专题13.3 平面的基本性质（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦平面的基本性质核心知识点，系统梳理平面的概念、画法与表示，点线面位置关系的符号表达，三个基本事实及推论，以及点共线、线共面、线共点等应用，从基础概念到符号语言，再到性质推论与题型应用，构建递进式学习支架。 该资料以“举一反三”为特色，通过6类题型（如平面表示、基本性质应用、截面作图等）的例题与变式，引导学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理位置关系，用数学语言规范表达。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题13.3 平面的基本性质（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 平面的概念及其表示】 3 【题型2 平面的基本性质及推论】 5 【题型3 空间中的点共线问题】 7 【题型4 空间中的点（线）共面问题】 9 【题型5 空间中的线共点问题】 13 【题型6 由平面的基本性质作截面图形】 17 知识点1 平面的基本性质 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母α,β,γ,…表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“⊂”“⊄”表示. 常见位置关系的符号表示如下表所示： 位置关系 符号表示 点P在直线AB上 P∈AB 点C不在直线AB上 C∉AB 点M在平面ABC内 M∈平面ABC 点A1不在平面ABC内 A1∉平面ABC 直线AB与直线BC交于点B AB∩BC=B 直线AB在平面ABC内 AB⊂平面ABC 直线AA1不在平面ABC内 AA1⊄平面ABC 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且P ∈β⇒α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 4．点（线）共面、点共线、线共点问题的证明 (1)证明点（线）共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明点共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【题型1 平面的概念及其表示】 【例1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【解答过程】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·贵州黔东南·月考）用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案. 【解答过程】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”， 即，， 故选：A. 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【解题思路】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【解答过程】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 【变式1-3】（24-25高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【解答过程】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    【题型2 平面的基本性质及推论】 【例2】（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【解题思路】由平面的确定定理判断即可. 【解答过程】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误； 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一下·天津滨海新·期末）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【答案】C 【解题思路】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可. 【解答过程】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误， 四边形存在空间四边形，故选项B错误， 三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确， 当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【解答过程】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【解题思路】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【解答过程】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D. 【题型3 空间中的点共线问题】 【例3】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【解题思路】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解答过程】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式3-1】（24-25高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【解题思路】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【解答过程】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 【变式3-2】（2025高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【解题思路】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【解答过程】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【解题思路】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【解答过程】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【题型4 空间中的点（线）共面问题】 【例4】（24-25高一下·山东济南·期中）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（    ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】C 【解题思路】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误. 【解答过程】因为，则，，，四点共面. 因为，则平面，又平面， 则点在平面与平面的交线上， 同理，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面. 由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据图形及平行公理判断即可. 【解答过程】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【解题思路】通过证明即可证明，，，四点共面. 【解答过程】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 【变式4-3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【解答过程】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【题型5 空间中的线共点问题】 【例5】（24-25高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【解题思路】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【解答过程】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·河南洛阳·月考）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】B 【解题思路】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【解答过程】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 【答案】证明见解析 【解题思路】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【解答过程】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【变式5-3】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【解答过程】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 【题型6 由平面的基本性质作截面图形】 【例6】（25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解题思路】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【解答过程】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【解答过程】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【解题思路】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【解答过程】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 【变式6-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，    (1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）； (2)求截面图形的面积. 【答案】(1)作图见解析； (2). 【解题思路】（1）画直线，借助平面基本事实确定截面多边形顶点位置即可. （2）由（1）的作图，利用割补法求出截面面积作答. 【解答过程】（1）在正方体中，画直线与的延长线分别交于点， 连接，分别与棱交于点，连接，如图1， 抹去和得过三点的正方体的截面五边形，如图2.      （2）在正方体中，，，分别为棱，的中点， 由（1）及图1知，，即，，则， ，等腰底边上的高， 的面积， 由，得，即有，因此， 于是，同理， 所以截面五边形的面积. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 平面的基本性质（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 平面的概念及其表示】 3 【题型2 平面的基本性质及推论】 4 【题型3 空间中的点共线问题】 4 【题型4 空间中的点（线）共面问题】 6 【题型5 空间中的线共点问题】 7 【题型6 由平面的基本性质作截面图形】 8 知识点1 平面的基本性质 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母α,β,γ,…表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“⊂”“⊄”表示. 常见位置关系的符号表示如下表所示： 位置关系 符号表示 点P在直线AB上 P∈AB 点C不在直线AB上 C∉AB 点M在平面ABC内 M∈平面ABC 点A1不在平面ABC内 A1∉平面ABC 直线AB与直线BC交于点B AB∩BC=B 直线AB在平面ABC内 AB⊂平面ABC 直线AA1不在平面ABC内 AA1⊄平面ABC 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且P ∈β⇒α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 4．点（线）共面、点共线、线共点问题的证明 (1)证明点（线）共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明点共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【题型1 平面的概念及其表示】 【例1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·贵州黔东南·月考）用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【变式1-3】（24-25高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【题型2 平面的基本性质及推论】 【例2】（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【变式2-1】（23-24高一下·天津滨海新·期末）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【变式2-2】（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【变式2-3】（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【题型3 空间中的点共线问题】 【例3】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式3-1】（24-25高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【变式3-2】（2025高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【题型4 空间中的点（线）共面问题】 【例4】（24-25高一下·山东济南·期中）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（    ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【变式4-1】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【变式4-3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【题型5 空间中的线共点问题】 【例5】（24-25高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【变式5-1】（24-25高一下·河南洛阳·月考）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 【变式5-3】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【题型6 由平面的基本性质作截面图形】 【例6】（25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【变式6-1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 【变式6-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，    (1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）； (2)求截面图形的面积. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $