2026届浙江省温州市高考数学自编模拟卷(4)

2026届浙江省温州市高考数学自编模拟卷(4) （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：全国Ⅰ卷高考所有内容。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知，且，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与不独立 D． 7．已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（    ） A． B．2 C． D． 8．已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．若，则下列选项正确的有（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 D．当时，除以8的余数为1 10．在平行六面体中，， ．则（   ） A． B．的长为6 C．平面 D． 11．（多选题）已知，，直线与相交于点，设直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则点的轨迹方程为（且） B．若，则点的轨迹为抛物线的一部分 C．若，则点的轨迹为椭圆的一部分 D．若，则点的轨迹方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，则 . 13． 的解集为 14．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.本小题分 已知等比数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为， 求点到平面的距离． 18.本小题分 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求W的方程； (2)若直线与相交于两点，线段的中点在直线上． （ⅰ）求k； （ⅱ）已知点，与的另一个交点为，与的另一个交点为．证明：直线过定点． 19.本小题分 已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，证明：有2个零点； (3)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届浙江省温州市高考数学自编模拟卷(4) （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：全国Ⅰ卷高考所有内容。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合. 所以.故选：C. 2．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为复数满足：，所以，所以， 解得.所以.故选：B. 3．已知，且，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由可得：， 即， 所以， 因为，所以，所以， 所以等式两边同时除以， 所以，即， 所以， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为.故选：A. 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 两式相减得：，所以； 因为，所以； 代入，得到； ，故选：D 5．已知数列满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据反比例函数性质可知， 故 .故选：B. 6．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与不独立 D． 【答案】B 【详解】已知，则， 而题目中，显然， 因此事件A与B不互斥，选项A错误； ，又， 所以，选项B正确； 因为， ， 由于，所以事件与独立，选项C错误； ， 则，选项D错误.故选：B. 7．已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】不妨设点在第一象限，设直线与x轴交于点， 且由题可知， 设，则， 又， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故， 因此，即，则， 所以离心率.故选：A 8．已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【详解】定义域为且， 且对定义域内任意，满足，所以是奇函数， 当且时，，，令得， 当时，，单调减区间为； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由奇函数对称性可知， 当时，在处取得极大值， 据此得到大致图象如 设，则即， 要使恰好有个零点，则方程需有两个根且满足每个值对应个， 由图象可知，当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解. 则若恰有个零点，则方程的两个根（不妨设）， 应满足，， 设，则，解得，故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．若，则下列选项正确的有（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 D．当时，除以8的余数为1 【答案】BD 【详解】对于A，令，代入得，即， 令，代入得， 即， 因此，故A错误； 对于B，展开式通项， 令，， 因此的系数为，故B正确； 对于C，根据二项式系数的性质，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大， 本题中间项为第项，即二项式系数最大项为第4项，故C错误； 对于D，当时，， 而 ， 即除以8的余数为1，故D正确．故选：BD． 10．在平行六面体中，，．则（   ） A． B．的长为6 C．平面 D． 【答案】AC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， ，，故B错误； 对于C，， ，， ， ，，平面， 平面，故C正确； ， ， ， ，故D错误．故选：AC． 11．（多选题）已知，，直线与相交于点，设直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则点的轨迹方程为（且） B．若，则点的轨迹为抛物线的一部分 C．若，则点的轨迹为椭圆的一部分 D．若，则点的轨迹方程为 【答案】ABD 【详解】，，且； 选项A中，，即（且），故A正确； 选项B中，，即（且），故B正确； 选项C中，，即（且）， 其轨迹为双曲线的一部分，故C错误； 选项D中知，，即，又因为， 解得（），故D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，则 . 【答案】 【详解】根据题意，函数 ， 则，又，即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 13． 的解集为 【答案】 【详解】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为.故答案为： 14．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】不等式， 令，而函数在上都为增函数， 则在上单调递增，其值域为R， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，不等式有解，因此，解得， 所以的取值范围是.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握；(2)分布列见解析， 【详解】（1）由题意得 生成文章合格 生成文章不合格 总计 甲同学 80 40 120 乙同学 40 40 80 总计 120 80 200 零假设生成的文章是否合格与甲、乙同学给出的指令无关， ， ∵，所以我们推断不成立， 所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关；       （2）合格的篇数的所有可能取值为，，， 由题意，   ，        ，， 故的分布列为 0 1 2 3 故期望. 16.本小题分 已知等比数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)或，(2)55或 【详解】（1）设公比为，则由和可得， 即，解得或，或 （2）①当时，，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ②当时，， ①， 所以②， 由①-②得 ， 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析，(2)，(3) 【详解】（1）取的中点为，连接，，因为，分别为，中点， 所以且， 因为，，所以且， 即四边形是平行四边形．所以， 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点为，连接．因为，， 所以四边形是平行四边形．则， 因为，所以平行四边形是正方形． 则．因为平面，，平面， 所以，．则，，两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，   则，，，， 因此，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则，所以， 设二面角的平面角为，依题意，，所以， 所以二面角的余弦值为． （3）依题意，不妨设（），则，． 又由（2）得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，所以， 解得（负值舍去），所以点到平面的距离为． 18.本小题分 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求W的方程； (2)若直线与相交于两点，线段的中点在直线上． （ⅰ）求k； （ⅱ）已知点，与的另一个交点为，与的另一个交点为．证明：直线过定点． 【答案】(1)，(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）因为椭圆短轴长为2，故，而离心率为，故， 故，故，所以椭圆方程为. （2）（ⅰ）设，， 由可得， 设线段的中点，则，， 所以，而，故. （ⅱ）直线的斜率必存在且， 由可得， 展开得 故， 故，故， 同理，，设，则， 故，同理， 故：即， 而的斜率为，故即， 故，故过定点. 19.本小题分 已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，证明：有2个零点； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，没有极小值，(2)证明见解析，(3) 【详解】（1）当时，，定义域为， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以当时，有极大值，且极大值为，没有极小值. （2）方法一：的定义域为， 因为，所以当时，单调递增， 当时，单调递减． 当时，取到极大值，也是最大值. 因为，所以， 因为，所以在区间上有且只有1个零点， 所以在区间上有且只有1个零点． 因为， 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，即，所以. 所以在区间上有且只有1个零点， 所以在区间上有且只有1个零点. 综上所述，当时，有2个零点. 方法二：的定义域为，由，得． 令，则， 当时，单调递增，当时，单调递减. 所以当时，取到极大值，也是最大值. 又，当时，，且， 所以当时，直线与的图象有2个交点， 即当时，有2个零点. （3）由， 设，则，所以有2个不同的根， 因为，所以． 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以时，取到极小值，也是最小值． 因为恒成立，所以，即. 又，所以， 令，则恒成立， 所以在上单调减，又，所以由，得， 所以由，得. 因为在上单调递减，所以在上单调递减， 所以的值域为，即实数的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $