专题09：分数的基本性质 （知识精讲+例题讲解+培优练习）2025-2026学年五年级下册数学人教版

专题09：分数的基本性质 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了分数的意义，了解了真分数和假分数的区别，知道了分数可以表示部分与整体的关系。今天，我们将继续探索分数的奥秘，学习一个非常重要的性质——分数的基本性质。它就像分数的“魔法规则”，让我们明白：虽然分数的分子和分母变了，但分数的大小却可以不变！这就像一块蛋糕，切成4份吃2份，和切成8份吃4份，其实吃的一样多。通过本讲义的学习，你将发现分数的“变形术”背后的秘密。希望你在预习时，能动手折一折、画一画、比一比，用图形帮助理解。请记住：数学的美，藏在变化中的“不变”里。愿你带着好奇与耐心，开启今天的探索之旅，做一名会思考的数学小达人！ 知识精讲 1. 分数的基本性质 （1）初步感知：从图形中发现规律 用三个相同的圆形表示： 第一个平均分成2份，涂出1份 → ； 第二个平均分成4份，涂出2份 → ； 第三个平均分成8份，涂出4份 → 。 观察发现：三个图形涂色部分大小相同，说明 。 虽然分子和分母变了，但分数的大小没有变。 （2）归纳规律 从 到 ：分子乘2，分母也乘2； 从 到 ：分子乘2，分母也乘2； 反向看：从 到 ：分子除以2，分母也除以2。 结论：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）正式定义：分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 这就是分数的基本性质。 举例说明： ； 。 （4）与除法的联系 分数可以看作除法： 。 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 分数的基本性质与除法的商不变性质本质相同。 例如： ，对应 。 2. 应用方向（初步感知，不深入拓展） （1）判断分数是否相等 不用画图，通过分子分母的变化关系判断两个分数是否大小相等。 例如：判断 和 是否相等： ，所以相等。 （2）为后续学习做准备 本课不讲“约分”和“通分”，但要感知： 把分数变小（分子分母都除以同一个数）是“简化”； 把分数变大（分子分母都乘同一个数）是“扩展”。 这些都是分数的基本性质的应用。 例题讲解 【典型例题1】 根据分数的基本性质，填空： （1） （2） 解析： （1）分子乘2，分母也必须乘2，所以第一个空填2； ，分子 ，所以第二个空填6。 （2）分子除以4，分母也必须除以4，所以第一个空填4； ，所以第二个空填3。 答：（1）2，6；（2）4，3。 【跟踪练习1】 根据分数的基本性质，填空： （1） （2） 答案及解析： （1）3，6 （2）5，3 解析： （1）分子乘3，分母也乘3， ，分子 ； （2）分子除以5，分母也除以5， ，所以 。 注意：必须“同时”“同数”操作，0除外。 【典型例题2】 判断下面每组分数是否相等，并说明理由。 （1） 和 （2） 和 解析： （1） ，所以相等； （2） ，而 ，所以不相等。 答：（1）相等；（2）不相等。 【跟踪练习2】 判断下面每组分数是否相等，并写出你的思考过程。 （1） 和 （2） 和 答案及解析： （1）相等。思考： ，分子分母同时乘3，分数大小不变。 （2）不相等。思考： ，而 ，所以不相等。 解析：判断分数是否相等，可以看能否通过“同时乘或除”把一个分数变成另一个。注意必须分子分母“同时”“同数”操作。 【典型例题3】 下面的说法对吗？为什么？ （1）分数的分子和分母同时加上2，分数的大小不变。 （2） ，是因为分子乘2，分母也乘2。 解析： （1）错误。分数的基本性质是“同时乘或除以相同的数”，不是“加上”相同的数。例如： ，分子分母都加2，变成 ，而 ，大小变了。 （2）正确。从 到 ，分子乘2，分母也乘2，符合分数的基本性质，所以相等。 答：（1）×；（2）√。 【跟踪练习3】 判断对错，并说明理由。 （1） ，是因为分子和分母都乘了2。 （2）分数的分子乘3，分母不变，分数的大小不变。 答案及解析： （1）正确。理由： 的分子和分母同时乘2，得到 ，符合分数的基本性质，所以大小不变。 （2）错误。理由：分数的基本性质要求分子和分母同时乘或除以相同的数。如果只分子乘3，分母不变，分数会变大。例如： 变成 ，从小于1变成大于1，明显变大了。 解析：必须强调“同时”和“同数”两个关键词，缺一不可。 培优练习 一、选择题 1．把一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，这个分数的值（    ）。 A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的6倍 C．缩小到原来的 D．不变 【答案】A 【分析】假设原分数为，分子扩大到原来的3倍后变为3，分母缩小到原来的，表示把“1”分成3份，取其中1份。也就是说把9分成3份取1份，即9÷3＝3。由此可得到变化后的分数为即为1，再与原分数比较，分析分数值的变化情况。 【详解】假设原分数为，表示把“1”分成9份，取其中1份。变化后的分数（即为1），所以变化后的分数是扩大到原来的9倍。选项A符合。 故答案为：A 2．下列能说明“”的有（    ）。 A．只有① B．只有②③ C．只有①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据分数的意义，分数的分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数；分数的基本性质：分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，进行分析。 【详解】①根据分数的意义，能说明＝＝； ②根据分数的意义，能说明＝＝； ③根据分数的意义，能说明＝＝； ④根据分数的意义，图形不是平均分，不能说明＝。 能说明“”的有①②③。 故答案为：C 3．的分子加上8，要使分数的大小不变，分母应（    ）。 A．加上8 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此解答。 【详解】的分子加上8，即4＋8＝12，12÷4＝3，相当于分子乘3，要使分数的大小不变，分母应乘3，相当于分母扩大到原来的3倍。 故答案为：B 4．若，则式中的最多可表示（    ）个不同的自然数。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，将化成分子是2的分数，根据分数大小比较方法，分子相同看分母，分母小的分数大，确定a的值。 【详解】，，10＞＞3，的取值分别是9、8、7、6、5、4，则的取值分别是8、7、6、5、4、3，式中的最多可表示6个不同的自然数。 故答案为：A 5．把的分子加上9，要使分数的大小不变，它的分母应该扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．4 C．9 D．7 【答案】B 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。据此把的分子加上9，分子为3＋9＝12，12÷3＝4，即分子乘了4（扩大到原来的4倍），要使分数的大小不变，的分母7也要乘4（扩大到原来的4倍）。 【详解】3＋9＝12 12÷3＝4 把的分子加上9，要使分数的大小不变，它的分母应该扩大到原来的4倍。 故答案为：B 二、填空题 6．一个分数是，如果分母加上12，要使分数的大小不变，分子应该加上( )。 【答案】3 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；据此解答。 【详解】一个分数是，如果分母加上12，即4＋12＝16，16÷4＝4，相当于分母乘4，要使分数的大小不变，分子应该乘4，即1×4＝4，4－1＝3，相当于分子加上3。 7．把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘( )；把的分子加10，要使分数的大小不变，分母应加( )。 【答案】 4 16 【分析】根据分数的基本性质，分子、分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子也应乘4； 把的分子加10，分子变为5＋10＝15，扩大到原来的15÷5＝3倍，即分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应乘3，变为8×3＝24，用扩大后的分母减去原来的分母即为分母应加上的数。 【详解】把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘4； （5＋10）÷5 ＝15÷5 ＝3 8×3－8 ＝24－8 ＝16 把的分子加10，要使分数的大小不变，分母应加16。 8．在下面算式的括号内填上适当数。 ①                ② ③               ④ 【答案】①7；45；②2；25 ③4；54；④180；48 【分析】根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，进行填空。 【详解】① 36÷9＝4、28÷4＝7，35÷7×9＝45， ②85÷5＝17、34÷17＝2，10÷2×5＝25， ③72÷9＝8、32÷8＝4，24÷4×9＝54， ④64÷16×45＝180，135÷45×16＝48， 9．4÷5＝＝（    ）÷40＝（    ）（填小数）。 【答案】5；20；32；0.8 【分析】本题从4÷5入手，根据分数与除法的关系，得4÷5＝，根据分数的基本性质得，结合商不变性质可知4÷5＝32÷40，最后根据除法的意义直接计算出4÷5＝0.8。 分数与除法的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 商不变的性质：在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 【详解】4÷5＝ 4÷5＝（4×8）÷（5×8）＝32÷40 4÷5＝0.8 4÷5＝＝32÷40＝0.8 10．把的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应加上( )。 【答案】24 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；用分子加上15，再除以原来的分子，求出分子扩大到原来的多少倍，则分母也扩大到原来的多少倍，再用扩大后的分母减去原来的分母，即可求出分母应该加上多少。 【详解】（5＋15）÷5 ＝20÷5 ＝4 8×4－8 ＝32－8 ＝24 把的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应加上24。 三、判断题 11．把4∶7的前项加上8，要使比值不变，后项应乘2。( ) 【答案】× 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】前项相当于乘： （4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 把4∶7的前项加上8，要使比值不变，后项应乘3。 原题说法错误。 故答案为：× 12．大于而小于的分数只有。( ) 【答案】× 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 根据分数的基本性质，把两个分数的分子、分母同时乘2、3、4……可以得到无数个大于而小于的分数；据此判断。 【详解】大于而小于的分母是5的分数只有； ＝，＝； 大于而小于的分母是10的分数有：，，； ＝，＝； 大于而小于的分母是15的分数有：，，，，； …… 所以大于而小于的分数有无数个。 原题说法错误。 故答案为：× 13．与相等的分数只有。( ) 【答案】× 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】根据分数的基本性质可得：与相等的分数有无数个。 故答案为：× 14．一个分数的分子和分母同时加上10，分数的大小不变。( ) 【答案】× 【分析】分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此分析。 【详解】根据分数的基本性质，一个分数的分子和分母同时乘10，分数的大小不变，原题说法错误。 故答案为：× 15．的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应加上21。( ) 【答案】√ 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变。的分母乘4，要使分数的大小不变，分子也要乘4，所得结果减原来的分子，等于21则原题说法正确。据此解答。 【详解】 的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应加上21。原题说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 16．小强把的分子加上6，为了使分数的大小不变，他又把分母乘上3，他的理由是什么？请说说你的想法。 【答案】见详解 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 先发现分子的变化，由分子3加6，得出相当于分子乘几，那么根据分数的基本性质，分母也应乘相同的数。 【详解】的分子3加上6，即3＋6＝9，相当于分子乘3；根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分母也应乘上3。（答案不唯一） 【点睛】掌握分数的基本性质的灵活运用是解题的关键。 17．甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【答案】小丽说得对 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变，的分子和分母同时乘2，则＝；据此解答。 【详解】＝＝ 所以两位师傅用的时间一样长。 答：小丽说的对。 【点睛】掌握分数的基本性质是解题的关键。 18．小芳和小明两人点了相同的外卖，小芳用支付宝支付，是原价的，小明用微信支付，是原价的。小芳说他买得便宜，对吗？ 【答案】不对 【分析】把原价看作单位“1”，根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ 答：单位“1”相同，小芳和小明所花的钱数相等，小芳说的不对。 【点睛】本题考查了分数的基本性质的应用。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09：分数的基本性质 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了分数的意义，了解了真分数和假分数的区别，知道了分数可以表示部分与整体的关系。今天，我们将继续探索分数的奥秘，学习一个非常重要的性质——分数的基本性质。它就像分数的“魔法规则”，让我们明白：虽然分数的分子和分母变了，但分数的大小却可以不变！这就像一块蛋糕，切成4份吃2份，和切成8份吃4份，其实吃的一样多。通过本讲义的学习，你将发现分数的“变形术”背后的秘密。希望你在预习时，能动手折一折、画一画、比一比，用图形帮助理解。请记住：数学的美，藏在变化中的“不变”里。愿你带着好奇与耐心，开启今天的探索之旅，做一名会思考的数学小达人！ 知识精讲 1. 分数的基本性质 （1）初步感知：从图形中发现规律 用三个相同的圆形表示： 第一个平均分成2份，涂出1份 → ； 第二个平均分成4份，涂出2份 → ； 第三个平均分成8份，涂出4份 → 。 观察发现：三个图形涂色部分大小相同，说明 。 虽然分子和分母变了，但分数的大小没有变。 （2）归纳规律 从 到 ：分子乘2，分母也乘2； 从 到 ：分子乘2，分母也乘2； 反向看：从 到 ：分子除以2，分母也除以2。 结论：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）正式定义：分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 这就是分数的基本性质。 举例说明： ； 。 （4）与除法的联系 分数可以看作除法： 。 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 分数的基本性质与除法的商不变性质本质相同。 例如： ，对应 。 2. 应用方向（初步感知，不深入拓展） （1）判断分数是否相等 不用画图，通过分子分母的变化关系判断两个分数是否大小相等。 例如：判断 和 是否相等： ，所以相等。 （2）为后续学习做准备 本课不讲“约分”和“通分”，但要感知： 把分数变小（分子分母都除以同一个数）是“简化”； 把分数变大（分子分母都乘同一个数）是“扩展”。 这些都是分数的基本性质的应用。 例题讲解 【典型例题1】 根据分数的基本性质，填空： （1） （2） 解析： （1）分子乘2，分母也必须乘2，所以第一个空填2； ，分子 ，所以第二个空填6。 （2）分子除以4，分母也必须除以4，所以第一个空填4； ，所以第二个空填3。 答：（1）2，6；（2）4，3。 【跟踪练习1】 根据分数的基本性质，填空： （1） （2） 【典型例题2】 判断下面每组分数是否相等，并说明理由。 （1） 和 （2） 和 解析： （1） ，所以相等； （2） ，而 ，所以不相等。 答：（1）相等；（2）不相等。 【跟踪练习2】 判断下面每组分数是否相等，并写出你的思考过程。 （1） 和 （2） 和 【典型例题3】 下面的说法对吗？为什么？ （1）分数的分子和分母同时加上2，分数的大小不变。 （2） ，是因为分子乘2，分母也乘2。 解析： （1）错误。分数的基本性质是“同时乘或除以相同的数”，不是“加上”相同的数。例如： ，分子分母都加2，变成 ，而 ，大小变了。 （2）正确。从 到 ，分子乘2，分母也乘2，符合分数的基本性质，所以相等。 答：（1）×；（2）√。 【跟踪练习3】 判断对错，并说明理由。 （1） ，是因为分子和分母都乘了2。 （2）分数的分子乘3，分母不变，分数的大小不变。 培优练习 一、选择题 1．把一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，这个分数的值（    ）。 A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的6倍 C．缩小到原来的 D．不变 2．下列能说明“”的有（    ）。 A．只有① B．只有②③ C．只有①②③ D．①②③④ 3．的分子加上8，要使分数的大小不变，分母应（    ）。 A．加上8 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的4倍 4．若，则式中的最多可表示（    ）个不同的自然数。 A．6 B．7 C．8 D．9 5．把的分子加上9，要使分数的大小不变，它的分母应该扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．4 C．9 D．7 二、填空题 6．一个分数是，如果分母加上12，要使分数的大小不变，分子应该加上( )。 7．把的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘( )；把的分子加10，要使分数的大小不变，分母应加( )。 8．在下面算式的括号内填上适当数。 ①                ② ③               ④ 9．4÷5＝＝（    ）÷40＝（    ）（填小数）。 10．把的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应加上( )。 三、判断题 11．把4∶7的前项加上8，要使比值不变，后项应乘2。( ) 12．大于而小于的分数只有。( ) 13．与相等的分数只有。( ) 14．一个分数的分子和分母同时加上10，分数的大小不变。( ) 15．的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应加上21。( ) 四、解答题 16．小强把的分子加上6，为了使分数的大小不变，他又把分母乘上3，他的理由是什么？请说说你的想法。 17．甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 18．小芳和小明两人点了相同的外卖，小芳用支付宝支付，是原价的，小明用微信支付，是原价的。小芳说他买得便宜，对吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $