精品解析：安徽安庆市第一中学等校2025-2026学年高二上学期2月期末联考数学（HJ）试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程直接求出焦距即得. 【详解】椭圆的长短半轴长分别为，则其半焦距， 所以所求焦距为. 故选：B 2. 已知抛物线的准线方程为，则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，结合准线的定义即可直接求解. 【详解】抛物线的准线方程为，解得. 故选：B. 3. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的关系求出斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】由直线，即，知直线的斜率为． 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以． 故选：C． 4. 已知向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 不能构成空间向量一个基底 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加减的坐标运算、向量模的公式、向量数量积和基底的条件逐项计算即可. 【详解】向量， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C:，故C正确； 对于D:，故是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确． 故选：B． 5. 已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距， 所以两圆相外切， 所以这两圆的公切线的条数为3条. 故选：C. 6. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得出，根据双曲线离心率的公式即可求解. 【详解】双曲线顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即， 则离心率. 故选：A. 7. 在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的运算，用表示，即可得到结果. 【详解】连接并延长交于，则为的中点， 所以，， 所以， 所以，，所以. 故选：B. 8. 已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，根据圆上至多有个点到直线的距离为，列出不等式，求解即可. 【详解】由圆，所以圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 因为圆上至多有个点到直线的距离为，则， 即，化简得，解不等式得或， 所以的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线可以是圆 B. 若，则曲线为椭圆 C. 曲线不可能表示抛物线 D. 若曲线为双曲线，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆及圆锥曲线方程的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，当时，方程为是圆，A正确， 对于B，当，即或时，曲线是椭圆，B错误； 对于D，当曲线为双曲线时，，则或，D正确. 对于C，任意且，曲线只能是圆、椭圆、双曲线之一， 因此曲线不可能表示抛物线，C正确； 故选：ACD 10. 如图，若正方体的棱长为为的中点，则（ ） A. 与所成的角为 B. C. D. 与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量法求解. 【详解】以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以， 所以与所成的角为. 易知平面的一个法向量为， 所以，所以AB正确，CD错误. 故选：AB 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式直接求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 14. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 【答案】36 【解析】 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为 （1）若与直线平行，求的值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值； （2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为与直线平行， 所以且， 解得：. 【小问2详解】 当时，：，不满足题意. 当时，与轴，轴的交点分别为， 因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得. 故的方程为或. 16. 设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的一条渐近线平行且过的一个顶点． （1）求的方程； （2）设直线与的左支交于点，右支交于点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直线与的一条渐近线平行得到，设中的，解得的值为的值，得到的值，从而得到的方程. （2）联立方程组，得的一元二次方程，求出，利用韦达定理得到，由于与交于异支，，计算得到实数的取值范围. 【小问1详解】 直线与的一条渐近线平行，， 设中的，解得， 直线过的一个顶点，则， 解，得到， 所以的方程为. 【小问2详解】 设， 联立方程组，得， 则且恒成立， 所以， 由于与交于异支，则，即， 解得，即或， 所以实数的取值范围为. 17. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆； （2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积的最小值. 【小问1详解】 由题意，圆心在直线上，可设， 因为圆过点，且过点， 可得，整理得， 所以，即，且半径 所以圆的方程为. 小问2详解】 由（1）知，圆，圆心，半径， 则四边形的面积， 设，因为， 所以当时，， 此时四边形的面积最小，最小值为； 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点． （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行，即证明. （2）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，根据向量数量积证明垂直即可. （3）先计算平面和平面的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 证明：易知两两垂直，以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，. 因为， 所以，即， 因为平面，所以平面 又平面，故平面平面. 【小问3详解】 若，则由（2）知，所以. 设平面的一个法向量，则即 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， ， 由图可知二面角为锐角， 故若，二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，且，即， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由题意可知过点直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点， 则，即， 可得， 化简得，整理可得， 因为，则，解得， 所以直线的方程为，即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的准线方程为，则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 3. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则下列结论错误是（ ） A. B. C. D. 不能构成空间向量一个基底 5. 已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 7. 在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线可以是圆 B. 若，则曲线为椭圆 C. 曲线不可能表示抛物线 D. 若曲线为双曲线，则或 10. 如图，若正方体的棱长为为的中点，则（ ） A. 与所成的角为 B. C. D. 与平面所成的角为 11. 已知是抛物线焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直准线于点，且，则四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为_____． 13. 已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 14. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线方程为 （1）若与直线平行，求值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 16. 设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的一条渐近线平行且过的一个顶点． （1）求的方程； （2）设直线与的左支交于点，右支交于点，求实数的取值范围． 17. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点． （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若，求二面角的余弦值． 19. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $