专题02 平行线重难点题型专训（4个知识点+13大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题02 平行线重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 同位角相等两直线平行 题型四 内错角相等两直线平行 题型五 同旁内角互补两直线平行 题型六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型七 两直线平行同位角相等 题型八 两直线平行内错角相等 题型九 两直线平行同旁内角互补 题型十 平行公理推论的应用 题型十一 根据平行线判定与性质求角度 题型十二 利用平行线的性质在生活中的应用 题型十三 根据平行线判定与性质证明 拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系 拓展训练二 利用平行线间的距离解决问题 拓展训练三 拐点模型 拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用 知识点一：平行 1、定义：同一平面内，不相交的两条直线，记作a∥b； 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 例：a∥b，b∥c，则a∥c（平行传递性） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林白城·月考）直线与平行可记作： ． 知识点二：利用直尺和三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 1.落：将三角尺一边落在已知直线上； 2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 3.推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置； 4.画：沿三角尺的这一边画直线. PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点三： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，，要使，则的度数是 ． 知识点四： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆渝北·期末）如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是 ． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四边形中，AB不平行于CD的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【例2】 （24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    3．（24-25七年级下·山东聊城·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画MN的垂线； (2)过点Q画MN的平行线； (3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个． 【经典例题三 同位角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A．B．C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北黄冈·月考）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ABCD的条件 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是 . 3．（25-26七年级下·四川自贡·月考）如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 【经典例题四 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）下图所示，在下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，，平分，则与的位置关系是 ． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各图均是由含角或含角的直角三角板组合而成，其中可以利用“内错角相等，两直线平行”得出的有（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④ 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，试说明． 【经典例题五 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，添加一个你认为合适的条件 使． 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，DF平分∠CDE，∠CDF=50°，∠C=80°，则 ∥ ． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【经典例题六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）小明和小亮一起研究一道数学题，如图，在中，过点作于点，点是边上的一动点，过作于点，点在上，连，． 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小亮说：“如果，可得到．” 则下列判断正确的是（    ） A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确 C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误 2．（24-25七年级下·广东韶关·期末）如图，，，，则 . 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 【经典例题七 两直线平行同位角相等】 【例1】（2025·广东广州·一模）如图，已知直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是的平分线，交于点E，若，则 ． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，是三位同学证明“三角形内角和是”的三种方案： 方案1 方案2 方案3 过点A作， 则，， ∴． 过点C作，延长BC， 则，， ∵， ∴． 过点B作， 则，， ∵， ∴． 在证明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（    ） A．方案1和方案2 B．方案1和方案3 C．方案2和方案3 D．方案2 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知平分，，则的度数为 ． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，在三角形中，点D是上的一点，，试说明． 解：∵（已知）， ∴，（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（_______），（两直线平行，同位角相等）． ∴（_______）． （平角的定义）， （______），即． 【经典例题八 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26七年级上·四川遂宁·月考）如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 1．（24-25七年级下·广东深圳·月考）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点处，若，则的度数是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，，，，，请问吗？说明理由． 【经典例题九 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，平分，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，的度数为 ． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【经典例题十 平行公理推论的应用】 【例1】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，直线，若，则 ． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知平分，垂直于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【经典例题十一 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，则的度数是 ． 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川广元·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若水面与杯底平行，且，则与的度数和是 ． ∴， 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【经典例题十二 利用平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【经典例题十三 利根据平行线判定与性质证明】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【例2】（2026七年级上·江苏南京·专题练习）如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有 ．（填写序号） 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·月考）如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则 ．（可用含的式子表示） 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 2．（24-25七年级下·江西宜春·月考）已知：，与交于点M． (1)如图1，试判断的数量关系，并说明理由． (2)如图2，平分，平分，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，直接写出的度数（用含的式子表示）． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【拓展训练二 利用平行线间的距离解决问题】 1．（2025七年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 2．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【拓展训练三 拐点模型】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 1．（24-25七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 2．（25-26七年级下·全国·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 3．（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用】 【例1】（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）取一副三角尺按图①所示的方式拼接，固定三角尺，将三角尺按顺时针方向旋转一个大小为的角得到三角形，示意图如图②所示． (1)当为多少度时，？请说明理由． (2)当分别为多少度时，，（不必说明理由）？ 2．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图，直线，直线交于点，交于点，，是直线上的动点（不与重合），以为直角顶点作直角三角形，且，点在直线右侧，记． (1)当点在点右侧时，若，求的度数； (2)在点运动过程中，若射线、、满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求的度数． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． A基础训练 1．（2025·江西·模拟预测）如图，与是两面互相平行的镜子，光线经过镜子反射时，，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，下列条件能判定的是（        ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河北保定·模拟预测）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号所代表的内容，则下列回答错误的是（    ） 如图，，，平分，，求的度数． 解：， ． 平分， █． ， ◆， ，， ▲． A．※代表 B．█代表 C．◆代表 D．▲代表 B 提高训练 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号） 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 8．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 9．（25-26七年级上·山西太原·月考）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东70°方向到村，从村沿北偏西30°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为 ． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． C 培优训练 11．（2025七年级·全国·专题练习）平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 　＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　 　）， ∴（ 　 　）． 14．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 15．（25-26七年级下·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 用直尺、三角板画平行线 题型三 同位角相等两直线平行 题型四 内错角相等两直线平行 题型五 同旁内角互补两直线平行 题型六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型七 两直线平行同位角相等 题型八 两直线平行内错角相等 题型九 两直线平行同旁内角互补 题型十 平行公理推论的应用 题型十一 根据平行线判定与性质求角度 题型十二 利用平行线的性质在生活中的应用 题型十三 根据平行线判定与性质证明 拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系 拓展训练二 利用平行线间的距离解决问题 拓展训练三 拐点模型 拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用 知识点一：平行 1、定义：同一平面内，不相交的两条直线，记作a∥b； 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 例：a∥b，b∥c，则a∥c（平行传递性） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的概念，即可求判断． 【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点， ∴其中可能与直线平行的直线是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·吉林白城·月考）直线与平行可记作： ． 【答案】 【分析】本题考查平行的符号表示，解题的关键是掌握平行的符号表示方法．根据平行线的表示方法求解即可． 【详解】解：直线与平行可记作：． 故答案为：． 知识点二：利用直尺和三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 1.落：将三角尺一边落在已知直线上； 2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 3.推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置； 4.画：沿三角尺的这一边画直线. PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 2．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 知识点三： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，符合题意； B、，不能判定，不符合题意； C、不能判定，不符合题意； D、，不能判定，不符合题意； 故选：A 2．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，，要使，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是内错角相等两直线平行，解题关键是熟练掌握内错角相等两直线平行． 根据内错角相等两直线平行即可得解． 【详解】解：要使， 内错角和需相等， ． 故答案为：． 知识点四： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 根据“两直线平行同旁内角互补”得，则此题可解. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：D. 2．（25-26七年级下·重庆渝北·期末）如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四边形中，AB不平行于CD的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD． 【详解】解：因为A、B、C都是特殊的四边形，都有平行的边； 故选D． 【点睛】本题考查常见的几种特殊四边形的边的关系． 【例2】（2025七年级下·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线． 【答案】平行 【分析】根据平行线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 【经典例题二 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 【例2】 （24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画MN的垂线； (2)过点Q画MN的平行线； (3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1)利用数形结合的思想画出图形即可； （2)利用平行线的判定，画出图形即可； （3)利用等高模型，画出符合题目的点F即可． 【详解】（1）解：如图 （2）如图 （3）满足条件的点F有6个． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题三 同位角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行，解决本题的关键是判断和是由哪两条直线被截形成的角． 【详解】解：A选项：和是直线、被直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行可证，不能证明，故A选项不符合题意； B选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，当时，根据内错角相等，两直线平行可证，故B选项符合题意； C选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故C选项不符合题意； D选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故D选项不符合题意． 故选：B ． 【例2】（24-25七年级下·湖北黄冈·月考）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ABCD的条件 【答案】∠1=∠4/∠B=∠5/∠B+∠BCD=180° 【分析】根据平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠1=∠4． 由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠B=∠5． 由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B+∠BCD=180°． 综上所述，满足条件的有：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°． 故答案是：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是 . 【答案】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行. 【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行. 【详解】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行. 故答案为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键 3．（25-26七年级下·四川自贡·月考）如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定定理，解题的关键是掌握作图的步骤． 根据同位角相等两直线平行，过点作即可． 【详解】解：如图，即为所求， ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； ②保持半径长度不变，以点为圆心画弧，交射线于点； ③以点为圆心，截取的长度，再以点为圆心，长为半径画弧，交原弧于点； ④作直线即可． 【经典例题四 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）下图所示，在下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握几个判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：A、，由内错角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意； B、，由同旁内角互补两直线平行，得，故选项正确，不符合题意； C、是一对邻补角，不是同旁内角互补，不能判定，故选项不正确，符合题意； D、，由同位角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【例2】 （24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，，平分，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】根据角平分线的定义得出，再根据，得出，利用平行线的判定可得出两条直线平行． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练运用内错角相等，两直线平行进行推理证明． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各图均是由含角或含角的直角三角板组合而成，其中可以利用“内错角相等，两直线平行”得出的有（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定条件：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题关键．结合三角板的特点，根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：图①，根据同位角相等，两直线平行得出，不符合题意； 图②，，，符合题意； 图③，，根据同旁内角互补两直线平行得到，不符合题意； 图④，，，符合题意； 即能得出的是②④， 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 利用平行线的判定方法证出和，即可通过平行线的传递性解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题五 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 【例2】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，添加一个你认为合适的条件 使． 【答案】∠ADF=∠C或∠A=∠ABE或∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°（答案不唯一，写一个正确的即可） 【分析】根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】第一种情况，同位角相等，两直线平行，即∠ADF=∠C时，； 第二种情况，内错角相等，两直线平行，即∠A=∠ABE时，； 第三种情况，同旁内角互补，两直线平行，即∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°时，； 故答案为∠ADF=∠C或∠A=∠ABE或∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，DF平分∠CDE，∠CDF=50°，∠C=80°，则 ∥ ． 【答案】 DE　 BC 【详解】试题解析：∵DF平分∠CDE，∠CDF=50°， ∴∠CDE=2∠CDF=100°， ∵∠C=80°， ∴∠C+∠CDE=180°， ∴DE∥BC． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定． （1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先求出的度数，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ， ， ； （2）解：， ， ∵ ． 【经典例题六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式，根据垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式逐项判断即可． 【详解】、根据作图可知：，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：， 根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项错误，符合题意； 故选：． 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）小明和小亮一起研究一道数学题，如图，在中，过点作于点，点是边上的一动点，过作于点，点在上，连，． 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小亮说：“如果，可得到．” 则下列判断正确的是（    ） A．小明说法正确，小亮说法错误 B．小明说法正确，小亮说法正确 C．小明说法错误，小亮说法正确 D．小明说法错误，小亮说法错误 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据垂直于同一条直线的两直线平行可得，根据两直线平行，同位角相等可得，若，推得，根据内错角相等，两直线平行可得，判断小明说法错误；若，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可推得，判断小亮说法正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 若，则， ∴，故小明说法错误； 若， 则， ∴， ∴，故小亮说法正确； 故选：C. 2．（24-25七年级下·广东韶关·期末）如图，，，，则 . 【答案】 【分析】由a⊥c，b⊥c，可证得a//b，然后由平行线的性质与对顶角相等，求得答案. 【详解】 解：如图：，， ， ， . 故答案为. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质.关键在于数形结合思想的应用. 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定： （1）利用平移思想，画出即可； （2）把绕C点顺时针旋转得到，则，然后把平移到，使点与点重合，； （3）把绕C点顺时针旋转得到，则； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； （4）∵，， ∴． 【经典例题七 两直线平行同位角相等】 【例1】（2025·广东广州·一模）如图，已知直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的性质，根据平行线的性质和，可得，再根据，即可求出的度数．解题的关键是掌握平行线的性质，也考查了对顶角相等． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的大小为为． 故选：D． 【例2】 （24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是的平分线，交于点E，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查平行线的性质，由两直线平行，同位角相等，可得，再由角平分线的定义得，再次利用平行线的性质，可得． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：70． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，是三位同学证明“三角形内角和是”的三种方案： 方案1 方案2 方案3 过点A作， 则，， ∴． 过点C作，延长BC， 则，， ∵， ∴． 过点B作， 则，， ∵， ∴． 在证明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（    ） A．方案1和方案2 B．方案1和方案3 C．方案2和方案3 D．方案2 【答案】B 【分析】根据平行线的性质即可求解． 本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补”是解题的关键． 【详解】解：方案1： 过点A作， 则（则两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴． 方案2： 过点C作，延长BC， 则（则两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴． 方案3： 过点B作， 则（则两直线平行，内错角相等）， （则两直线平行，内错角相等），， ∵， ∴． 方案1和方案3都没用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据，而方案2用到了， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义. 根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 平分， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，在三角形中，点D是上的一点，，试说明． 解：∵（已知）， ∴，（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（_______），（两直线平行，同位角相等）． ∴（_______）． （平角的定义）， （______），即． 【答案】A；C；两直线平行，内错角相等；等量代换；等量代换． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，根据平行线的性质证明，，，然后根据平角定义即可得出答案． 【详解】解：∵（已知）， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）， 即． 故答案为：．A；C；两直线平行，内错角相等；等量代换；等量代换 【经典例题八 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26七年级上·四川遂宁·月考）如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与相等的角，再计算个数即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴与相等的角（不含）有，，，，，共个， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质． 由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，由，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东深圳·月考）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点处，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵ ∴ 由题意，得：， ∴； 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知：如图，，，，，请问吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，垂直的定义，掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． 先证明，得到，继而推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：．理由如下∶ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． 【经典例题九 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，平分，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 根据两直线平行、同旁内角互补求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选A． 【例2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再根据可知， 把，代入求出的值， 进而可得出结论，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查方向角问题，三角形内角和定理．过点作于，再在利用等积法即可得到本题答案． 【详解】解：过点作于， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， 即线段的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【答案】与互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．由得，结合角平分线的定义可证，从而，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得结论．． 【详解】解：与互补，理由如下： ， ，   平分， ， 同理，， ， ， ． 【经典例题十 平行公理推论的应用】 【例1】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，直线，若，则 ． 【答案】35°/35度 【分析】过点E作EF11，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：如下图，过点E作EF11， ∵1112，EF11， ∴EF1112， ∴∠1=∠AEF=35°，∠FEC=∠3， ∴∠2=∠AEF+∠FEC=∠1+∠3=35°+∠3， ∴∠2-∠3=35°+∠3-∠3=35°， 故答案为：35°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想解答． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知平分，垂直于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理和平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行公理和平行线的性质，准确进行推理证明． 【详解】解：∵ ∴，①正确； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴，②正确； ∵ ∴， ∵，即， ∵，即，③正确； ∵垂直于， ∴， ∵， ∴，④正确； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质以及平行公理的推论，掌握平行线的判定与性质的互推关系和平行公理的推论是解题的关键． （1）利用角平分线定义得到角的等量关系，结合已知推出，再由平行线的同旁内角互补求出，最后根据角平分线求出． （2）由推出，结合（1）中已证的，根据平行公理的推论得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴，． （2）证明：∵， ∴． 由（1），得， ∴． 【经典例题十一 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠性质平分角度，再在直角三角形中计算角度是解题的关键． 由折叠性质得到，再由得到，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据折叠性质即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得： ， ∴， ， 又， 由折叠可知，， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川广元·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若水面与杯底平行，且，则与的度数和是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 【经典例题十二 利用平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十三 利根据平行线判定与性质证明】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（2026七年级上·江苏南京·专题练习）如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线的性质和判定逐一判断即可． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④． 故答案为：②③④． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化．过F作，结合条件①可证；条件②可证；条件③可证；条件④的结果得到恒等式，据此判断即可． 【详解】解：添加①， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故①正确； 添加②， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 添加③， 则， 而F不在， 故不能证明，故③错误； 添加④， ∵， ∴，即， 无法证明，故④错误； 故选：C 2．（25-26七年级下·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·月考）如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴； ②由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 【拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则 ．（可用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，可得出，即可证明，，根据角平分线的定义得出，根据得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：因为，， 所以，． 又因为平分， 所以， 所以． 即． 2．（24-25七年级下·江西宜春·月考）已知：，与交于点M． (1)如图1，试判断的数量关系，并说明理由． (2)如图2，平分，平分，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及外角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． （1）过M作，利用平行线的性质即可得出结论； （2）由角平分线的定义得，，然后借助（1）的结论求解即可； （3）由得，然后借助（2）的结论即可求解． 【详解】（1）数量关系为：，理由如下： 过M作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴ 由（1）可知， ∴； （3）∵， ∴． 由（2）可知，． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (4)这两个角的度数为，或，． 【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论； （4）根据（3）的结论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角为，则这个角为， 当这两个角相等时， ， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 当这两个角互补时， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 综上所述：这两个角的度数为，或，． 【拓展训练二 利用平行线间的距离解决问题】 1．（2025七年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 2．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点．根据平移性质，得与平行四边形相等，可求解． 【详解】（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ，， 平行四边形的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【详解】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 【拓展训练三 拐点模型】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【例2】（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题关键在于通过作辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角与所求角建立联系，进而通过角的和差计算得出结果． 1．（24-25七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 【答案】(1)；85； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明；作即可得到，代入求得的度数． （2）如图所示，过点P作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，过点P作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 2．（25-26七年级下·全国·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，根据平行线公理推论得到，再根据平行线的性质得到，最后根据角度的和差关系、等量代换即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质可得，，则，代入即可解答． 【详解】（1）解：过点作，如图①， 则． ， ， ． （2）解：过点作，如图②，则． ， ， ． ，， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 【拓展训练四 平行线判定与性质的综合应用】 【例1】（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为 ． 【答案】/83度 【分析】本题考查了平行线的性质，作，由两直线平行，内错角相等可得，再结合题意得出，从而得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）取一副三角尺按图①所示的方式拼接，固定三角尺，将三角尺按顺时针方向旋转一个大小为的角得到三角形，示意图如图②所示． (1)当为多少度时，？请说明理由． (2)当分别为多少度时，，（不必说明理由）？ 【答案】(1)当时，．理由见解析 (2)当时，；当时， 【分析】（1）由于，，再利用旋转的性质得，根据内错角相等，两直线平行，当时，，则； （2）根据内错角相等，两直线平行，当，；当时，，此时． 【详解】（1）解：当时，． 理由如下：∵，，而三角尺按顺时针方向旋转一个大小为的角得到三角形， ． 当时，， 此时， 即为时，． （2）解：当时，； 当时，． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键． 2．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图，直线，直线交于点，交于点，，是直线上的动点（不与重合），以为直角顶点作直角三角形，且，点在直线右侧，记． (1)当点在点右侧时，若，求的度数； (2)在点运动过程中，若射线、、满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据，，求出，根据平行线的性质求出，根据，求出结果即可； （2）分两种情况：当平分时，当平分时，分别画出图形，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当平分时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当平分时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：的度数为或． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． A基础训练 1．（2025·江西·模拟预测）如图，与是两面互相平行的镜子，光线经过镜子反射时，，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的性质等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质结合已知条件可得，即，然后根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是合理的利用折叠的两个角相等；由图形可得，可得，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为折痕， ∴， 即， 解得． 故选：A． 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，下列条件能判定的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、根据不能判定，不符合题意； B、根据能判定，符合题意； C、根据能判定，不符合题意； D、根据能判定，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键．作，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 故选：B． 5．（2025·河北保定·模拟预测）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号所代表的内容，则下列回答错误的是（    ） 如图，，，平分，，求的度数． 解：， ． 平分， █． ， ◆， ，， ▲． A．※代表 B．█代表 C．◆代表 D．▲代表 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义可得，然后根据垂直定义可得，最后利用等角的余角相等即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线的意义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握等角的余角相等是解题的关键． B 提高训练 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号） 【答案】①⑥ 【分析】利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥． 【详解】①对顶角相等正确； ②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确； ③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确； ⑥同角的余角相等正确； 正确的有①⑥． 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 8．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点B作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点B作， ∵，， ， ∴，， ∴， ∵与的夹角为， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山西太原·月考）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东70°方向到村，从村沿北偏西30°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方向角及平行线的性质， 利用平行线的性质，即可得到，再根据，可得，进而得出答案． 【详解】解：如图： 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． C 培优训练 11．（2025七年级·全国·专题练习）平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 【答案】见解析 【分析】使5条直线平行，另3条直线平行且都与这5条相交，再有2条直线平行且都与这5条相交，且3条和2条也相交，即可． 【详解】解：如图所示． 【点睛】本题考查了平行线与相交线，熟练掌握平行线与相交线的性质是解本题的关键． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判断，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由题意可得，再由平角的定义可得，据此可得答案． （2）由角平分线的定义可得，，则由平角的定义可得，即，据此可证明，则． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 　＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　 　）， ∴（ 　 　）． 【答案】已知；∠1；同角的补角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】首先根据同角的补角相等，可得∠1＝∠3，可证得∠1＝∠4，再根据平行线的判定定理即可解答． 【详解】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴∠1＝∠3（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；∠1；同角的补角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了同角的补角相等及平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键． 14．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 15．（25-26七年级下·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $