西榆林期末)已知tana= 1-sin ,且a,B0,2 则下列选项正确的是() cosB A.a+B= 2 B.2a- D.2a+B=π 类型九、三角恒等变换在三角形中应用 利用三角形内角和A+B+C=π的隐含条件，结合三角恒等式将条件式转化为仅含单一角度或可判断 的形式。 例9.(2025河南模拟预测)在ABC中，内角A、B满足tanAtanB=3,则ABC为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 变式91.(2025高三全国专题练习)己知在ABC中，an4+anB+5=5an4ianB,sindcos4=5 则此三角形是 三角形. 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式9-2.(2025山东聊城模拟预测)在4BC中，A,B,C成等差数列若c0s4+cosC=6+巨，则下 4 列结论正确的是() A.cos(4+C)=_1 B.cos(4-B)=+ 4 C.cos(B-C)=6- 4 D.cos(4-C) 2 变式93.(2425高-下上海徐汇开学考)试在4BC中，者sin BsinC=co心号，测4BC一定是（) A.等腰三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 压轴专练 1.(25-26高一上江苏无锡·月考)计算 )求an20°+iam40°+an120°的值 tan20°tan40° (2)tan70cos10(V5tan20°-1； (3)sin501+V3tan10） 1-cos46° tan71°-tan26° 2.(24-25高一下.四川成都期末)己知a=cos233°-sin233°，b= ,C= 1+an71°tan26’则 a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c 32S26商-上天津期末)已a为第象限角，m口-引-子m0+引-吕，则 tana+β）= 4.(2526高-上上海灌东新期末)已知co2a一引-号man。-引-p,则正实数P的m 为 5.(225润育三骏)已鬼3sa2a+B)coB=3cs2a+jsnB+1,且ae气得引，则ama+引-（) A.-4 B.-22 C.-2 D.-V2 6.(25-26高一上浙江杭州期末)己知tana=-2,则sina·cosa=_ 7.(25.26高一上湖南湘西，期末)已知ana=2,则ina+2cosa+sinacosa= 3sina-cosa 8/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 8.(2025高一上溯北武汉专题练习)已知sina+cos=2,0<a<. (I)求sina cosa的值 (2)求V1-cos2a+V1-sin2a的值 (3)求 1-sina 1-cos0的值 1+sina V1+cosa 92425膏-下江苏镇江月考)已知a,B为锐角，ma-}且cs1a+创=- 10 (I)求sinB的值； (2)求角2a+B的值. 10.(2025高三·全国专题练习)在ABC中，求证：sin2A+sin2B+sin2C-2 cos Acos B cos C=2 9/9