2026年中考数学第一轮复习专题讲练第25讲 锐角三角函数及其应用讲义

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第五单元 图形的变化 《第25讲 锐角三角函数及其应用》讲义答案解析 一、单选题 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三线合一、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 5．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、求角的正弦值 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 7．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 8．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 9．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键． 直接由正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， 故选：D． 10．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求角的正切值 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 11．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 12．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由平移方式确定点的坐标、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 13．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 14．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，在中，由勾股定理得，即可解题． 【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴； ∵为的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∵，， ∴， ∴； 在中，， ， ∴， 在中，由勾股定理得． 故选：B． 15．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 16．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 17．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题 18．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 19．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、圆周角定理、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 20．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 21．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是 m．（取） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、点到直线的距离、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 24．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 25．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 26．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊三角形的三角函数、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 27．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是 ． 【答案】/米 【难度】0.85 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 28．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 29．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到，参考依据：，，） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键，过点作，解，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴； 故人字梯顶端离地面的高度是； 故答案为：． 30．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、利用网格求三角形面积 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 31．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， 故答案为：． 32．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 三、解答题 33．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 34．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 35．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 36．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）随着技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及．在某次消防演习中，消防员用无人机探测到楼顶点有被困人员，此时无人机离地面的高度米，测得点俯角为，点的俯角为，地面的距离为米． (1)求无人机处到大楼的水平距离． (2)若消防云梯的最大高度为米，此时点的被困人员能否成功获救？() 【答案】(1) (2)能够成功获救，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——俯角问题，涉及锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质及矩形的判定与性质．关键是通过作辅助线构造直角三角形，将俯角转化为直角三角形的内角，再利用三角函数求解． （1）构造垂直辅助线将“无人机到大楼的水平距离”转化为直角三角形的边，通过俯角和无人机高度计算出的长度，再用地面总距离减去得到水平距离； （2）利用俯角计算出的长度，再通过无人机高度减去得到大楼被困点的高度，最后与云梯最大高度比较判断能否获救． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵地面，地面，， ∴四边形是矩形， ∴． 由题意可知：，，． 在中，， ∴． ∴()． 又∵， ∴． 答：无人机处到大楼的水平距离为． （2）解：由题意可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由（1）得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴(米)． ∵消防云梯最大高度为，且， ∴点的被困人员能够成功获救； 答：点的被困人员能够成功获救． 37．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米）参考数据：，，， 【答案】广告牌的高度为米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用． 作交于H，作交于F，设垂直高度，水平距离，根据勾股定理求出，求出米，，进而求出米，根据三角函数求出米，米，进而根据计算即可． 【详解】解：如图，作交于H，作交于F， 设垂直高度，水平距离， 由勾股定理得：， 解得， 米， 米， ∴米， 仰角为45度，， 米， ∵米， ∴米． 答：广告牌的高度为米． 38．（25-26九年级上·江苏南通·期末）为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩．如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】(1)遮阳篷边缘点到墙体的距离为米； (2)阴影的长为米． 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、已知正切值求边长、已知余弦求边长、已知正弦值求边长 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）在中，根据已知数据及的余弦值即可解答； （2）首先，在中，根据，可得，然后，根据，证得四边形是矩形，可得，，接着，在中，根据已知数据及的正弦值可求得的长，最后，可求得的长． 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴（米）． 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； （2）解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴， 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）， 即阴影的长为米． 39．（25-26九年级上·河北·期末）2025年春节联欢会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的夹角为，其中（图中点、线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点三点共线时（如图2），抓手距离地面的高度最大，则抓手距离地面的最大高度是_______米；（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为．如图3，当时，求的值．（结果精确到，参考数据： ，）． 【答案】(1) (2)米 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点C作交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，利用求出的长度，利用求出的长度，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， 米， 点三点共线， 米． （2）解：如图，过点C作交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F， ， 由题意可得， ， 在中，米，， 由， 可得米， ， ， 在中，米， 由， 可得米， 米， 米米． 答：抓手到直线的水平距离为米． 40．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【难度】0.65 【知识点】已知正切值求边长、特殊三角形的三角函数、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 41．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，弦为，弦为，为的直径，D为的中点．连接和，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键．（1）利用圆周角定理寻找等角证明即可； （2）根据圆的性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接，则， ∵，且， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得或（不符合题意，舍去）， ∴（cm）， ∴ ， ∴， ∴的值为3． 42．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，为的直径，为的弦，D为弧的中点．与相交于E，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等，可得．进而证明，根据对应边成比例列式，可得； （2）由可得．由是直径，可得．进而可得 ，再证，根据勾股定理及三角函数解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵D为弧的中点， ∴． ∵分别是上的圆周角， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴． ∴． ∵是直径， ∴． ∵ ， 设，则． ∴， x， ． ∵， ∴． ∴． ∴ ． 在中，． ∵， ∴． 43．（25-26九年级上·河南南阳·期末）综合与探究 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是___________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)的面积为30； (3)线段的长为或20． 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以弦图为背景的计算题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用“一线三直角“证明即可得出结论； （2）证明可求的长度，即可求出的面积； （3）由已知条件过作的垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴，． ∵，， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∴的面积为30； （3）解：①当点在点左侧时，如图1，过作于， ∵，，， ∴，， ∴，． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴； ②当点在点右侧时，如图2，过作交的延长线于， ∵，，， ∴，， ∴，． 设，则，， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上，线段的长为或20． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，通过添加合适的辅助线构造直角三角形及“分类讨论”思想的运用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第五单元 图形的变化 《第25讲 锐角三角函数及其应用》讲义 【知识梳理】 1.锐角三角函数 (1)定义:在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的正弦、余弦、正切分别是:sin A＝ 　，cos A＝ 　，tan A＝ 　，它们统称为　∠A　的三角函数.  2.特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sin α          cos α          tan α    　1　     3.解直角三角形 (1)定义:在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫作解直角三角形. (2)解直角三角形的依据:在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则: ①三边的关系:a2＋b2＝　c2　;②两锐角间的关系:∠A＋∠B＝　90°　;③边与角的关系:sin A＝cos B＝ 　;cos A＝sin B＝ 　;tan A＝ 　.  (3)解直角三角形的常见类型有: ①已知斜边和一个锐角;②已知一条直角边和一个锐角;③已知斜边和一条直角边;④已知两条直角边. (4)求锐角三角形的面积:在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则S△ABC＝ab·sin C＝ac·sin B＝bc·sin A. 4.仰角和俯角 如图1，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作　仰角　，视线在水平线下方的叫作　俯角　.  图1 5.坡比和坡角 如图2，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫作　坡比　，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫作　坡角　，记作α，于是i＝ 　＝tan α，显然，坡比越大，α就越　大　，坡面就越陡.  图2 6.方向角 如图3，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方向角. 图3 【2025近三年中考真题探究】 一、单选题 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 8．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 12．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 16．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 18．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 19．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 20．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 21．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 22．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是 m．（取） 23．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 24．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 25．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为 ．    26．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 27．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是 ． 28．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 29．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到，参考依据：，，） 30．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 31．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 32．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 三、解答题 33．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 34．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 35．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 36．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）随着技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及．在某次消防演习中，消防员用无人机探测到楼顶点有被困人员，此时无人机离地面的高度米，测得点俯角为，点的俯角为，地面的距离为米． (1)求无人机处到大楼的水平距离． (2)若消防云梯的最大高度为米，此时点的被困人员能否成功获救？() 37．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米）参考数据：，，， 38．（25-26九年级上·江苏南通·期末）为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩．如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 39．（25-26九年级上·河北·期末）2025年春节联欢会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的夹角为，其中（图中点、线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点三点共线时（如图2），抓手距离地面的高度最大，则抓手距离地面的最大高度是_______米；（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为．如图3，当时，求的值．（结果精确到，参考数据： ，）． 40．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    41．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，弦为，弦为，为的直径，D为的中点．连接和，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的值． 42．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，为的直径，为的弦，D为弧的中点．与相交于E，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 43．（25-26九年级上·河南南阳·期末）综合与探究 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是___________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $