6.1 第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理的应用，通过数字排列、抽取分配、涂色问题等典例导入，以“学透用活—方法技巧—对点练清”为支架，衔接原理基础与实际应用，构建知识脉络。 其亮点在于以典例为载体，通过分类分步逻辑推理培养数学思维，用规范解题步骤强化数学语言表达，如数字排列中“0”的特殊处理、涂色问题的分步策略。帮助学生提升抽象能力与应用意识，教师可依托此系统教学，提高效率。

6.1 第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 题型一 数字排列组数问题 【学透用活】 [典例1] 有0,1,2,3,4五个数字,则: (1)可以排成多少个三位数? (2)可以排出多少个三位数字的电话号码? (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? [解] (1)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种排法,第二、三位可以排0,因此,共有4 5 5=100个. (2)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5 5 5=53=125个. (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类:一类是末位数字是0,则有4 3=12种排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2 3 3=18种排法.因而有12+18=30种排法,即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. [方法技巧] 解决组数问题的方法 (1)对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成.如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解. (2)解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.排数时,要注意特殊元素、特殊位置优先的原则. [提醒] 数字“0”不能排在两位数或两位以上的数的最高位. 2 【对点练清】 1.在本例条件下,可以排成多少个无重复数字的四位奇数? 解:完成“排成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步.第1步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第2步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第3步、第4步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2 3 3 2=36个. 2.在本例条件下,可以排成多少个能被3整除的四位数? 解:一个四位数能被3整除,必须各位上数字之和能被3整除,故排成四位数的四个数字只能是0,1,2,3或0,2,3,4两类.所以满足题设的四位数共有2 3 3 2 1=36个. 题型二 选(抽)取与分配问题 【学透用活】 [典例2] 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法? [解] 法一.分四类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3 2=6种选法.第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3 2=6种选法.第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有2 2=4种选法.第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2 1=2种选法. 故不同的选法共有6+6+4+2=18种. 法二.分两类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7人中还有4人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,有3 4=12种选法.第2类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7人中还有3人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,有2 3=6种选法. 故不同的选法共有12+6=18种. [方法技巧] 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法: ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,就按分步进行;若按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 【对点练清】 1.有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛,则不同的选派方案有 ( ) A.28种 B.30种 C.27种 D.29种 解析:有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,则有2人既会踢足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人只会踢足球,所以选派的方案有四类:选派两种球都会的运动员有2种方案;选派两种球都会的运动员中一名踢足球,只会打篮球的运动员打篮球,有2 3=6种方案;选派两种球都会的运动员中一名打篮球,只会踢足球的运动员踢足球,有2 4=8种方案;选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球,有3 4=12种方案.综上可知,共有2+6+8+12=28种方案,故选A. 答案:A 2.高二年级的三个班学生去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有 ( ) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 解析:根据题意,若不考虑限制条件,每个班都有4种选择,共有4 4 4=64种情况,其中甲工厂没有班去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班都有3种选择,共有3 3 3=27种方案,则符合条件的有64-27=37种. 答案:C 题型三 涂色问题 【学透用活】 [典例3] 用3种不同颜色填涂图中A,B,C,D四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案? [解] 涂A区域有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,由分步乘法计数原理,将A,B,C,D四个区域涂色共有3 2 2 2=24种不同方案. A B C D [方法技巧] 求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用方法有: (1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析. (2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析. (3)根据不同要求,涂色问题可以采用分类法,也可以采用分步法,有时分类中又有分步,或者一个步骤中又有分类,这时要处理好“类中有步”“步中有类”的关系,为避免出错,在解题时一定要按照类别分开列式. 【对点练清】 1.在本例中,若恰好用3种不同颜色涂A,B,C,D四个区域,那么哪些区域必同色?把四个区域涂色,共有多少种不同的涂色方案? 解:若恰好用3种不同颜色涂四个区域,则A,C区域,或A,D区域,或B,D区域必同色.由分类加法计数原理可得,恰好用3种不同颜色涂四个区域共有3 2 1+3 2 1+3 2 1=18种不同的涂色方案. 2.在本例中,若恰好用2种不同颜色涂完四个区域,则哪些区域必同色?共有多少种不同的涂色方案? 解:若恰好用2种不同颜色涂四个区域,则A,C区域必同色,且B,D区域必同色.先从3种不同颜色中任取2种颜色,共有3种不同的取法,然后用所取的2种颜色涂四个区域共有2种不同的涂法.由分步乘法计数原理可得,恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3 2=6种不同的涂色方案. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.已知顾客甲只用现金结账,顾客乙只用现金或银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,顾客丁用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账,则他们结账方式的组合共有_种. 解析:当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3 4=12种方法;当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有2 4=8种方法.综上,共有12+8=20种方法. 答案:20 二、应用性——强调学以致用 2.如图,圆形花坛分为四部分,现在这四部分种植花卉, 要求每部分种植1种,且相邻部分不能种植同一种花卉,现有 5种不同的花卉供选择,则不同的种植方案共有_种.(用数字作答) 解析:根据题意,当1,3相同时,分为2,4相同或不同两类,有5 4 (1+3)=80种;当1,3不相同时,分为2,4相同或不同两类,有5 4 3 (1+2)=180种. 所以不同的种植方案共有80+180=260种. 答案:260 3.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢.如果让三位同学选取的礼物都满意,那么不同的选法有 ( ) A.50种 B.60种 C.70种 D.90种 解析:根据题意,分两种情况讨论: 如果同学甲选牛,那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种中任意选,所以选法有3 10=30种; 如果同学甲选马,那么同学乙只能选牛、兔、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种中任意选,所以选法有4 10=40种. 综上,不同的选法共有30+40=70种.故选C. 答案:C 三、创新性——强调创新意识和创新思维 4.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 ( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 解析:由题意,得a1=0,a8=1,具体情况如下: 00001111,00010111,00011011,00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111, 01001011,01001101,01010011,01010101,共14个. 答案:C $