精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度上学期2025级 期末考试数学试卷 命题人：吕跃 审题人：邹泳 考试时间：2026年2月4日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（）的图象过定点，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（   ） A. 6 B. C. D. 7. 已知角，满足，，则（） A. B. C. D. 8. 设函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最小值为 D. 上单调递减 10. 高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A. B. C. D. 函数的值域为 11. 已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为_________． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在R上的增函数，则实数的取值范围是_______. 14. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则__________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算； （2）已知，求的值． 16. 已知函数的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，，求值． 17. 已知函数奇函数． （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 18. 如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域含边界是一个生态文化创业园区，其中分别在射线上．经测量得，扇形的圆心角为，半径为单位：千米根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线交于两点，并与扇形弧相切于点不与重合，设，假设所有公路的宽度均忽略不计． （1）试将公路的长度表示成的函数； （2）已知公路每千米的造价为千万元，问：建造这样一条公路，至少要投入多少千万元？ 19. 若函数对定义域内的每一个，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2025级 期末考试数学试卷 命题人：吕跃 审题人：邹泳 考试时间：2026年2月4日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义运算. 【详解】由题意可知，或，又， 则. 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题否定为全称命题知， 命题“”的否定为：“”， 故选：C. 3. 已知函数（）的图象过定点，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质先求出定点，然后根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】令，即时，, 即函数的图象过定点， 由正弦函数的定义可知，， 故选：B 4. 已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性缩小选项范围，再结合特殊点的函数值即可得解. 【详解】由已知，则，解得， 又， 所以函数为奇函数，所以BD错误， 又，所以C错误，所以A正确. 故选：A. 6. 已知，，且，则的最小值为（   ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 7. 已知角，满足，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将拆成并用正弦差角公式，结合已知条件化简得到与的倍数关系，从而先求，再利用正切和角公式解出，最后计算的值. 【详解】由可得： 代入条件， 得 移项整理 则 ，代入 可得 即 ， 代入可得： 故选：A 8. 设函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围． 【详解】由题设，函数的图象如下图示， 令，要使原方程有个不同的实数解，则有两个不同实根，且， 故由图知：，即的两个零点在区间和内， 而开口向上，故，可得． 故答案为：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最小值为 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】利用代入检验法可判断AB的正误，求出的范围后结合正弦函数的性质可判断CD的正误. 【详解】由题设， 对于A，，故的图象关于点对称，故A正确； 对于B, ， 故不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，当时，， 故，故， 故，此时，故C错误； 对于D，当时，， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确； 故选：AD. 10. 高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A. B. C. D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A代入求值；B计算即可判断；C利用化简；D求出时函数值域即可. 详解】，故A正确； ，则，故B错误； ，故C正确； 若，则， 由C选项可知，函数在上的值域为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求，判断A；根据函数单调性的定义判断B；根据奇偶性的定义判断C；利用是奇函数，且是减函数解不等式，可判断D. 【详解】因为函数的定义域为，对于任意实数满足:， 对于A，令，则，所以. 所以A正确. 对于B，令，则，，所以. 所以，所以为上的减函数. 所以B错误. 对于C，因为函数的定义域为，所以的定义域为. 令，则，即. 所以为奇函数.所以C正确. 对于D，由B，C可得为上的减函数，且是奇函数. 因为，所以. 所以，即，解得. 的取值范围为.所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用弧长公式得圆的半径，再结合条件，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设圆的半径为，由题有，解得， 又，所以，又点在圆上，，则 所以矩形的面积为， 又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为， 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在R上的增函数，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求得，再由分段函数的单调性，结合一次函数、指数函数的性质列不等式求参数范围. 详解】由题设，且， 所以， 所以恒成立，则， 所以，其定义域为，满足题设， 此时在上为增函数， 所以，可得. 故答案为： 14. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． 当时，，令，， 则关于t的方程在上有两个不等的实数根，，所以， 即，则，所以． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数和对数运算进行计算即可； （2）先根据已知条件求出，然后根据对数的性质计算即可. 【详解】（1）由题意得． （2）由，可得． 所以． 16. 已知函数的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数图象得到，由周期求出，再根据求出，即可得解； （2）依题意可得，即可求出，再由两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 由函数的图象，可得，且， 所以，又，则，所以， 当时，可得，即， 可得，所以， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为，可得， 又由，可得，即， 则， 所以 . 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质，由解得，检验成立； （2）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 小问1详解】 因为，所以定义域为R， 又为奇函数，则， 即，解得， 所以，，符合题意， 即. 【小问2详解】 由(1)得， 是定义在R上的减函数， 是R上的增函数． 又是R上的奇函数， 所以， ， ， 因为关于的不等式在上有解， 且在的最大值为， 所以，解得． 18. 如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域含边界是一个生态文化创业园区，其中分别在射线上．经测量得，扇形的圆心角为，半径为单位：千米根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线交于两点，并与扇形弧相切于点不与重合，设，假设所有公路的宽度均忽略不计． （1）试将公路的长度表示成的函数； （2）已知公路每千米的造价为千万元，问：建造这样一条公路，至少要投入多少千万元？ 【答案】（1）； （2）千万元． 【解析】 【分析】（1）根据，利用直角三角形求解即可； （2）转化为，利用三角恒等变换化简，求最值即可. 【小问1详解】 如图， 依题意可知， 所以，， 故； 【小问2详解】 要使得投入最少，则长度要最小， 因为 ， 因为，所以， 所以，所以， 又因为公路每千米的造价为千万元，所以建造这样一条公路，至少需要投入千万元． 19. 若函数对定义域内的每一个，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】（1）不是“依赖函数”；理由见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）取特殊值，利用三角函数的有界性，根据新定义判断； （2）根据新定义可得，据此可转化为二次函数求范围，也可利用基本不等式求解； （3）分类讨论，结合新定义，由不等式恒成立求解. 【小问1详解】 对于函数的定义域R内存在， 则无解， 故不是“依赖函数”； 【小问2详解】 因为在上为“依赖函数”， 故，即，， 由，故，得， 从而在上单调递增，故； （或且，故） 【小问3详解】 ①若，故在上最小值0，此时不存在，舍去； ②若，则在上单调递减，从而，解得（舍）或， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立，由， 得，由，可得， 又在上单调递减，故当时，， 从而，解得， 故实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $