精品解析：陕西省西安市第三中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的化简． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数； B．是分数，属于有理数； C．，∵是无理数，∴是无理数； D．是有限小数，属于有理数； 故选：C． 2. 的三边分别为，下列选项中的条件能判定直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理； 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐一判断每个选项即可，选项A、B、C均不满足直角三角形判定条件，选项D满足勾股定理的逆定理． 【详解】解：A、∵，，， ∴，， ∵， ∴ 不能判定直角三角形； B、∵，设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，, 无 角， ∴ 不能判定直角三角形； C、∵， ∴，， ∵， ∴不满足勾股定理的逆定理， ∴不能判定直角三角形； D、， ∴，， ∵， ∴能判定直角三角形； 故选：D． 3. 若点P(a，b)在第二象限，则点M(b－a，a－b)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】点P在第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数，可得a、b的取值，进而可判断出点M的具体位置． 【详解】解：∵点P（a，b）在第二象限， ∴a＜0，b＞0， ∴b-a＞0，a-b＜0， ∴点M（b-a，a-b）在第四象限， 故选D． 【点睛】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理， 根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∴． 故选：A． 5. 一次函数的图像经过点 ，且 的值随着的增大而增大，则点 可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，则．将各选项点的坐标代入函数解析式，求出k值，判断是否满足即可． 【详解】解：∵y的值随着x的增大而增大， ∴． ：代入得，解得：； ：代入得，解得：； ：代入得，解得：； ：代入得，解得：； ∴点P可以是． 故选：D． 6. 小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（ ） A. 在第2~7名之间 B. 在第8~15名之间 C. 在第16~21名之间 D. 在第21~25名之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图，小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为，再结合全班箱线图的大致位置判断即可． 【详解】解：根据全校成绩的箱线图得到：小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为分， 对应全班成绩的箱线图发现在上四分线之上，第一名之下， 全班32人参加学校的英文听力测验，上四分线在从小到大排名的第名之上， ∴小明在班上排名至少超过24人，但不是第一名，即排名在第2~7名之间， 故选：A． 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长 尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．根据题意，绳子比木条长4.5尺，所以，对折绳子后量木条，木条剩余1尺，说明对折绳子长度比木条短1尺，所以，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 绳子剩余4.5尺， ， 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ， 可列方程组为． 故选：A． 8. 两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到 地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为与 的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②乙出发后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 根据函数图象可得甲车行驶的速度是，设乙车行驶的速度是，根据当时，乙车追上甲车，据此建立方程，解方程即可得，则①正确；根据当时，可得乙车行驶后追上甲，则②错误；根据甲、乙车的速度分别求出它们到达 地的时间，则可得③正确；设甲车行驶，甲，乙两车相距，分两种情况：和，分别建立方程，解方程即可得④正确． 【详解】解：由图象可知，甲车行驶的速度是， 设乙车行驶的速度是， 则， 解得， ∴甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；则说法①正确； 由图象可知，当时，， ∵甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶， ∴乙车行驶后追上甲，则说法②错误； 由图象可知，当时，乙车到达 地， ∵当甲车到达 地时，， ∴甲比乙晚到，则说法③正确； 设甲车行驶，甲，乙两车相距， 由图象可知，当和时，甲，乙两车的距离可以等于， 当时，乙车追上甲车，但未到达 地， 则， 解得，符合题设； 当时，乙车到达 地，甲车未到达 地， 则， 解得，符合题设； 所以甲车行驶或，甲，乙两车相距，则说法④正确； 综上，说法正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 如果函数y＝ax＋b（，）和y＝kx（）的图像交于点P，那么点P位于第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据一次函数y＝ax＋b中a、b的符号确定其图像所在象限，再根据k的符号确定函数y＝kx所在象限，两函数图像都经过的象限就是点P所在象限． 【详解】解：∵函数中，， ∴图像经过第二、三、四象限， ∵y＝kx中， ∴图像经过第一、三象限， ∴两函数图像交于点P时，点P位于第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断其经过的象限，解题关键是正确判断两个函数所经过的象限． 11. 课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了 名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了下四分位数，先将数据从小到大排序，求出中位数，进而确定下半部分数据，再求出下半部分数据的中位数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：数据排序后为：， ∵数据个数为偶数， ∴中位数为第 和第 个数据的平均值，即， ∴下半部分数据为：， ∵下半部分数据个数为 ， ∴中位数为第 和第 个数据的平均值，即， ∴下四分位数为， 故答案为：． 12. 已知关于、 的方程组，若，则 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：， 得， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在四边形纸片 中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于 上一点 ，点 ， 都落在边 上的 处，若四边形 的面积是6，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，，，则可得，，再根据三角形的面积公式可得，最后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∴，， ∵四边形 的面积是6， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点 在轴上运动，点 在直线 上运动，则四边形 的周长最小时，点 坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，再作点关于直线 的对称点，交直线 于点 ，作点 关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，四边形 的周长最小，则可得此时直线与直线 的交点即为所求的点 ，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线 联立，解方程组即可得． 【详解】解：∵点、， ∴， ∴四边形 的周长为， 如图，作点关于直线 的对称点，交直线 于点 ，作点 关于轴的对称点，连接， 则，，点 是的中点， ∴四边形 的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，则此时四边形 的周长最小， ∴此时直线与直线 的交点即为所求的点 ， 设直线 的解析式为， 将点、代入得：，解得， ∴直线 的解析式为， 垂直于直线， 联立，解得， ∴， 设点的坐标为， 则，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴当四边形 的周长最小时，点 的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共78分） 15. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键． 先计算二次根式的乘除法，并化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解：， ． 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）先整理方程组为，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： 把代入 ，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵， 整理得， 得， 解得 ， 把 代入得， 解得， ∴方程组的解为． 17. 如图，在 中，在 上找一点 ，连接 ，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作出 的垂直平分线即可． 【详解】解：以点A和点C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，连接两弧交点，交 于点E，交 于点D，如图，点 即为所求． 连接 ， ∵ 垂直平分 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂直平分线，解题的关键是熟练掌握作垂直平分线的方法和步骤，以及垂直平分线上的点到两端距离相等，等边对等角． 18. 如图，点 是 的边 延长线上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】略 19. 如图，已知平面直角坐标系中，，． （1）在图中作出 关于 轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点 ，使得最小，则的最小值为_____．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理． （1）根据要求作图即可； （2）根据割补法计算即可； （3）作C关于x轴对称的点连接交x轴于 ，点 即为所求，根据勾股定理求出的值即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：如图所示，点 即为所求； 由轴对称的性质可知， 即． 故答案为：． 20. 为了增强公民的节水意识，西安市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过180部分 4.40元/ 超过180部分 5.95元/ 小明同学是西安市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． （1）小明同学家2024年用水，应交水费 元．写出 与之间的关系式； （2）小明家2025年交了911元水费，求2025年小明家的用水量？ 【答案】（1） （2）200t 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯 与之间的关系式是解题的关键； （1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯 与之间的关系式，当时，求出对应的值即可； 【小问1详解】 解：由表可知，年用水量不超过180时，收费标准为4.40元/， ∴小明同学家2024年用水时，应交水费， ∴ 与之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴当时，，解得， 答：2025年小明家的用水量为． 21. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________ ． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 【答案】（1）50；72 （2） 补全统计图如下： 成绩的中位数落在良好等级 （3）14240元 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等： （1）用良好等级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，再用360度乘以合格等级的人数占比即可得到答案； （2）先求出优秀等级的人数，再补全统计图，最后根据中位数的定义求解即可； （3）分别求出学校优秀和良好的人数，然后分别计算出对应奖品的费用，求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴本次抽查的学生人数是50人， ∴， 故答案为：50；72； 【小问2详解】 解：等级为优秀的人数有人， 把这50名学生成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的乘积都在良好这一等级， ∴成绩的中位数落在良好等级； 【小问3详解】 解：元， ∴估计该校用于本次竞赛的奖品费用为14240元． 22. 如图，已知， 为 上一点，为外一点，连接 ， ，且 交 于点 ，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）65° 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定． （1）由可得，得出，再由得出，最后由平行线的判定证明即可； （2）由可得，再由可得出，从而求出，，再由，可得，最后由平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ． ． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同． 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个，且这批礼盒全部按照原售价销售． （1）每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ （2）素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案． 【答案】（1）每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元 （2）水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元，根据每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同，再建立方程组求解即可； （2）设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个，再建立一次函数求解即可． 【小问1详解】 解：设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元， 根据题意，得 解得 答：每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元． 【小问2详解】 解：设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个 根据题意，得， ∵，． ∴w随m的增大而增大 ∵， ∴当时，w有最大值． 此时． 答：商场第二次进货时，水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个，可以获得最大利润. 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线 与 相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． （1）求直线 的表达式； （2）求的面积； （3）当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与图形的面积问题是解题的关键． （1）把点的坐标代入计算，求得点C的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先求出两直线与y轴的交点坐标，即可利用三角形面积公式求解； （3）设点P的坐标为，再用三角形面积公式列出方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入，得， ， 设直线 的表达式为 ， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线 的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意及（1）可知，， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 当 的面积等于的面积的一半时， ， 解得或， 点P的坐标为或． 25. 如图，在直角坐标系中，矩形 的一边 在轴上，点 坐标为，其中，边，且满足，将矩形折叠，使 落在边 （含端点）上，落点记为 ，这时折痕与边 或边 （含端点）交于点 ． （1）求矩形 的边_____、_____． （2）如图1，当点 与点重合时，连接，若是等腰三角形，求 的值． （3）若点 、 在函数的图象上，请你在图2中画图分析，是否存在面积最大值？若存在，说明理由，并求出此时点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）10，8 （2）或4或6 （3）存在面积最大值，理由见解析，此时点 的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先根据可得，再代入可得，则，由此即可得； （2）先求出，，，再分三种情况：①，②和③，分别建立方程，解方程即可得； （3）先利用一次函数的性质求出，，再分三种情况：①当点 落在点 上时，②当点 落在边 （不含端点）上时，③当点 落在点 上时，结合图形，求出的面积取值范围，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10，8． 【小问2详解】 解：∵在矩形 中，， ∴，， ∵点 坐标为，且， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ①当时，是等腰三角形， 则，即，解得或（不符合题意，舍去）； ②当时，是等腰三角形， 则，即，解得； ③当时，是等腰三角形， 则，解得； 综上， 的值为或4或6． 【小问3详解】 解：存在面积最大值，理由如下： ∵点 坐标为，且， ∴， ∵在矩形 中，， ∴，， ∴， ∴， 将点代入函数得：， 解得， ∴，， ①如图，当点 落在点 上时，则点 只能在边 的中点上， 此时的面积为， 此时点 的坐标为； ②如图，当点 落在边 （不含端点）上时， 由三个图可知，此时，当且仅当点 与点重合时，等号成立， 由（2）可知，当点 与点重合时，， ∴此时， ∴此时点 的坐标为； ③如图，当点 落在点 上时， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴此时点 只能在边 （不含端点）上， ∴此时； 综上，，当点 的坐标为或时，等号成立， 即存在面积最大值，此时点 的坐标为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、算术平方根的应用、勾股定理、矩形的性质、一次函数的几何应用、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 的三边分别为，下列选项中的条件能判定直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点P(a，b)在第二象限，则点M(b－a，a－b)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图像经过点 ，且 的值随着的增大而增大，则点 可以是（ ） A. B. C. D. 6. 小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（ ） A. 在第2~7名之间 B. 在第8~15名之间 C. 在第16~21名之间 D. 在第21~25名之间 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长 尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 两地相距，甲、乙两辆汽车从 地出发到 地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为与 的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②乙出发后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的平方根是_______． 10. 如果函数y＝ax＋b（，）和y＝kx（）的图像交于点P，那么点P位于第________象限． 11. 课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是_____． 12. 已知关于、 的方程组，若，则 的值为_____． 13. 如图，在四边形纸片 中， ，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于 上一点 ，点 ， 都落在边 上的处，若四边形 的面积是6，，则_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点 在轴上运动，点 在直线 上运动，则四边形 的周长最小时，点 坐标为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共78分） 15. 计算 16. 解方程组： （1） （2） 17. 如图，在 中，在 上找一点 ，连接 ，使．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，点 是 的边 延长线上一点，，，．求证：． 19. 如图，已知平面直角坐标系中，，． （1）在图中作出 关于 轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点 ，使得最小，则的最小值为_____．（直接写出结果） 20. 为了增强公民的节水意识，西安市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过180部分 4.40元/ 超过180部分 5.95元/ 小明同学是西安市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． （1）小明同学家2024年用水，应交水费 元．写出 与之间的关系式； （2）小明家2025年交了911元水费，求2025年小明家的用水量？ 21. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 22. 如图，已知， 为 上一点， 为外一点，连接， ，且 交 于点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同． 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个，且这批礼盒全部按照原售价销售． （1）每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ （2）素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线 与 相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． （1）求直线 的表达式； （2）求的面积； （3）当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 25. 如图，在直角坐标系中，矩形 的一边 在轴上，点 坐标为，其中，边，且满足，将矩形折叠，使 落在边 （含端点）上，落点记为 ，这时折痕与边 或边 （含端点）交于点． （1）求矩形 的边_____、_____． （2）如图1，当点与点 重合时，连接，若是等腰三角形，求 的值． （3）若点 、 在函数的图象上，请你在图2中画图分析，是否存在面积最大值？若存在，说明理由，并求出此时点 的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $