专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦空间直线与平面的垂直，系统梳理异面直线所成角、线线垂直判定、线面垂直的定义与判定定理、线面角及距离计算等核心知识点，构建从线线垂直到线面垂直，再到性质应用与距离求解的递进式学习支架。 资料以9大题型为框架，例题与变式题结合且选自各地期末真题，通过正方体、正四面体等模型培养空间观念（数学眼光），逻辑推理过程严谨（数学思维），符号语言规范（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 异面直线所成的角】 1 【题型2 线线垂直的判定】 4 【题型3 直线与平面垂直的判定】 11 【题型4 直线与平面所成的角】 15 【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 19 【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】 22 【题型7 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 24 【题型8 求点面距离、线面距离】 29 【题型9 求两个平行平面间的距离】 33 知识点1 直线与直线垂直 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用几何法确定异面直线夹角. 【解答过程】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【解答过程】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，利用异面直线的定义确定夹角，进而求出其余弦值. 【解答过程】在正三棱柱中，连接， 由，得为异面直线BC与所成角或其补角， 中，，同理， 在等腰中，， 所以异面直线BC与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【解答过程】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 【题型2 线线垂直的判定】 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【解题思路】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【解答过程】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】由异面直线夹角的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：如图：连接，    由正方体的性质可得：，在矩形中，显然不成立， 所以不成立，故错误； 对于B：    如图取中点，连接， 由正方体的结构特点，结合，可得平面， 又平面， 所以， 在正方形中，因为， 所以， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，故B正确； 对于C：    如图，取的中点，连接， 在正方体中可知：， 所以为平行四边形， 所以， 在正方形中，可知， 所以不成立，即不成立，故C错误， 对于D：    如图，取的中点，连接， 由中位线可知， 又在正方体中可知：， 所以， 设正方体的棱长为2，可得：， 则，所以不成立， 即不成立，故D错误. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【解答过程】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【变式2-3】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【解答过程】（1）如图所示，连接，    为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 知识点2 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. (3)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形). 4．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 5．点面距离、线面距离、面面距离 (1)点到平面的距离 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. (2)直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. (3)两个平行平面间的距离 我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. (4)点到平面的距离的常见求法 ①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. ③等体积法. 6．点在平面内射影位置的确定 立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定. (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. (2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【解答过程】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解题思路】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解答过程】对于①，∵平面，平面，∴， 又∵ ，，平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，③，由①，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故②，③正确； 对于④，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵ ，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故④错误. ∴正确的有①②③，共个. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直. 【解答过程】（1）如图取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，在中，，且， 又因为底面为矩形，是的中点， 所以，且， 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形， 那么， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形，所以， 而，、平面， 又平面， 所以平面. 【变式3-3】（24-25高一下·广东湛江·期末）如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由为矩形，得，又平面得，可知平面，从而，得证平面. （2）先证平面,得再证平面，得从而平面证明. 【解答过程】（1）为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. （2）由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【解答过程】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为， 所以，解得， 而，则，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【解答过程】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解题思路】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【解答过程】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 【变式4-3】（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【答案】C 【解题思路】连接，易知，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证面，最后由线面垂直的性质确定与的位置关系. 【解答过程】 连接，因为是菱形，所以， 又菱形所在的平面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以 . 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【解题思路】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【解答过程】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【解答过程】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得出线线垂直，即证明平面. 【解答过程】证明：如图，记与交于点，连接． 因为是平行四边形对角线的交点，所以为的中点． 因为，所以． 因为为中点，所以，又，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以． 【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】 【例6】（24-25高一下·海南·月考）设为两个不同的平面，则下列条件不能推出的是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．内有一个三角形的三条边均与平行 C．垂直于同一条直线 D．平行于同一个平面 【答案】A 【解题思路】由平面与平面的位置关系判断A；由面面平行的判断定理可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由面面平行的性质可判断D. 【解答过程】若内有无数条平行直线与平行，则可能平行或相交，故A符合题意； 若内有一个三角形的三条边均与平行，， 又，由面面平行的判断定理可得，故B不符合题意； 若垂直于同一条直线，由线面垂直的性质可得，故C不符合题意； 若平行于同一个平面，由面面平行的性质可得，故D不符合题意， 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·贵州黔南·期中）以下四个命题中，其中正确的是（   ） （1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两个平面平行； （3）平行于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【解题思路】根据平行公里判定（1）;利用线面垂直的性质判定（2）；易于找到反例否定（3）（4）. 【解答过程】对于（1），根据平行公里，平行于同一条直线的两条直线平行，（1）正确； 对于（2），由线面垂直的性质可得，垂直于同一条直线的两个平面平行，（2）正确； 对于（3），平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交，（3）错误； 对于（4），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，异面或相交，（4）错误. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解题思路】由题意作长方体，根据长方体的几何性质，利用线面位置关系以及反例，可得答案. 【解答过程】由题意作长方体，    对于A，当直线分别为，平面为平面时，显然，但，故A错误； 对于B，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故B错误； 对于C，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质，可得D的正确. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二下·河南信阳·月考）已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解题思路】根据空间线面关系及面面的关系可判断ABD；根据线面垂直的性质及面面平行的判定可判断C． 【解答过程】对于选项A，若，且，此时可能相交，如图所示， 当，都与n平行时，相交，故选项A错误； 对于选项B，若，且，此时可能相交，如图所示， 当，都与n平行时，相交，故选项B错误; 对于选项C，由，得，因为，所以，故选项C正确; 对于选项D，若，且，此时可能相交，如图所示， 当，都与n平行时，相交，故选项D错误. 故选：C. 【题型7 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 【例7】（24-25高一下·山西·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案. 【解答过程】∵，，∴平面，故， 作交于点， 此时平面，在矩形中，， 所以四边形是正方形，所以，所以， 又为的中点， 所以为的中点，即，所以， 则实数的值为1， 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【解答过程】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【解题思路】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【解答过程】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 【变式7-3】（2025·全国·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；. 【解题思路】在平面内找到一条直线与平行即可. 若平面，又由已知条件平面，平面与平面必然平行，因此容易想到为线段的中点，再证明即可. 【解答过程】（1）取中点，连接，， 在中，因为，分别是，中点， 所以，且， 在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）在线段上存在点，使得平面， 取的中点，连，连， 因为平面，平面，平面， 所以，， 在中，因为，分别是，中点，所以， 又由（1）知，所以，， 由得平面， 故当点是线段的中点时，平面.此时，. 【题型8 求点面距离、线面距离】 【例8】（24-25高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等体积法即可求点到平面的距离． 【解答过程】解：由直三棱柱的体积为， 可得， 设到平面的距离为， 由得 ，解得． 故选：D． 【变式8-1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解答过程】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 【变式8-2】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由四边形为菱形得到对角线垂直，由线面垂直得到，从而证明线面垂直； （2）设到平面的距离为h，利用等体积法列出方程，求解即可. 【解答过程】（1）因为底面是菱形，所以， 因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）设点到平面的距离为h， 由题可知PA为三棱锥的高，， 所以三棱锥的体积为， 又因为，且， 所以，解得， 所以点到平面的距离为． 【变式8-3】（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【解答过程】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面， 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度， 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为. 【题型9 求两个平行平面间的距离】 【例9】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【解答过程】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 【变式9-1】（2025·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案. 【解答过程】分别取的中点，连接，    根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为， 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【解答过程】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 【变式9-3】（2025·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【解答过程】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 异面直线所成的角】 1 【题型2 线线垂直的判定】 3 【题型3 直线与平面垂直的判定】 6 【题型4 直线与平面所成的角】 8 【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 9 【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】 11 【题型7 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 11 【题型8 求点面距离、线面距离】 13 【题型9 求两个平行平面间的距离】 14 知识点1 直线与直线垂直 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【题型2 线线垂直的判定】 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【变式2-1】（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【变式2-3】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 知识点2 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. (3)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形). 4．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 5．点面距离、线面距离、面面距离 (1)点到平面的距离 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. (2)直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. (3)两个平行平面间的距离 我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. (4)点到平面的距离的常见求法 ①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. ③等体积法. 6．点在平面内射影位置的确定 立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定. (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. (2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 【变式3-3】（24-25高一下·广东湛江·期末）如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式4-3】（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【变式5-1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】 【例6】（24-25高一下·海南·月考）设为两个不同的平面，则下列条件不能推出的是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．内有一个三角形的三条边均与平行 C．垂直于同一条直线 D．平行于同一个平面 【变式6-1】（24-25高一下·贵州黔南·期中）以下四个命题中，其中正确的是（   ） （1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两个平面平行； （3）平行于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3） 【变式6-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式6-3】（24-25高二下·河南信阳·月考）已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型7 由线面垂直判断线段比例或点所在的位置】 【例7】（24-25高一下·山西·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式7-1】（24-25高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【变式7-3】（2025·全国·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型8 求点面距离、线面距离】 【例8】（24-25高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式8-3】（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【题型9 求两个平行平面间的距离】 【例9】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（2025·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【变式9-3】（2025·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面间的距离. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $