教考衔接五 函数与基本初等函数学案-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -----------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用------------------------- 教考衔接五 函数与基本初等函数 --------------■高考命题·解读■----------------- 核心考点 五年考情 考点1.求函数值 2024 新高考 I 卷 考点2.函数的图象 2024 全国甲卷；2022 全国甲卷；2022 全国乙卷 考点3.比较函数值的大小关系 2025 全国一卷；2023 全国甲卷； 2022 新高考全国 I 卷；2022 全国甲卷 考点4.函数奇偶性的定义与判断 2023 新课标 I 卷；2021 全国乙卷；2021 新高考全国 II 卷 考点5.由奇偶性求参数 2023 全国甲卷；2023 全国乙卷；2023 新课标 II 卷； 2022 全国乙卷；2021 新高考全国 I 卷 考点6.函数奇偶性的应用 2025 全国一卷；2025 全国二卷； 2022 新高考全国 I 卷；2021 全国甲卷；2021 全国甲卷 考点7.函数的周期性 2022 新高考全国 II 卷；2021 新高考全国 II 卷 考点8.函数的对称性 2024 新高考全国 I 卷；2024 新课标 II 卷； 2023 全国乙卷；2022 全国乙卷 考点9.指对数的运算 2024 全国甲卷 考点10.函数的零点 2024 新高考全国 I 卷；2024 全国甲卷； 2024 新课标 II 卷；2023 新课标 I 卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.函数是高中数学的主干内容，高考考查的内容主要有： ①结合函数的定义综合考查函数的基本性质； ②结合一元一次不等式、一元二次不等式、指数与对数不等式考查函数的定义域； ③考查用待定系数法、换元法等求解函数的解析式； ④考查指数函数、对数函数、二次函数、幂函数的图象和性质； ⑤结合函数的图象考查函数的性质、函数的零点与方程的根； ⑥结合实际问题考查函数的应用. 2.函数的基本性质与应用是高考的高频考点，以选择题或填空题为主. 3.常结合函数的单调性、奇偶性、周期性命题，或将函数的性质融入函数的图象进行考查 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第一册P72习题3.1·T1)求下列函数的定义域. （1）f(x)=; （2）f(x)=; （3）f(x)=; （4）f(x)=. 【🚀衔接高考】 (2022·北京卷)函数f(x)=+的定义域是　　　　.  【教材母题2】 (人教A版必修第一册P101·T7)已知函数f(x)= 求f(1),f(-3),f(a+1)的值. 【🚀衔接高考】 (2021·浙江高考)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.  【教材母题3】 (人教A版必修第一册P69T3)给定函数f(x)=-x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R, （1）画出函数f(x),g(x)的图象; （2）∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x). 【🚀衔接高考】 (2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  【教材母题4】 (湘教版必修第一册P78T16)设函数sign(x)的定义为sign(x)= (1)画出该函数的图象; (2)探索利用函数sign(x)把分段函数写成一个解析表达式的方法. 【教材母题5】 (人教A版必修第一册P84例6)判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5; (3)f(x)=x+; (4)f(x)=. 【教材母题6】 (人教B版必修第一册P117T8)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,求实数a的值. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.  【教材母题7】 (人教A版必修第一册P85练习T1)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整. 【🚀衔接高考】 （1）（2025·天津高考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． （2）(2022·全国甲卷)函数y=(3x-3-x)·cos x在区间上的图象大致为(　　) (3)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 【🚀新题预测】 （2026·天津模拟）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【教材母题8】 (人教A版必修第一册P86T7)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x(x∈[2,4]), (1)求f(x),g(x)的单调区间; (2)求f(x),g(x)的最小值. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 【教材母题9】 (北师大版必修第一册P73C组T2)若函数f(x)的定义域是R,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,试判断f(x)的奇偶性. 【🚀衔接高考】 (多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 【🚀新题预测】 （2026·辽宁模拟）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ． ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 【教材母题10】 (人教A版必修第一册P100T4)已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上具有单调性,求实数k的取值范围. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 【🚀新题预测】 （2026·甘肃白银模拟）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【教材母题11】 (人教A版必修第一册P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数): (1)(2)(-6)÷(-3); (2)()8; (3)(-)÷. 【🚀衔接高考】 （一题多解） (2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a=(　　) A. B. C. D. 【教材母题12】 (人教A版必修第一册P127T5)已知lg 2=a,lg 3=b,求下列各式的值: (1)lg 6; (2)log34; (3)log212;(4)lg . 【教材母题13】 (人教A版必修第一册P127T6)求满足下列条件的各式的值: (1)若xlog34=1,求4x+4-x的值; (2)若f(x)=3x,求f(log32)的值. 【🚀衔接高考】 (1)(2021·天津卷)若2a=5b=10,则+=(　　) A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710 (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  【教材母题14】 (北师大版必修第一册P69B组T1)下列函数中,哪些满足性质T1:f(x+y)=f(x)+f(y),T2:f(x·y)=f(x)·f(y)?为什么? (1)f(x)=; (2)f(x)=x3; (3)f(x)=2x; (4)f(x)=1;(5)f(x)=. 【🚀衔接高考】 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则(k)=(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 (2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数. 【教材母题15】 (人教B版必修第二册P53T9)已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax是偶函数,求a的值. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 （2）（一题多解(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  【教材母题16】(人教A版必修第一册P120T9)已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交. (1)求该函数的【解析】式,并画出图象; (2)判断该函数的奇偶性和单调性. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则 a=(　　) A.-1 B. C.1 D.2 【教材母题17】 (人教A版必修第一册P140T4)函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示. (1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么; (2)以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出y=lox,y=lox,y=lox的图象; (3)从(2)的图中你发现了什么? 【教材母题18】（人教A版必修第一册P141·T13）比较下列各题中三个值的大小: （1）log0.26,log0.36;log0.46； （2）log23,log34;log45. 【教材母题19】（湘教版必修第一册P125·T11）比较a,b,c的大小. （1）已知1<x<2,a=(log2x)2,b=log2x2,c=log2(log2x); （2）已知a=log36,b=log510,c=log714. 【🚀衔接高考】 （1）(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 （2） (2021·新高考Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c （3）（2025·全国一卷）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是 (　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 【教材母题20】 (湘教版必修第一册P126T18)已知函数f(x)=loga (a>0且a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)判断函数f(x)的单调性. 【🚀衔接高考】 （1）(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.[2,+∞) D.[5,+∞) （2）（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． （3）（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【教材母题21】 (人教A版必修第一册P156T13)有一道题“若函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围”,某同学给出了如下解答: 由f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0,解得-<a<.所以实数a的取值范围是. 上述解答正确吗?若不正确,请说明理由,并给出正确的解答. 【教材母题22】 (人教A版必修第一册P160T4)已知函数f(x)=求使方程f(x)=k(k<0)的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围. 【教材母题23】(人教A版必修第一册P160T5(3))已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 【🚀衔接高考】 (1)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) (2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  【教材母题24】 (人教A版必修第一册P160T6)设f(x)=,g(x)=,求证: (1)[g(x)]2-[f(x)]2=1; (2)f(2x)=2f(x)g(x); (3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2. 【🚀新题预测】 （2026·广东广州模拟）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【教材母题25】 (人教A版必修第一册P161T12)对于函数f(x)=a-(a∈R). （1）探索函数f(x)的单调性; （2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数? 【🚀衔接高考】 (2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 【教材母题26】(人教A版必修第一册P141T10)声强级LI:(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2). （1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为10-12 W/m2,求人听觉的声强级范围; （2）平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级. 【🚀衔接高考】 (1)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 （2）(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《阅读与思考——函数概念的发展历程》(人教A版必修第一册P75)和《数学文化——函数概念的形成与发展》(湘教版必修第一册P87),可从中提炼出如下结论: (1)狄利克雷函数D(x)=具有如下性质: ①定义域R;值域{0,1}. ②奇偶性:偶函数. ③周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期. ④无法画出函数的图象,但其图象客观存在. (2)高斯函数:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]=3,[-2.1]=-3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y=[x]称为高斯函数,又称取整函数.具有如下性质: ①定义域:R,值域:Z. ②不具有单调性、奇偶性和周期性,其图象为: 【🚀衔接高考】 (1)(2026·武汉模拟)狄里克雷(1805~1859)是德国数学家,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解决数论的创始人之一.1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数D(x)=下列叙述中错误的是(　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x+)=D(x) C.D(D(x))=1 D.D(x)是周期函数 (2)(多选题)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域包含的元素可能有(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【阅读2】通过阅读《探究与发现——探究函数y=x+的图象与性质》(人教A版必修第一册P92),可提炼出如下性质: 1.函数 具有下列最基本的性质： （1）函数是奇函数,图象关于原点对称. （2）函数在,上单调递增,在,上单调递减. （3）当时,,当且仅当时取等号,即当时,函数在处取得最小值，最小值为2；当时,,当且仅当时取等号,即当时,函数在处取得最大值，最大值为. 2.一般地,函数 有下列性质： 性质 图象 定义域 ,且 ,且 值域 或 单调性 在,上单调递增 在，上单调递增； 在,上单调递减 奇偶性 奇函数 奇函数 图象特点 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与 最值 无最大值，也无最小值 当时，;当时， ［性质推广］ 函数的图象是以直线和直线为渐近线的双曲线. 【🚀衔接高考】 （1）已知是曲线上任一点,点到直线与直线的距离分别为,,则（ ） A. 1 B. C. D. 2 （2）已知是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线与直线，轴围成的三角形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. （3）函数,的值域为_____________ . （4）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________________ 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第一册P85) （1）判断函数f(x)=x3+x的奇偶性. （2）如图是函数f(x)=x3+x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗? （3）一般地,如果知道y=f(x)为偶(奇)函数,那么我们可以怎样简化对它的研究? 【探究2】 (人教A版必修第一册P132)我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如y=log2x和y=lox,它们的图象是否也有某种对称关系呢?可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象? 【探究3】(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图像的对称中心； （2）请利用函数的对称性求的值. （3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【🚀衔接高考】 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1 【🚀新题预测】 （2026·河北石家庄模拟）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -----------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用------------------------- 教考衔接五 函数与基本初等函数 --------------■高考命题·解读■----------------- 核心考点 五年考情 考点1.求函数值 2024 新高考 I 卷 考点2.函数的图象 2024 全国甲卷；2022 全国甲卷；2022 全国乙卷 考点3.比较函数值的大小关系 2025 全国一卷；2023 全国甲卷； 2022 新高考全国 I 卷；2022 全国甲卷 考点4.函数奇偶性的定义与判断 2023 新课标 I 卷；2021 全国乙卷；2021 新高考全国 II 卷 考点5.由奇偶性求参数 2023 全国甲卷；2023 全国乙卷；2023 新课标 II 卷； 2022 全国乙卷；2021 新高考全国 I 卷 考点6.函数奇偶性的应用 2025 全国一卷；2025 全国二卷； 2022 新高考全国 I 卷；2021 全国甲卷；2021 全国甲卷 考点7.函数的周期性 2022 新高考全国 II 卷；2021 新高考全国 II 卷 考点8.函数的对称性 2024 新高考全国 I 卷；2024 新课标 II 卷； 2023 全国乙卷；2022 全国乙卷 考点9.指对数的运算 2024 全国甲卷 考点10.函数的零点 2024 新高考全国 I 卷；2024 全国甲卷； 2024 新课标 II 卷；2023 新课标 I 卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.函数是高中数学的主干内容，高考考查的内容主要有： ①结合函数的定义综合考查函数的基本性质； ②结合一元一次不等式、一元二次不等式、指数与对数不等式考查函数的定义域； ③考查用待定系数法、换元法等求解函数的解析式； ④考查指数函数、对数函数、二次函数、幂函数的图象和性质； ⑤结合函数的图象考查函数的性质、函数的零点与方程的根； ⑥结合实际问题考查函数的应用. 2.函数的基本性质与应用是高考的高频考点，以选择题或填空题为主. 3.常结合函数的单调性、奇偶性、周期性命题，或将函数的性质融入函数的图象进行考查 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第一册P72习题3.1T1)求下列函数的定义域: （1）f(x)=; （2）f(x)=; （3）f(x)=; （4）f(x)=. 【解析】(1){x|x≠4};(2)R;(3){x|x≠1,且x≠2};(4){x|x≤4,且x≠1}. 【🚀衔接高考】 (2022·北京卷)函数f(x)=+的定义域是　　　　.  【答案】　(-∞,0)∪(0,1] 【解析】　因为f(x)=+,所以，即x∈(-∞,0)∪(0,1]. 【教材母题2】 (人教A版必修第一册P101T7)已知函数f(x)=求f(1),f(-3),f(a+1)的值. 【解析】因为f(x)=所以f(1)=1×(1+4)=5,f(-3)=-3×(-3-4)=21. 当a+1≥0即a≥-1时,f(a+1)=(a+1)(a+5)=a2+6a+5, 当a+1<0即a<-1时,f(a+1)=(a+1)(a-3)=a2-2a-3,所以f(a+1)= 【🚀衔接高考】 (2021·浙江高考)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.  【答案】　2 【解析】　f[f()]=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2. 【教材母题3】 (人教A版必修第一册P69T3)给定函数f(x)=-x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R, （1）画出函数f(x),g(x)的图象; （2）∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x). 【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象(图1). (2)由图1中函数取值的情况,结合函数m(x)的定义,可得函数m(x)的图象(图2). 由(x-1)2=-x+1,得x(x-1)=0, 解得x=0,或x=1.结合图2,得出函数m(x)的解析式为m(x)= 【🚀衔接高考】 (2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  【答案】　[10,+∞) 【解析】　设g(x)=|x|-2,h(x)=x2-ax+3a-5,因为g(x)有2个零点,f(x)至少有3个零点,所以h(x)必有零点. 对于h(x)=x2-ax+3a-5. (1)当Δ=0时,a=2或10. ①当a=2时,h(x)=x2-2x+1,如图1.此时,f(x)=|x|-2,有2个零点,不符合题意. ②当a=10时,h(x)=x2-10x+25,如图2.此时,f(x)有3个零点,符合题意. (2)当Δ>0时,a<2或a>10.设h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2. ①当a<2时,要使f(x)至少有3个零点,h(x)的两个零点x1,x2需满足x1<x2≤-2,如图3, 所以所以不等式组无解. ②当a>10时,要使f(x)至少有3个零点,需h(x)的两个零点x1,x2满足2≤x1<x2,如图4, 所以解得a>4,所以a>10. 综上,a的取值范围为[10,+∞). 【教材母题4】 (湘教版必修第一册P78T16)设函数sign(x)的定义为sign(x)= (1)画出该函数的图象; (2)探索利用函数sign(x)把分段函数写成一个解析表达式的方法. 【解析】(1)由题意,函数sign(x)=可得函数sign(x)的图象,如图所示. (2)若分段函数的表达式为f(x)=则可改写为f(x)=h(x)sign(x). 【教材母题5】 (人教A版必修第一册P84例6)判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5; (3)f(x)=x+; (4)f(x)=. 【解析】(1)函数f(x)=x4的定义域为R.因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)4=x4=f(x), 所以函数f(x)=x4为偶函数. (2)函数f(x)=x5的定义域为R.因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x), 所以函数f(x)=x5为奇函数. (3)函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}.因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},且f(-x)=-x+=-=-f(x), 所以函数f(x)=x+为奇函数. (4)函数f(x)=的定义域为{x|x≠0}.因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},且f(-x)===f(x), 所以函数f(x)=为偶函数. 【教材母题6】 (人教B版必修第一册P117T8)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,求实数a的值. 【解析】因为函数f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3是偶函数,所以f(-x)=f(x).整理得(2a-4)x=0,由x的任意性得2a-4=0,解得a=2. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.  【答案】　2 【解析】　f(x)=(x-1)2+ax+sin=(x-1)2+ax+cos x. 解法一　因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x-1)2-ax+cos(-x)=(x-1)2+ax+cos x,得a=2. 解法二因为f(x)为偶函数,定义域为R,所以f=f,即-a=+a,得a=2. 此时f(x)=(x-1)2+2x+cos x=x2+1+cos x, 所以f(-x)=(-x)2+1+cos(-x)=x2+1+cos x=f(x),又定义域为R,故f(x)为偶函数,所以a=2. 【教材母题7】 (人教A版必修第一册P85练习T1)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整. 【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称.因为g(x)是奇函数,所以g(x)的图象关于原点对称. 图象如图所示: 【🚀衔接高考】 （1）（2025·天津高考）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D （2）(2022·全国甲卷)函数y=(3x-3-x)·cos x在区间上的图象大致为(　　) 【答案】　A 【解析】　法一(特值法)取x=1,则y=cos 1=cos 1>0; 取x=-1,则y=cos(-1)=-cos 1<0.结合选项知选A. 法二　令y=f(x),则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以函数y=(3x-3-x)cos x是奇函数,排除B,D; 取x=1,则y=cos 1=cos 1>0,排除C,故选A. (3)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 【答案】　A 【解析】　对于选项B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;对于选项D,当x=3时,y=sin 3>0,与图象不符,故排除D;对于选项C,当0<x<时,0<cos x<1,故y=<≤1,与图象不符,所以排除C.故选A. 【🚀新题预测】 （2026·天津模拟）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为R，则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项；又因为，故排除B选项. 故选A． 【教材母题8】 (人教A版必修第一册P86T7)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x(x∈[2,4]), (1)求f(x),g(x)的单调区间; (2)求f(x),g(x)的最小值. 【解析】　(1)f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,函数图象的对称轴为直线x=1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为(1,+∞).因为g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[2,4],所以g(x)的单调递增区间为[2,4]. (2)f(x)min=f(1)=-1,g(x)min=g(2)=0. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 【答案】　C 【解析】　由f(x)≥0及y=x+a,y=ln(x+b)单调递增,可得x+a与ln(x+b)同正、同负或同为零, 所以当ln(x+b)=0时,x+a=0,即所以b=a+1, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥,故选C. 【教材母题9】 (北师大版必修第一册P73C组T2)若函数f(x)的定义域是R,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,试判断f(x)的奇偶性. 【解析】令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),则f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0, 所以f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数. 【🚀衔接高考】 (多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 【答案】　ABC 【解析】　取x=y=0,则f(0)=0+0=0,故A正确; 取x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,故B正确;取x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0; 取y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故C正确; 由于f(0)=0,且函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称, 所以x=0可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,故D不正确.综上,选ABC. 【🚀新题预测】 （2026·辽宁模拟）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ． ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 【答案】（答案不唯一） 【解析】取，满足条件①．， 满足条件②．在区间上单调递减，满足条件③． 故满足题意． 故答案为：（答案不唯一） 【教材母题10】 (人教A版必修第一册P100T4)已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上具有单调性,求实数k的取值范围. 【解析】因为f(x)=4x2-kx-8在上单调递减,在上单调递增,所以≥20,或≤5,解得k∈(-∞,40]∪[160,+∞). 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 【答案】　B 【解析】　因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B. 【🚀新题预测】 （2026·甘肃白银模拟）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由是R上的单调递增函数，可得：， 解得，所以实数a的取值范围为， 【教材母题11】 (人教A版必修第一册P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数): (1)(2)(-6)÷(-3); (2)()8; (3)(-)÷. 【解析】(1)(2)(-6)÷(-3)=[2×(-6)÷(-3)]=4ab0=4a. (2)()8=()8()8=m2n-3=. (3)(-)÷=(-)÷=÷-÷=-=-a=-a. 【🚀衔接高考】 （一题多解） (2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a=(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　解法一　因为alog34=2,所以log34a=2,所以4a=32=9,所以4-a==.故选B. 解法二因为alog34=2,所以a==2log43=log432=log49,所以4-a===9-1=.故选B. 【教材母题12】 (人教A版必修第一册P127T5)已知lg 2=a,lg 3=b,求下列各式的值: (1)lg 6; (2)log34; (3)log212;(4)lg . 【解析】(1)lg 6=lg(2×3)=lg 2+lg 3=a+b. (2)log34===. (3)log212=====. (4)lg =lg 3-lg 2=b-a. 【教材母题13】 (人教A版必修第一册P127T6)求满足下列条件的各式的值: (1)若xlog34=1,求4x+4-x的值; (2)若f(x)=3x,求f(log32)的值. 【解析】(1)若xlog34=1,则x===log43,所以4x+4-x=+=3+=3+=. (2)因为f(x)=3x,所以f(log32)==2. 【🚀衔接高考】 (1)(2021·天津卷)若2a=5b=10,则+=(　　) A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710 【答案】C 【解析】因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以+=+=lg 2+lg 5=lg 10=1. (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  【答案】　64 【解析】　根据题意有-=-,即3loga2-=-,设t=loga2(a>1),则t>0, 故3t-=-,得t=(t=-1舍去),所以loga2=,所以=2,所以a=64. 【教材母题14】 (北师大版必修第一册P69B组T1)下列函数中,哪些满足性质T1:f(x+y)=f(x)+f(y),T2:f(x·y)=f(x)·f(y)?为什么? (1)f(x)=; (2)f(x)=x3; (3)f(x)=2x; (4)f(x)=1;(5)f(x)=. 【解析】(1)函数的定义域为[0,+∞),由于f(x+y)=≠+,f(x·y)==·=f(x)·f(y), 则不满足T1,满足T2. (2)函数的定义域为R,由于f(x+y)=(x+y)3≠x3+y3,f(xy)=(xy)3=x3·y3=f(x)f(y), 则不满足T1,满足T2. (3)函数的定义域为R,由于f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y),f(xy)=2xy≠f(x)f(y),则满足T1,不满足T2. (4)函数的定义域为R,由于f(x+y)=1≠f(x)+f(y)=2,f(xy)=f(x)f(y)=1,则不满足T1,满足T2. (5)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由于f(x+y)=≠f(x)+f(y),f(xy)==f(x)f(y),则不满足T1,满足T2. 【🚀衔接高考】 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则(k)=(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 【答案】　A 【解析】　因为f(1)=1,所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中, 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),①所以f(x+2)+f(x)=f(x+1).② 由①②相加,得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x), 所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中, 令y=0,得f(x)+f(x)=f(x)f(0),所以f(0)=2.令x=1,y=1,得f(2)+f(0)=f(1)f(1),所以f(2)=-1. 由f(x+3)=-f(x),得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2, 所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0, 根据函数的周期性知,f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3,故选A. (2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数. 【答案】　f(x)=x4(答案不唯一,f(x)=x2n(n∈N*)均满足) 【解析】　取f(x)=x4,则f(x1x2)===f(x1)f(x2),满足①;f'(x)=4x3,x>0时有f'(x)>0,满足②; f'(x)=4x3的定义域为R,又f'(-x)=-4x3=-f'(x),故f'(x)是奇函数,满足③. 【教材母题15】 (人教B版必修第二册P53T9)已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax是偶函数,求a的值. 【解析】因为函数f(x)=ln(ex+1)-ax,x∈R是偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以ln(e-x+1)+ax=ln(ex+1)-ax,所以2ax=ln(ex+1)-ln(e-x+1)=ln=ln ex=x, 所以(2a-1)x=0对x∈R恒成立,解得a=. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】　D 【解析】　解法一　f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即=, 即e(1-a)x-ex=-e(a-1)x+e-x,即e(1-a)x+e(a-1)x=ex+e-x,所以a-1=±1,解得a=0(舍去)或a=2. 解法二　f(x)==,f(x)是偶函数,又y=x是奇函数,所以y=e(a-1)x-e-x是奇函数, 故a-1=1,即a=2. （2）（一题多解(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  【答案】　1 【解析】解法一　因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立, 所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1. 解法二　因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-=2a-,解得a=1, 经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1. 解法三　由题意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数. 设g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-2-x为奇函数, 所以h(0)=a·20-2-0=0,解得a=1, 经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1. 【教材母题16】(人教A版必修第一册P120T9)已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式,并画出图象; (2)判断该函数的奇偶性和单调性. 【解析】　(1)因为函数y=a+b的图象过原点,所以a+b=0,即a+b=0,即-a=b, 函数y=a-a=a.又0<≤1,-1<-1≤0, 且y=a+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交, 所以a<0,且0≤a<-a,所以-a=2,y=-2+2,其图象如图所示. (2)显然函数的定义域为R,令y=f(x),则f(-x)=-2+2=-2+2=f(x), 即f(x)是偶函数.当x>0时,y=-2+2=-2+2单调递增, 当x<0时,y=-2+2=-2+2单调递减, 即y=-2+2在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则 a=(　　) A.-1 B. C.1 D.2 【答案】　D 【解析】　由题意知f(x)=g(x),则a(x+1)2-1=cos x+2ax,即cos x=a(x2+1)-1.令h(x)=cos x-a(x2+1)+1.易知h(x)为偶函数,由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零点, 所以h(0)=0,即cos 0-a(0+1)+1=0,得a=2,故选D. 【教材母题17】 (人教A版必修第一册P140T4)函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示. (1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么; (2)以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出y=lox,y=lox,y=lox的图象; (3)从(2)的图中你发现了什么? 【解析】(1)当底数大于1时,在x=1的右侧,底数越大,函数图象越靠近x轴,所以①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x. (2) (3)从(2)的图中发现y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象分别与y=lox,y=lox,y=lox的图象关于x轴对称. 【教材母题18】（人教A版必修第一册P141·T13）比较下列各题中三个值的大小: （1）log0.26,log0.36;log0.46； （2）log23,log34;log45. 【解析】（1）log0.26=,log0.36=,log0.46=. 因为log60.2<log60.3<log60.4<0,所以>>,所以log0.26>log0.36>log0.46. （2）由log23-log34=-=>>=0, 即有log23-log34>0,即log23>log34, 同理可得log34>log45,则log23>log34>log45. 【教材母题19】（湘教版必修第一册P125·T11）比较a,b,c的大小. （1）已知1<x<2,a=(log2x)2,b=log2x2,c=log2(log2x); （2）已知a=log36,b=log510,c=log714. 【解析】(1) 1<x<2,则0=log21<log2x<log22=1,即log2x∈(0,1),b=log2x2=2log2x>(log2x)2=a, c=log2(log2x)<log21=0,综上所述,b>a>c. （2）a=log36=log33+log32=1+log32=1+,b=log510=log55+log52=1+log52=1+, c=log714=log77+log72=1+log72=1+,lg 2>lg 1=0,lg 7>lg 5>lg 3,则a>b>c. 【🚀衔接高考】 （1）(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 【解析】选B.由指数和对数的运算性质可得2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b. 令f(x)=2x+log2x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为22b+log2b<22b+log2b+1=22b+log2(2b), 所以2a+log2a<22b+log2(2b),即f(a)<f(2b),所以a<2b.故选B. （2） (2021·新高考Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 【解析】选C.a=log52<log5==log82<log83=b,即a<c<b. （3）（2025·全国一卷）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是 (　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 【解析】选B.　 解法1：令x＝1，则y＝，z＝，得x>y>z.令x＝8，则y＝9，z＝1，得y>x>z. 令x＝64，则y＝243，z＝125，得y>z>x. 解法2：设2＋log2x＝3＋log 3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t-2，y＝35-3，z＝5t-5. 当x>y时，2t-2>3t-3解得t<<5；当z>y时，5t-5>3t-3解得t>>5. 因此当x>z>y时，t无解． 故选B. 解法3：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t-2，y＝3t-3，z＝5t-5. 设函数f(t)＝2t-2，g(t)＝3t-3，h(t)＝5t-5. 函数l1(t)＝f(t)－g(t)有且仅有一个零点t1＝∈(4，5)；函数l2(t)＝f(t)－h(t)有且仅有一个零点t2＝∈(7，8)；函数l3(t)＝g(t)－h(t)有且仅有一个零点t3＝∈(9，10). 当t∈(－∞，t1)时，f(t)>g(t)>h(t)，即x>y>z；当t∈(t1，t2)时，g(t)>f(t)>h(t)，即y>x>z； 当t∈(t2，t3)时，g(t)>h(t)>f(t)，即y>z>x；当t∈(t3，＋∞)时，h(t)>g(t)>f(t)，即z>y>x. 故选B. 解法4：设2＋log2x＝3＋log 3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t-2，y＝35-3，z＝5t-5. 设函数f(x)＝xt－x＝e(t－x)ln x，x≥2. 设函数g(x)＝(t－x)ln x，x≥2.g′(x)＝.因为x(1＋ln x)是增函数，故可通过取区间(－∞，2＋2ln 2)，(2＋2ln 2，3＋3ln 3)，(3＋3ln 3，5＋5ln 5)，(5＋5ln 5，＋∞)中t的特殊值来确定大小关系． 当t<2＋2ln 2时，g′(x)<0，g(x)在区间(2，＋∞)单调递减，从而g(2)>g(3)>g(5)，所以f(2)>f(3)>f(5)，即x>y>z. 当2＋ln 2<t<3＋3ln 3时，取t＝5，则g(2)＝3ln 2，g(3)＝2ln 3，g(5)＝0，可得g(3)>g(2)>g(5)，所以f(3)>f(2)>f(5)，即y>x>z. 当3＋3ln 3<t<5＋5ln 5时，取t＝9，则g(2)＝7ln 2，g(3)＝6ln 3，g(5)＝4ln 5，可得g(3)>g(5)>g(2)，所以f(3)>f(5)>f(2)，即y>z>x. 故选B. 【教材母题20】 (湘教版必修第一册P126T18)已知函数f(x)=loga (a>0且a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)判断函数f(x)的单调性. 【解析】　(1)由>0,可得-4<x<4,f(-x)=loga=-loga=-f(x),故f(x)为奇函数. (2)令t(x)==-1+,任取-4<x1<x2<4,则t(x1)-t(x2)=-=>0, 所以t(x1)>t(x2).当a>1时,f(x1)>f(x2),即f(x)在(-4,4)上单调递减,当0<a<1时,f(x1)<f(x2),即f(x)在(-4,4)上单调递增. 【🚀衔接高考】 （1）(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.[2,+∞) D.[5,+∞) 【答案】　D 【解析】　由x2-4x-5>0,得x<-1或x>5. 令t=x2-4x-5,则函数t=x2-4x-5在(-∞,-1)单调递减,在(5,+∞)单调递增,函数y=lg t为增函数, 故要使函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则有(a,+∞)⊆(5,+∞),即a≥5.故选D. （2）（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知对一切成立，于是. 故选A （3）（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确；故选ABD. 【教材母题21】 (人教A版必修第一册P156T13)有一道题“若函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围”,某同学给出了如下解答: 由f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0,解得-<a<.所以实数a的取值范围是. 上述解答正确吗?若不正确,请说明理由,并给出正确的解答. 【解析】不正确.因为该同学只考虑了函数在(-1,1)内存在零点,而没有考虑只有一个零点,正确解法如下: (1)当a=0时,f(x)=4x-1=0,得x=∈(-1,1),故a=0满足; (2)当a≠0时, ①f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0,得-<a<,此时-<a<且a≠0满足题意. ②由Δ=42+4×24a=0,得a=-, ③若f(-1)=0,则a=,f(x)=5x2+4x-1,可得x1=,x2=-1,满足题意; 若f(1)=0,则a=-=-,f(x)=-3x2+4x-1,可得x1=,x2=1,满足题意, 综上,满足题意的实数a的取值范围是∪. 【教材母题22】 (人教A版必修第一册P160T4)已知函数f(x)=求使方程f(x)=k(k<0)的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围. 【解析】画出f(x)的图象与直线y=k,如图. 由图象可知,当k<-4时,f(x)=k有1个解;当k=-4或-3<k<0时,f(x)=k有2个解;当-4<k≤-3时,f(x)=k有3个解. 【教材母题23】(人教A版必修第一册P160T5(3))已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 【答案】　B 【解析】　由f(x)=2x+x=0可得2x=-x;由g(x)=log2x+x=0可得log2x=-x;由h(x)=x3+x=0可得x3=-x. 在同一平面直角坐标系中画出y=2x、y=log2x、y=x3、y=-x的图象如下: 由图象可知,a<0,b>0,c=0,则b>c>a. 【🚀衔接高考】 (1)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 【答案】　D 【解析】　不等式f(x)>0,即2x>x+1, 由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点(0,1)和(1,2),如图所示,由图可知,不等式f(x)>0的解集是(-∞,0)∪(1,+∞). (2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  【答案】　[2,3) 【解析】　法一　函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根, 因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ],则由余弦函数的图象可知,4π≤2ωπ<6π, 解得2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3). 法二　函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根, 根据函数y=cos x在[0,2π]上的图象可知cos x=1在区间[0,2π]有2个根, 所以若cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根, 则函数y=cos ωx在[0,2π]内至少包含2个周期,但小于3个周期,即 又ω>0,所以2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3). 【教材母题24】 (人教A版必修第一册P160T6)设f(x)=,g(x)=,求证: (1)[g(x)]2-[f(x)]2=1; (2)f(2x)=2f(x)g(x); (3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2. 【证明】　(1)因为[g(x)]2-[f(x)]2=-=-=1, 所以[g(x)]2-[f(x)]2=1. (2)因为2f(x)·g(x)=2··==f(2x), 所以f(2x)=2f(x)·g(x). (3)因为[g(x)]2+[f(x)]2=+=+==g(2x), 所以g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2. 【🚀新题预测】 （2026·广东广州模拟）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解. 【解析】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选D. 【教材母题25】 (人教A版必修第一册P161T12)对于函数f(x)=a-(a∈R). （1）探索函数f(x)的单调性; （2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数? 【解析】 (1)法一(直接判断法)　因为函数y=2x+1在R上是增函数,又2x+1>0, 所以y1=在R上是减函数,所以y2=-在R上是增函数, 所以函数f(x)=a-在R上是增函数. 法二(定义法)　f(x)=a-(a∈R)的定义域为R, 设x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=, 因为x1<x2,所以<,即-<0.又+1>0,+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2).所以f(x)在R上是增函数. (2)法一(定义法)　因为f(x)=a-(a∈R)的定义域为R, 要使f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)在R上恒成立,即a-=-a+,所以2a=+=2,所以a=1, 所以存在实数a=1,使函数f(x)为奇函数. 法二(特殊值法)　由于f(x)是奇函数,故f(0)=a-=0,解得a=1,则f(x)=1-,经验证f(x)是奇函数. 故存在实数a=1,使函数f(x)为奇函数. 【🚀衔接高考】 (2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 【答案】　D 【解析】　法一　由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以x=≥1,解得a≥2,故选D. 法二　取a=3,则y=x(x-3)=-在(0,1)上单调递减,所以f(x)=2x(x-3)在(0,1)上单调递减, 所以a=3符合题意,排除A,B,C,故选D. 【教材母题26】(人教A版必修第一册P141T10)声强级LI:(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2). （1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为10-12 W/m2,求人听觉的声强级范围; （2）平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级. 【解析】 (1)因为LI=10lg,所以令I=1得,LI=10lg(1012)=120, 令I=10-12得,LI=10lg 1=0,所以人听觉的声强级范围为:[0,120]. (2)因为LI=10lg,令I=10-6得,LI=10lg(106)=60,所以其声强级为60. 【🚀衔接高考】 (1)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 【解析】选ACD.因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60], 所以≥,所以p1≥p2,故A正确;假设p2>10p3,则p01>10p01, 所以1>10,所以->20,不可能成立,故B不正确; 由Lp=20×lg,得p=p01.因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确; 因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确. 综上,选ACD. （2）(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【解析】选C.由题意知,4.9=5+lg V,得lg V=-0.1,得V=1=≈≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《阅读与思考——函数概念的发展历程》(人教A版必修第一册P75)和《数学文化——函数概念的形成与发展》(湘教版必修第一册P87),可从中提炼出如下结论: (1)狄利克雷函数D(x)=具有如下性质: ①定义域R;值域{0,1}. ②奇偶性:偶函数. ③周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期. ④无法画出函数的图象,但其图象客观存在. (2)高斯函数:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]=3,[-2.1]=-3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y=[x]称为高斯函数,又称取整函数.具有如下性质: ①定义域:R,值域:Z. ②不具有单调性、奇偶性和周期性,其图象为: 【🚀衔接高考】 (1)(2026·武汉模拟)狄里克雷(1805~1859)是德国数学家,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解决数论的创始人之一.1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数D(x)=下列叙述中错误的是(　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x+)=D(x) C.D(D(x))=1 D.D(x)是周期函数 【答案】　B 【解析】　由题意,函数D(x)= 对于A中,当x为有理数,则-x也为有理数,满足D(-x)=D(x)=1; 当x为无理数,则-x为无理数,满足D(-x)=D(x)=0, 所以函数f(x)为偶函数,所以A正确; 对于B中,例如:当x=1时,则1+也为无理数,满足D(1)=1,D(1+)=0; 可得D(1)≠D(1+),所以B不正确; 对于C中,当x为有理数,可得D(x)=1,则D(D(x))=1, 当x为无理数,可得D(x)=0,则D(D(x))=1, 所以D(D(x))=1,所以C正确; 对于D中,当x为有理数,则x+1也为有理数,满足D(x)=D(x+1)=1; 当x为无理数,则x+1也为无理数,满足D(x)=D(x+1)=0, 所以D(x+1)=D(x)成立,所以D正确.故选B. (2)(多选题)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域包含的元素可能有(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】　BC 【解析】　f(x)===1+,因为2x>0,所以1+2x>1,所以0<<1,则0<<2, 所以1<1+<3,即1<f(x)<3, 当1<f(x)<2时,[f(x)]=1;当2≤f(x)<3时,[f(x)]=2. 综上,函数y=[f(x)]的值域为{1,2}.故选BC. 【阅读2】通过阅读《探究与发现——探究函数y=x+的图象与性质》(人教A版必修第一册P92),可提炼出如下性质: 1.函数 具有下列最基本的性质： （1）函数是奇函数,图象关于原点对称. （2）函数在,上单调递增,在,上单调递减. （3）当时,,当且仅当时取等号,即当时,函数在处取得最小值，最小值为2；当时,,当且仅当时取等号,即当时,函数在处取得最大值，最大值为. 2.一般地,函数 有下列性质： 性质 图象 定义域 ,且 ,且 值域 或 单调性 在,上单调递增 在，上单调递增； 在,上单调递减 奇偶性 奇函数 奇函数 图象特点 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与 最值 无最大值，也无最小值 当时，;当时， ［性质推广］ 函数的图象是以直线和直线为渐近线的双曲线. 【🚀衔接高考】 （1）已知是曲线上任一点,点到直线与直线的距离分别为,,则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】选.设,则，所以. （2）已知是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线与直线，轴围成的三角形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】选.设, 由 得，则切线 的斜率为,所以 的方程为. 即.设切线 与直线 交于点，由 得 即, 设切线 与 轴交于点，由 得 即， 又设 为坐标原点，且由, 可得，,则 . （3）函数,的值域为____________. 【答案】 【解析】，令，则,，结合 的图象与性质，可知当 时，函数 单调递减，当 时,函数 单调递增，又,,，所以,即. （4）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】当 时，在区间 上单调递增；当 时，结合 的图象与性质，可知函数 在区间 上单调递增；当 时，在区间 内单调递增，所以，所以.综上所述，实数 的取值范围为. 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第一册P85) （1）判断函数f(x)=x3+x的奇偶性. （2）如图是函数f(x)=x3+x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗? （3）一般地,如果知道y=f(x)为偶(奇)函数,那么我们可以怎样简化对它的研究? 【解析】(1)函数f(x)=x3+x的定义域为R,对∀x∈R,f(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. (2)由奇函数的图象关于原点对称,可画出y轴左边的图象,如图所示. (3)我们可以根据它的对称性,先研究x>0时函数的性质,再对x<0时的函数进行对比讨论. 【探究2】 (人教A版必修第一册P132)我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如y=log2x和y=lox,它们的图象是否也有某种对称关系呢?可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象? 提示:利用换底公式,可以得到y=lox=-log2x.因为点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称,所以y=log2x图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点P1(x,-y)都在y=lox的图象上,反之亦然.由此可知,底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性,就可以利用y=log2x的图象画出y=lox的图象. 【探究3】(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图像的对称中心； （2）请利用函数的对称性求的值. （3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【解析】（1）设函数图像的对称中心为， 设，则为奇函数，依题可知 且，故， 即，即. 整理得，故解得 所以函数图像的对称中心为. （2）由（1）知函数图像的对称中心为，故，所以 且，所以 （3）推论：函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数. 函数的图像关于成轴对称的充要条件是 【总结拓展】函数的对称性可按如下规律转化： （1）满足的函数的图象关于直线对称； （2）满足的函数的图象关于直线对称； （3）满足的函数的图象关于点对称； （4）满足的函数的图象关于点对称； 【🚀衔接高考】 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1 【解析】本题是教材习题结论的直接应用，如果利用结论解答该题更简单，解法如下：f(x)＝＝－1＋，则f(x)的图象关于点P(－1，－1)对称，故函数y＝f(x－1)＋1为奇函数. 【🚀新题预测】 （2026·河北石家庄模拟）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 【答案】AC【解析】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误.故选AC. 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $