精品解析：四川巴中市2025-2026学年八年级上学期期末测试数学试题(北师大版)

2025年秋八年级期末考试数学（北师版）试卷 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、选择题（每小题，共40分） 1. 下列实数中是无理数的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 6，7，8 B. 9，12，15 C. 12，35，36 D. ，， 3. 下列命题中，真命题有（ ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 64的立方根是4 C. 若，则 D. 的算术平方根是5 6. 一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则代数式的值是（ ） A. B. 11 C. 13 D. 9. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）．现分别连接大、小正方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为10，较短直角边为6，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（ ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 二、填空题（每小题，共1） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 12. 若点，，均在一次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“<”符号连接）． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为_____． 14. 在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 15. 如图，是边长为6的等边三角形，三角形内部有一个动点满足，则周长的最小值为_____． 三、解答题（8小题，共9） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，，过点作的垂线，交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 18. 已知的算术平方根是4，是8的立方根． （1）求a，b的值； （2）求的值． 19. 某中学开展航空航天知识问答活动，为了解活动效果，分别从八年级1、2班随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 1班：65，75，75，85，89，91，93，95，98，100； 2班：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100． 八年级1、2班抽取的学生的成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 1班 86.6 90 75 118.44 2班 81.44 （1）上表中，_____，_____，_____； （2）补全2班的箱线图； （3）请结合以上数据信息，评价八年级1、2班学生的成绩谁更优秀，要求用学过的统计量及其意义客观说明理由． 20. 我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具．活动第一天，卖出本课外书和本笔记本，共收入元；第二天，他以同样的定价卖出本课外书和本笔记本，共收入元．所有收入全部捐赠． （1）请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？ （2）为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖．打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．请问第三天课外书是几折出售的？ 21. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，是否存在点P，使得，且，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． “逐步确定”策略是解决数学问题的重要思想，请根据此办法完成本题： 第一步若，则点P的横坐标的值为_____； 第二步在第一步的基础上，求出满足的所有点P的坐标． 22. 问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，点在直线上． （1）求的值和直线的表达式； （2）如图2，过点作直线轴，若点在直线上，且满足，求点的坐标； （3）如图3，点在线段上运动，过点作的垂线交轴于点，线段上有一点，使，求的最小值． 24. 综合与实践 纸是国际标准纸张尺寸之一，它的长与宽之比为．神奇的是，将纸沿着长边中点所在直线对折一次，得到的两张纸，其长与宽之比也为，继续对折也有一样的结论．数学课上，老师组织了探究纸中的数学折叠问题的活动． （1）如图1，矩形表示一张A4纸，其中．将矩形沿长边中点所在直线对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为，点在上，点在上，请说明矩形的长与宽之比也为． （2）小明在折纸过程中，按以下步骤折出了纸飞机 步骤一：如图2，将纸张沿直线和对折，使得A、B两点落在直线上的点G处，得到图3． 步骤二：如图4，将得到的图形沿直线、对折使得E、F在直线上，得到图5，纸飞机完成． ①请证明步骤二中，折叠后E、F刚好与N点重合； ②若原纸张长为，宽为1，请求出纸飞机机翼（即图5）的面积．（图6为纸飞机展开后，纸的折痕图） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋八年级期末考试数学（北师版）试卷 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、选择题（每小题，共40分） 1. 下列实数中是无理数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【详解】解：A、是无理数，该选项符合题意； B、是整数，是有理数，该选项不符合题意； C、是整数，是有理数，该选项不符合题意； D、是有限小数，是有理数，该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 6，7，8 B. 9，12，15 C. 12，35，36 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A．∵，，， ∴该组不能作为直角三角形三边长，故不符合题意； B．∵，，， ∴该组能作为直角三角形三边长． C．∵，，， ∴该组不能作为直角三角形三边长． D．∵，，， ∴该组不能作为直角三角形三边长， 故选：B． 3. 下列命题中，真命题有（ ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断真假命题，涉及数学，物理、生物等知识，逐项判断真假即可． 【详解】解：①∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，∴①是假命题； ②∵声源振动越快，频率越高，音调越高，这是声学基本规律，∴②是真命题； ③∵当时，，但，∴“若，那么”不成立，③是假命题； ④∵病毒无细胞结构，必须寄生在活细胞内才能生活，不能独立生活，∴④是真命题； 综上，真命题共2个， 故选：B． 4. 点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数， 又∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴，，解得，， ∴． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 64的立方根是4 C. 若，则 D. 的算术平方根是5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的定义，需根据相关定义逐一分析各选项的正误，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是负数，负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、，即64的立方根是4，故原说法正确，符合题意； C、当时，，，也满足，故原说法错误，不符合题意； D、，故的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的系数和图像性质的关系，熟练掌握性质是关键； 根据一次函数的图象经过第一、三象限，判断出，即或，再分别判断的图象即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴、同号，即或， 当时，的图象大致为； 当时，， ∴选项A符合题意， 故选：A． 7. 古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题目中的两个等量关系分别列出方程，组成方程组即可． 【详解】解：绫七尺、罗九尺，共价适等， ， 绫三尺、罗五尺共价二百八十文， ， 可列方程组为， 故选项C符合题意． 故选：C． 8. 若，，则代数式的值是（ ） A. B. 11 C. 13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出、的值，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：D． 9. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）．现分别连接大、小正方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为10，较短直角边为6，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，勾股定理，求出阴影区域的面积是解题的关键； 根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，标记字母， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， ∴小正方形外阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故选：D． 10. 2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（ ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． 对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断； 对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度； 对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可； 对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可． 【详解】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 二、填空题（每小题，共1） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数必须大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 12. 若点，，均在一次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“<”符号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质；当一次函数的时，y随着x的增大而减小，即x值越大y值越小，比较各点x值大小可得y值大小关系． 【详解】解：∵点，，均在一次函数的图象上，且， ∴y随着x的增大而减小，即x值越大y值越小， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将两个方程相加得出，再结合得出，求解即可得出结果，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，一元一次方程的应用；根据加密规则，对每个加密数字反向推算明文数字，再转换为字母即可． 【详解】解：∵，，……，， ∴，且为整数， ∴， ∵为的整数部分， ∴，且为整数， ∴， ∴， 当加密数字为34时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是3，符合题意， ∴加密数字34对应的明文数字为13，对应的字母为M， 当加密数字为10时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是1，符合题意， ∴加密数字10对应的明文数字为1，对应的字母为A， 当加密数字为44时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是4，符合题意， ∴加密数字44对应的明文数字为20，对应的字母为T， 当加密数字为24时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是2，符合题意， ∴加密数字24对应的明文数字为8，对应的字母为H， 综上：明文字母按序组成的单词为． 故答案为：． 15. 如图，是边长为6的等边三角形，三角形内部有一个动点满足，则周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形，面积桥，将军饮马，勾股定理等知识；先由等边三角形的边长求出等边三角形的高，再由同底三角形面积比等于高的比求出的高度，最后由将军饮马和勾股定理求出的最小值，最后求出周长的最小值 【详解】解：如图，过点作交于点， 过点作交于点， 作点关于直线的对称点为， 连接， 则为的最小值， ∴周长的最小值为， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴为的中线， ∴， ∴， ∵， 设的高为, ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∵，点关于直线的对称点为 ∴ 在中， ∴周长的最小值为 ． 故答案为： ． 三、解答题（8小题，共9） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方运算，绝对值的性质，二次根式的加减、乘法及乘法分配律，解题的关键是正确进行相关运算．先进行乘方运算，化简绝对值，利用乘法分配律去括号，然后再进行合并即可； （1）先算乘方，绝对值和算术平方根，再算乘除和加减即可； （2）先利用乘法分配律和分母有理化化简计算，再合并计算即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ． 17. 如图，在中，，过点作的垂线，交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明： 又 在与中 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先由等边对等角得到，然后证明，则，继而等量代换即可证明； （2）先证明为等边三角形，然后勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知 又 为等边三角形 在中， ． 18. 已知的算术平方根是4，是8的立方根． （1）求a，b的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可； （2）先对每个二次根式分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根为4，是8的立方根， ；， ；； 【小问2详解】 解：；， 原式 ． 19. 某中学开展航空航天知识问答活动，为了解活动效果，分别从八年级1、2班随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 1班：65，75，75，85，89，91，93，95，98，100； 2班：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100． 八年级1、2班抽取的学生的成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 1班 86.6 90 75 118.44 2班 81.44 （1）上表中，_____，_____，_____； （2）补全2班的箱线图； （3）请结合以上数据信息，评价八年级1、2班学生的成绩谁更优秀，要求用学过的统计量及其意义客观说明理由． 【答案】（1），88，88 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画箱线图，平均数、中位数、众数，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据平均数，众数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）根据数据补全2班的箱线图即可； （3）利用平均数和方差综合分析即可． 【小问1详解】 解：平均数； 将2班数据由小到大排序为：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100， ∴中位数； ∵数据88出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：，88，88； 【小问2详解】 解：根据数据补全2班的箱线图，如图所示， 【小问3详解】 解：八年级1，2班抽取学生成绩的平均数相同，但是2班成绩的方差小于1班成绩的方差，说明2班整体成绩波动相对1班小，稳定性好，说明八年级2班的成绩相对较好．（答案不唯一） 20. 我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具．活动第一天，卖出本课外书和本笔记本，共收入元；第二天，他以同样的定价卖出本课外书和本笔记本，共收入元．所有收入全部捐赠． （1）请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？ （2）为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖．打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．请问第三天课外书是几折出售的？ 【答案】（1）每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元． （2）九折 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用． (1)设每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元，根据卖出本课外书和本笔记本，共收入元；卖出本课外书和本笔记本，共收入元，列方程组求解； (2)设第三天打折，根据打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．列一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：设每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元； 【小问2详解】 解：设第三天打折， 由题意得：， 解得：， 答：打折． 21. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，是否存在点P，使得，且，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． “逐步确定”策略是解决数学问题的重要思想，请根据此办法完成本题： 第一步若，则点P的横坐标的值为_____； 第二步在第一步的基础上，求出满足的所有点P的坐标． 【答案】3；或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的综合问题，全等三角形的判定与性质，分情况讨论是关键． （1）根据三角形全等，可知，，即知点P在线段和的垂直平分线上，即可求得答案； （2）设，分P点在四边形内部和下方两种情况讨论，分别根据列方程求解即可． 【详解】解：， ，， 点P在线段和的垂直平分线上， 点P的横坐标的值为． 故答案为：3． 设， ， 点P可分两种情况： ①当P点在四边形内部时， ， ， 又，， ， ， ； ②当P点在四边形下方时， ， ， 又，， ， ， ； 综上所述：或． 22. 问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，点在直线上． （1）求的值和直线的表达式； （2）如图2，过点作直线轴，若点在直线上，且满足，求点的坐标； （3）如图3，点在线段上运动，过点作的垂线交轴于点，线段上有一点，使，求的最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3）5． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点的坐标，进而求出函数解析式，再求出的值即可； （2）先求出点坐标，设出点坐标，根据和面积公式进行求解即可； （3）过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，连接、，证明，得到，进而得到当最小时，最小，根据点到直线垂线段最短，得到最小为点到直线的距离，即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ． 直线交轴于点，交轴于点， ， ， 直线的表达式：， 点在直线上， ； 【小问2详解】 解：当时，， 点，即； 直线轴，在直线上，设点 ； 由（1）得， 点到直线的距离为5； ，且， ， ， 或； 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，连接、． 由（1）（2）可得， ∴，而轴， ∴， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ，， ， 在和中 ， ； ， 的最小值为点到直线的距离为5， 的最小值为5． 24. 综合与实践 纸是国际标准纸张尺寸之一，它的长与宽之比为．神奇的是，将纸沿着长边中点所在直线对折一次，得到的两张纸，其长与宽之比也为，继续对折也有一样的结论．数学课上，老师组织了探究纸中的数学折叠问题的活动． （1）如图1，矩形表示一张A4纸，其中．将矩形沿长边中点所在直线对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为，点在上，点在上，请说明矩形的长与宽之比也为． （2）小明在折纸过程中，按以下步骤折出了纸飞机 步骤一：如图2，将纸张沿直线和对折，使得A、B两点落在直线上的点G处，得到图3． 步骤二：如图4，将得到的图形沿直线、对折使得E、F在直线上，得到图5，纸飞机完成． ①请证明步骤二中，折叠后E、F刚好与N点重合； ②若原纸张长为，宽为1，请求出纸飞机机翼（即图5）的面积．（图6为纸飞机展开后，纸的折痕图） 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了图形轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握图形轴对称的性质是关键． （1）设，则，再根据轴对称的性质知，即得结果； （2）①先证明E、G、F三点共线，再证明，，结合点E、F都落在直线上，即可证明结论； ②根据图形轴对称的性质可知，纸飞机机翼的面积，即为图4中四边形的面积的两倍，连接图6中的，设，根据勾股定理列方程求出，再根据计算即可． 【小问1详解】 解:设， ， ， 沿着翻折后重合， ， ； 【小问2详解】 解：①由步骤一和（1）知：，， 、G、F三点共线， 垂直平分，， ，， 由步骤二可知：点E、F都落在直线上， 、F与重合； ②根据图形轴对称的性质可知，纸飞机机翼的面积，即为图4中四边形的面积的两倍， 连接图6中的， 设， ，， ，， 在中，， ， 解得， ，， ， 纸飞机机翼的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $