精品解析：福建省厦门双十中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

厦门双十中学学年第一学期期末考试 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，为函数的一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的单调增区间是 D. 已知，，且，则的最小值为 10. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 11. 已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则________． 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为：_____． 14. 已知，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知函数的一个对称中心为 （1）求的解析式及单调增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，，求． 17. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； （3）已知正实数满足，，求的值． 19. 对于函数，若满足，，则称在区间上有性质． （1）函数在区间上______性质，函数在区间上______性质； （空格处填“有”或“没有”，无需说明理由） （2）若函数在上有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数． ①判断在上是否有性质，并说明理由． ②设集合，满足，定义函数是定义域为的单调增函数．若，请判断是否也属于，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学学年第一学期期末考试 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中的元素性质求解集合，再根据交集的概念计算即可. 【详解】因为， 所以，故 ． 故选：C. 2. 若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及单调性列式求出的值. 【详解】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1. 故选：B 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 所以函数的图像关于轴对称，排除BD； 又当时，，则，排除C，选项A符合要求. 故选：A. 4. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合两角和差的余弦公式及余弦函数的对称性，利用充要条件的概念判断即可. 【详解】由，得，解得， 故，，则为偶函数； 若为偶函数，则必有， 故“”是“为偶函数”的充要条件. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得出对数式的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 则. 故选：C. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 7. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，再分类讨论，与三种情况，利用的单调性即可得解. 【详解】由当且时，都有，得， 令，则且，成立， 因此函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 则的定义域为，且， 于是是偶函数，在上单调递减，， 当时，，不等式无解； 当时，不等式，解得； 当时，不等式，解得， 因此或，所以不等式的解集为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据给定的恒成立的不等式构造函数，再探讨其性质是求解的关键. 8. 已知函数，，为函数的一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，得到，结合推出，判断的范围，结合构造函数，判断其单调性，求得，进而将代入，即可求得答案. 【详解】由题意知函数，，为函数的一个零点， 则，显然，则， 由于，故， 当时，，不符合题意， 当时，，则可化为， 令， 由于，则均在上单调递增，即得在上单调递增， 又， 故当时，，即得； 将代入得， 由于，故， 即的取值范围为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的单调增区间是 D. 已知，，且，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：由于，即2和3都为第二象限角，即可判断；选项B：根据正切函数的定义域即可判断；选项C：根据复合函数的单调性的定义，结合对数函数及二次函数的单调性，即可判断；选项D：根据基本不等式即可判断. 【详解】选项A：由于，故，， 故，故A错误； 选项B：由，得，故B正确； 选项C：由，得， 且此时的单调减区间为，又为单调递减函数， 故的单调增区间为，故C错误； 选项D：由，，且， 得， 当且仅当，即，结合，得时， 不等式取等号，故的最小值为，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得函数周期，据此可判断选项正误；对于B，由题可得或，，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后结合函数的最小正周期，可得，可判断选项正误；对于D，由在单调递减且，可得不等式，然后由t的存在性结合可判断选项正误. 【详解】对于A，如图，过B点作x轴垂线，垂足为C，因， 则，设函数最小正周期为，所以，故， 又，则，解得，故A正确； 对于B，因，则，又由图可得，且点在减区间图象上， 所以，因，则， 则，令， 则，或，， 则，或，， 则当时，，故B正确； 对于C，由B分析，， ， ， ， 则， 又由A可知函数最小正周期为，而， 则， 故C错误； 对于D，由B分析，，因， 则，又在单调递减且， 则，则， 因存在，则. 则，的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令代入即可得解；对于B，令化简可得，代入数值判断即可；对于C，由B可得，由A可得，代入数值判断即可；对于D，求出特殊点的值，得到周期性规律，即可得到，即可判断. 【详解】对于A：令，得，则或， 若，令，得，此时，不符合题意， 则，故A正确； 对于B：令得，， 令，则，即，所以，故B错误； 对于C：由B知，， 又令得，，由A选项知， 所以，即， 所以，故C正确； 对于D选项：由C知，， 又，，，， 故， 因此，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解. 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为：_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，利用平方和关系求得，从而利用正弦定理可得，即可解答. 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又， 故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得， 解得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 14. 已知，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式可知或，又因为正弦函数的值域所以，代入原式，计算得出，由此可得时有最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，故， 当时，， 当且仅当时取等号，故， 因为正弦函数的值域为，所以，即， 所以，当且仅当时成立， 将代入原方程：， 故，整理得， 当即时，有最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 16. 已知函数的一个对称中心为 （1）求的解析式及单调增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，，求． 【答案】（1）；单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）应用二倍角的正弦及余弦公式，辅助角公式化简，再用对称中心的特征，得，从而求出的值，即可求出的解析式，结合正弦函数的单调递增区间即可求出的单调增区间； （2）由条件得，结合正弦函数的对称性，可得消去，利用诱导公式可得，从而得出答案. 【小问1详解】 由 ， 的一个对称中心为，故， 故，即，又，故， 故， 由, 得， 故的单调增区间为； 【小问2详解】 由（1），及， 得，又，故， 由条件得，是的两个根， 故，且解得， 故. 17. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）， （2）当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【解析】 【分析】（1）根据，得到两个方程，求解方程组即可； （2）根据对数函数单调性的性质、运用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，且， 所以，. 【小问2详解】 ， 当时， ， 令，在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 于是根据对数型函数单调性的性质， 可知当或2时，所以. 当时， ， 当且仅当即时等号成立. 综上所述，当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数型函数的单调性的性质和换元法的应用. 18. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； （3）已知正实数满足，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对称性可知，由此可得，由偶函数定义可知，由此可构造方程求得的值； （2）将问题转化为在上有解，分别讨论和的情况即可求得结果； （3）将已知等式变形可得，构造函数，利用单调性定义可证得单调递增，由此可得，代入所求式子即可. 【小问1详解】 与的图象关于直线对称，， ； 的定义域为，且为偶函数，， ，，解得：. 【小问2详解】 ，， 由得：； 由得：； ，即在上有解； 当时，，解得：，满足题意； 当且时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 ，，，即，； 设，令，则， ，，，又， 在上单调递增， 由得：，，即， . 19. 对于函数，若满足，，则称在区间上有性质． （1）函数在区间上______性质，函数在区间上______性质； （空格处填“有”或“没有”，无需说明理由） （2）若函数在上有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数． ①判断在上是否有性质，并说明理由． ②设集合，满足，定义函数是定义域为的单调增函数．若，请判断是否也属于，并说明理由． 【答案】（1）有；没有 （2） （3） ①在上有性质，理由如下： 由（1）可知在上有性质，所以， 又由二次函数的性质可知在上单调递增， 且当时，， 所以，同理可得， 所以在上有性质； ②根据题意，若，则， 取，若，则，所以， 但，这与是增函数矛盾，故， 当时，，所以， 再根据的单调性，则， 记，，…，，， 所以，同理，，， 由于， 所以， 取，， 要证属于，只需证明存在正整数，使得， 因为，则上述条件等价于， 即， 由于， 故， 所以属于. 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义判断在给定区间上的符号即可判断； （2）根据性质的定义可知在上恒成立，利用对数的运算性质解不等式即可； （3）①根据性质的定义可知，结合的单调性可知，即可得解；②由且单调递增可知对任意有，任取，假设可推导假设不成立得到，构造递推序列可得，再分析的递推关系即可得解. 【小问1详解】 因为当时，， 所以在区间上，有性质； 当时，令，则， 不满足，，所以在区间上没有性质； 【小问2详解】 函数在上有性质， 则在上恒成立， 由对数有意义可知且，解得， 所以，即， 整理得，所以， 因为当时，， 所以不等式等价于在上恒成立，即， 解得， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $