教考衔接四 解三角形 学案-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -------------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------- 教考衔接四 解三角形 -----------------■高考命题·解读■--------------------- 核心考点 五年考情 考点1.利用正余弦定理解三角形 2025年 全国一卷；2025年 全国二卷 2023年 新课标Ⅰ卷；2021年 新高考Ⅰ卷 考点2. 三角形的面积问题 2024年 新课标Ⅰ卷 考点3. 三角形的周长问题 2024年 新课标Ⅱ卷 考点13 解三角形的最值问题 2022年 新高考Ⅰ卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.从题型和题量上看，一般是一个小(选择题或填空题)一大(解答题)，也有可能和其它内容综合命题. ①高考试题中主要考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用， ②在处理解三角形有关问题时，熟记公式是解决此类问题的前提，同时注意与三角函数性质有关问题中的应用. 2.主要内容有：三角形正余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 （1）(人教A版必修第二册P44·T1(2))在△ABC中,已知a=5,b=2,C=,求c. （2）(人教A版必修第二册P48·T2) ①在△ABC中,已知a=2,c=,A=120°,求b和C; ②在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,求c. （3）(人教A版必修第二册P53·T10)你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗? 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）（2025·全国二卷）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（ ） A．45° B．60° C．120° D．135° （2）(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. （3）(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　) A. B. C. D. （4）（一题多解）(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 （5）(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=(　　) A. B. C. D. （6）(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.  【🚀新题预测】 （1）（2026·四川广安模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． （2）（2026·山东枣庄模拟）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【教材母题2】 (人教A版必修第二册P54·T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0. （1）求A; （2）若a=2,则△ABC的面积为,求b,c. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·天津高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c=2b+1，a=. ①求A的值； ②求c的值； ③求sin (A+2B)的值. （2）(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. ①求B; ②若△ABC的面积为3+,求c. （3）(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin ∠ABC=asin C. ①证明:BD=b. ②若AD=2DC,求cos ∠ABC. （4）(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2. ①若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; ②是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. （5）(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,　　　　　?  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【教材母题3】 (人教B版必修第四册P21·T10)已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. （1）求证:tan A=2tan B; （2）若AB=3,求AB边上的高. 【🚀衔接高考】 （一题多解） (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. （1）求sin A; （2）设AB=5,求AB边上的高. 【🚀新题预测】 （2026·湖南衡阳检测）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C=. （1）求角B的大小; （2）若边AB上的高为,求cos C的值. 【教材母题4】 (人教A版必修第二册P49·例10)如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度. 【🚀衔接高考】 （1）(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一,如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 （2）(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(　　) A.+表高 B.-表高 C.+表距 D.-表距 【🚀新题预测】 （1）（2026·江西景德镇模拟）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《阅读与思考——海伦和秦九韶》(人教A版必修第二册P55)和《拓展阅读——秦九韶的“三斜求积术”》(人教B版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论: （1）(海伦公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p=(a+b+c),则三角形的面积S=. （2）(“三斜求积”公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则三角形的面积S===. （3）“海伦公式”与“三斜求积”公式是等价的. 【🚀新题预测】 （1）（2025·安徽合肥11月质量检测）（多选）已知的三个内角，，的对边,,构成公差为1的等差数列，最大角是最小角的2倍,则（ ） A. B. 的内切圆半径 C. 的外接圆半径 D. 以,,为三边的三角形是直角三角形 （2）（一题多解）（2026·陕西西安1月检测）已知,,分别为三个内角,,的对边,且. ①求; ② 若,则的面积为,求,. 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】射影定理(人教B版必修第四册P10例5,苏教版必修第二册P95T7拓展) 在△ABC中,求证: （1）a=bcos C+ccos B; （2）b=acos C+ccos A; （3）c=acos B+bcos A. 【🚀新题预测】 （1） (2026·浙江绍兴三模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B+C)-acos C=ccos A,则A等于(　　) A. B. C. D. （2）（一题多解）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A （3）(2026·济南模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C=b,则A=(　　) A. B. C. D. 【探究2】角平分线定理(人教B版必修第四册P6例6) 如图所示,在△ABC中,已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D,求证:=. 【🚀新题预测】 (1) (2026·湛江模拟)在△ABC中,已知sin(∠BAC-∠B)=sin B+sin C. (1)求∠BAC. (2)若AC=2AB,∠BAC的平分线交BC于点D,求cos∠ADB. （2）（2026·福建厦门模拟）已知△ABC中内角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,c=b+1,sin B=. （1）求c的值; （2）设AD是△ABC的角平分线,求AD的长. 【探究3】张角定理(北师大版必修第二册P131·T1) 如图,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC=α,∠BPC=β.求证:=+. 【🚀衔接高考】 (2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  【探究4】中线长公式 (人教A版必修第二册P53T15) △ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦定理证明ma=,mb=, mc=. 【🚀衔接高考】 （一题多解） (2023·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.若b2+c2=8,求b,c. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -------------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------- 教考衔接四 解三角形 -----------------■高考命题·解读■--------------------- 核心考点 五年考情 考点1.利用正余弦定理解三角形 2025年 全国一卷；2025年 全国二卷 2023年 新课标Ⅰ卷；2021年 新高考Ⅰ卷 考点2. 三角形的面积问题 2024年 新课标Ⅰ卷 考点3. 三角形的周长问题 2024年 新课标Ⅱ卷 考点13 解三角形的最值问题 2022年 新高考Ⅰ卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.从题型和题量上看，一般是一个小(选择题或填空题)一大(解答题)，也有可能和其它内容综合命题. ①高考试题中主要考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用， ②在处理解三角形有关问题时，熟记公式是解决此类问题的前提，同时注意与三角函数性质有关问题中的应用. 2.主要内容有：三角形正余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 （1）(人教A版必修第二册P44·T1(2))在△ABC中,已知a=5,b=2,C=,求c. 【解析】根据余弦定理的推论可得cos C=,即=,解得c=. （2）(人教A版必修第二册P48·T2)①在△ABC中,已知a=2,c=,A=120°,求b和C; ②在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,求c. 【解析】①由正弦定理,得=,解得sin C=. 因为A=120°,所以C是锐角,所以C=30°,所以B=180°-120°-30°=30°=C,所以b=c=. ②由三角形内角和定理,得B=180°-45°-75°=60°, 所以sin C=sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=, 由正弦定理,得c====. （3）(人教A版必修第二册P53·T10)你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗? 【解析】如图,设在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD,BE,CF分别为a,b,c边上的高, 由直角三角形的边角关系可知,AD=bsin C,BE=csin A,CF=asin B. 由三角形面积公式可知,S△ABC=BC·AD=AC·BE=AB·CF, 所以S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）（2025·全国二卷）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（ ） A．45° B．60° C．120° D．135° 【【答案】】A 【解析】解法一　由余弦定理cos A＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝45°. 解法二　由题设得BC<AB<AC，所以A<C<B.因为A＋B＋C＝180°，所以A<60°，通过选项可以判断A＝45°. （2）(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. 【【答案】】C 【解析】由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac, 所以sin2A+sin2C=sin Asin C, 所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=, 又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=.故选C. （3）(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　因为acos B-bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(B+A), 则2sin Bcos A=0.在△ABC中,sin B≠0,则cos A=0,A=,所以B=π-A-C=π--=. （4）（一题多解）(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 【答案】D 【解析】解法一由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D. 解法二由正弦定理=,得sin C==,从而cos C=(C是锐角),所以sin A =sin [π-(B+C)]=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×-×=. 又=,所以BC==3.故选D. （5）(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=42+32-2×4×3×=9,所以AB=3,所以cos B===.故选A. （6）(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.  【答案】2 【解析】由题意得S△ABC=acsin B=ac=,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8,则b=2 【🚀新题预测】 （1）（2026·四川广安模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 由正弦定理，可得. （2）（2026·山东枣庄模拟）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由及，得，由余弦定理，得， 因为，所以. 【教材母题2】 (人教A版必修第二册P54·T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0. （1）求A; （2）若a=2,则△ABC的面积为,求b,c. 【解析】(1)根据正弦这理,条件式即为sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin C, 也即sin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin C, 所以sin Acos C+sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 整理得sin A-cos A=1,即sin=,所以A-=,即A=. (2)由(1)得A=,a=2, 所以由余弦定理得4=b2+c2-2bccos A,即b2+c2-bc=4,① 又因为△ABC的面积为,所以S=bcsin A=,即bcsin =,所以bc=4,② 联立①②得b=2,c=2. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·天津高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c=2b+1，a=. ①求A的值； ②求c的值； ③求sin (A+2B)的值. 【解析】①因为asin B=bcos A，由正弦定理可得sin Asin B=sin Bcos A， 所以tan A=，又0<A<π，所以A=. ②由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A，所以7=b2+(1+2b)2-2b(1+2b)cos ，整理可得b2+b-2=0，所以b=1或b=-2(舍)，所以c=3. ③由题意asin B=bcos A，sin B=，即sin B=，所以cos 2B=1-2sin2B=1-2×=，所以sin 2B=，所以sin (A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=. （2）(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. ①求B; ②若△ABC的面积为3+,求c. 【解析】①由余弦定理的推论得cos C==, 又0<C<π,所以C=,所以cos B=sin C=,所以cos B=.又0<B<π,所以B=. ②由①得A=π-B-C=,由正弦定理=,得=,所以a=c. 所以△ABC的面积S=acsin B=c2×=3+,解得c=2. （3）(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin ∠ABC=asin C. ①证明:BD=b. ②若AD=2DC,求cos ∠ABC. 【证明】①因为BDsin∠ABC=asin C,所以由正弦定理得,BD·b=ac,又b2=ac,所以BD·b=b2, 又b>0,所以BD=b. 【解析】②如图所示,过点D作DE∥BC交AB于E, 因为AD=2DC, 所以==2,=,所以BE=,DE=a. 在△BDE中,cos∠BED====. 在△ABC中,cos∠ABC= ==. 因为∠BED=π-∠ABC, 所以cos∠BED=-cos ∠ABC,所以=-, 化简得3c2+6a2-11ac=0, 方程两边同时除以a2,得3-11+6=0,解得=或=3. 当=,即c=a时,cos ∠ABC===; 当=3,即c=3a时, cos ∠ABC===>1(舍). 综上,cos ∠ABC=. （4）(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2. ①若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; ②是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【解析】①因为2sin C=3sin A,所以2c=3a, 又因为c=a+2,所以2(a+2)=3a,则a=4,b=a+1=5,c=a+2=6, 所以cos C==,所以C为锐角, 则sin C==,因此S△ABC=absin C=×4×5×=. ②显然c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则C为钝角, 故由余弦定理的推论可得 cos C===<0,又a>0, 故解得0<a<3. 又由三角形三边关系可得a+a+1>a+2,可得a>1,故1<a<3. 又a为正整数,故a=2. （5）(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,　　　　　?  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【解析】解　法一　选条件①. 由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=, 由此可得b=c.由①ac=,解得a=,b=c=1. 因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1. 解法二　选条件②. 由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c,B=C=,A=. 由②csin A=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2. 解法三　选条件③. 由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由③c=b,与b=c矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在. 【教材母题3】 (人教B版必修第四册P21·T10)已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. （1）求证:tan A=2tan B; （2）若AB=3,求AB边上的高. （1）证明　因为sin(A+B)=,sin(A-B)=,所以sin Acos B+cos Asin B=,① sin Acos B-cos Asin B=,②①+②可得sin Acos B=,cos Asin B=, 所以==2,所以tan A=2tan B. （2）解　因为sin(A+B)=,因为△ABC为锐角三角形, 所以<A+B<π,所以cos(A+B)=-=-=-,所以tan(A+B)==-, =-.因为tan A=2tan B,所以2tan2 B-4tan B-1=0,解得tan B=. 因为B为锐角,所以tan B=,所以tan A=2tan B=2+. 设AB上的高为CD, 则AB=AD+DB=+==3, 解得CD=2+,则AB上的高为2+. 【🚀衔接高考】 （一题多解） (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. （1）求sin A; （2）设AB=5,求AB边上的高. 【解析】解　法一　(1)在△ABC中,A+B=π-C,因为A+B=3C,所以3C=π-C,所以C=. 因为2sin(A-C)=sin B,所以2sin=sin, 展开并整理得(sin A-cos A)=(cos A+sin A),得sin A=3cos A, 又sin2A+cos2A=1,且sin A>0,所以sin A=. (2)由正弦定理=, 得BC=·sin A=×=3.由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C, 得52=AC2+(3)2-2AC·3cos,整理得AC2-3AC+20=0, 解得AC=或AC=2. 由(1)得,tan A=3>,所以<A<, 又A+B=,所以B>,即C<B,所以AB<AC,所以AC=2. 设AB边上的高为h,则·AB·h=·AC·BCsin C, 即5h=2×3×,解得h=6, 所以AB边上的高为6. 解法二　(1)在△ABC中,A+B=π-C,因为A+B=3C,所以3C=π-C,所以C=. 因为2sin(A-C)=sin B,所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), 所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Acos C=3cos Asin C,易得cos Acos C≠0,所以tan A=3tan C=3tan=3, 又sin A>0,tan A==3,sin2A+cos2A=1,所以sin A=. (2)由(1)知tan A=3>0,所以A为锐角,又sin A=,所以cos A=, 所以sin B=sin=(cos A+sin A)=×=. 由正弦定理=,得AC===2, 故AB边上的高为AC·sin A=2×=6. 【🚀新题预测】 （2026·湖南衡阳检测）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C=. （1）求角B的大小; （2）若边AB上的高为,求cos C的值. 【解析】(1)由余弦定理的推论得=,所以a2+b2-c2=2a(a-csin B), 所以b2=a2+c2-2acsin B.又因为b2=a2+c2-2accos B,所以sin B=cos B, 则tan B=1.因为B∈(0,π),所以B=. (2)因为△ABC的面积S=acsin B=ac=,则a=c, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B =+c2-2×c×c×=c2,所以b=c,所以cos C===-. 【教材母题4】 (人教A版必修第二册P49·例10)如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度. 【解析】如图,选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上. 在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h,那么,在△ACD中,由正弦定理,得AC=.所以这座建筑物的高度为AB=AE+h=ACsin α+h=+h. 【🚀衔接高考】 （1）(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一,如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 【答案】　B【解析】　如图所示,根据题意过C作CE∥C'B',交BB'于E,过B作BD∥A'B',交AA'于D, 则BE=100,C'B'=CE=.在△A'C'B'中,∠C'A'B'=180°-∠A'C'B'-∠A'B'C'=75°,则BD=A'B'=,又在B点处测得A点的仰角为45°,所以AD=BD=,所以高度差AA'-CC'=AD+BE=+100=+100=+100=+100=100(+1)+100≈373. （2）(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(　　) A.+表高 B.-表高 C.+表距 D.-表距 【答案】　A 【解析】　因为FG∥AB,所以=,所以GC=·CA. 因为DE∥AB,所以=,所以EH=·AH. 又DE=FG,所以GC-EH=·(CA-AH)=·HC=·(HG+GC)=·(EG-EH+GC). 由题设中信息可得,表目距的差为GC-EH,表高为DE,表距为EG,则上式可化为,表目距的差=×(表距+表目距的差),所以AB=×(表距+表目距的差)=+表高,故选A. 【🚀新题预测】 （1）（2026·江西景德镇模拟）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得， 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《阅读与思考——海伦和秦九韶》(人教A版必修第二册P55)和《拓展阅读——秦九韶的“三斜求积术”》(人教B版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论: (1)(海伦公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p=(a+b+c),则三角形的面积S=. 证明　S=absin C=ab =ab = = =. 因为p=(a+b+c),所以(b+c-a)=p-a,(a+b-c)=p-c,(c+a-b)=p-b, 所以S=. (2)(“三斜求积”公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则三角形的面积S===. 证明　S=acsin B=ac=ac= =. 同理可证 S==. (3)“海伦公式”与“三斜求积”公式是等价的. 证明　S=== ===. 【🚀新题预测】 （1）（2025·安徽合肥11月质量检测）（多选）已知的三个内角，，的对边,,构成公差为1的等差数列，最大角是最小角的2倍,则（ ） A. B. 的内切圆半径 C. 的外接圆半径 D. 以,,为三边的三角形是直角三角形 【答案】ABD 【解析】选.对于,由题意知,,.由 得. 由正、余弦定理得，，即， 解得，故 正确；对于，所以,， 由典例【解析】知，所以，故 正确； 对于，由 得，又 ,所以， 所以，故 错误； 对于,,,. 由 知,以,,为三边的三角形是直角三角形,故 正确. （2）（一题多解）（2026·陕西西安1月检测）已知,,分别为三个内角,,的对边,且. ①求; ② 若,则的面积为,求,. 【解析】①由题意及正弦定理得. 又, 所以,由于,所以,所以， 即,又,,所以，故. ② 方法一:由（1）知,又,由余弦定理得，,① 由海伦—秦九韶公式与 得， ,② 由①②解得（负值已舍去）. 方法二:由（1）知,又,由余弦定理得，,① 由 得，,即,②由①②解得（负值已舍去）. 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】射影定理(人教B版必修第四册P10例5,苏教版必修第二册P95T7拓展) 在△ABC中,求证: （1）a=bcos C+ccos B; （2）b=acos C+ccos A; （3）c=acos B+bcos A. 【证明】(1)因为=+,因此·=(+)·=·+·. 又因为||=a,·=bacos C, ·=cacos B,所以a2=bacos C+cacos B,即a=bcos C+ccos B. 同理可证(2)(3). 【🚀新题预测】 （1） (2026·浙江绍兴三模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B+C)-acos C=ccos A,则A等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为2bcos(B+C)-acos C=ccos A,所以2bcos(π-A)=acos C+ccos A,即-2bcos A=acos C+ccos A, 如图,过B点作BD⊥AC于D,可知acos C+ccos A=b, 所以-2bcos A=b,所以cos A=-,又A∈(0,π),所以A=. （2）（一题多解）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 【答案】　A 【解析】解法一　因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A, 即C=90°或2b=a, 又△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a. 解法二　由正弦和余弦定理得b=2a×+c×, 所以2b2=a2+3b2-c2,即(a2+b2-c2)=a2+b2-c2, 即(a2+b2-c2)=0,所以a2+b2=c2或2b=a,又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,故2b=a. 解法三 由正弦定理及射影定理, 得b+2bcos C=2acos C+ccos A=acos C+(acos C+ccos A)=acos C+b,即2bcos C=acos C, 又因为△ABC为锐角三角形,所以cos C≠0,则2b=a. （3）(2026·济南模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C=b,则A=(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】解法一　由acos C+asin C=b及正弦定理得 sin Acos C+sin Asin C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Asin C=cos Asin C, 因为sin C≠0,所以sin A=cos A,tan A=,由A∈(0,π)得A=. 解法二 (射影定理)　由射影定理知b=acos C+ccos A,所以acos C+asin C=acos C+ccos A, 即asin C=ccos A,由正弦定理得sin Asin C=sin Ccos A, 又sin C≠0,所以tan A=,由A∈(0,π),得A=. 【探究2】角平分线定理(人教B版必修第四册P6例6) 如图所示,在△ABC中,已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D,求证:=. 【证明】如图,设∠ADB=α,∠BAD=β,则由题意可知∠ADC=π-α,∠CAD=β. 在△ABD和△ADC中,分别应用正弦定理,可得=, ==,两式相除即可得=. 【🚀新题预测】 (1) (2026·湛江模拟)在△ABC中,已知sin(∠BAC-∠B)=sin B+sin C. (1)求∠BAC. (2)若AC=2AB,∠BAC的平分线交BC于点D,求cos∠ADB. 【解析】(1)因为sin(∠BAC-∠B)=sin∠BACcos B-cos∠BACsin B=sin B+sin C, 又sin C=sin(π-C)=sin(∠BAC+∠B)=sin∠BACcos B+cos∠BACsin B, 所以-2cos∠BACsin B=sin B.又0<B<π,所以sin B>0,所以cos∠BAC=-. 因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=. (2)设AB=t,则AC=2t. 由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC=4t2+t2+2t2=7t2,故BC=t. 由角平分线的性质及三角形的面积公式,知==,故BD=BC=t. 在△ABD中,由正弦定理,得=. 因为∠BAD=,所以=,所以sin∠ADB=. 因为AC>AB,所以B>C,所以B+>C+,即∠ADC>∠ADB. 又∠ADC+∠ADB=π,所以∠ADB为锐角, 故cos∠ADB==. （2）（2026·福建厦门模拟）已知△ABC中内角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,c=b+1,sin B=. （1）求c的值; （2）设AD是△ABC的角平分线,求AD的长. 【解析】　(1)sin B=,由A=60°,可得sin A=, c=b+1>b,可得B为锐角,则cos B==, 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=, 由=可得=,解得c=3. (2)由(1)可得b=c-1=2,因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD=30°, 设AD=x,由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可得 ×3×2×=×2x×+×3x×,化为x=3,解得x=,则AD=. 【探究3】张角定理(北师大版必修第二册P131·T1) 如图,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC=α,∠BPC=β.求证:=+. 【证明】因为S△PAB=S△PAC+S△PBC,所以PA·PBsin(α+β)=PA·PCsin α+PB·PCsin β. 两边同除PA·PB·PC得:=+. 【🚀衔接高考】 (2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  【答案】　2 【解析】　由余弦定理得cos 60°=,整理得AC2-2AC-2=0,得AC=1+. 由张角定理,=+,所以AD===2. 【探究4】中线长公式 (人教A版必修第二册P53T15) △ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦定理证明ma=,mb=, mc=. 【证明】取BC中点为D,连接AD(图略),则BD=CD=a, 在△ABC中,由余弦定理可得,cos B=.在△ABD中,cos B=, 所以=,所以ma=; 同理可得:mb=,mc=. 推论1　在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2). 证明　设AC∩BD=O,由中线长公式AD=-BD2, 即4AD2+BD2=2(AB2+AD2),即AC2+BD2=2(AB2+AD2). 推论2　若▱ABCD为矩形,P为矩形所在平面内任一点,则PA2+PC2=PB2+PD2. 证明　设AC∩BD=O,连接PA,PB,PC,PD(图略), 在△PAC中,由中线长公式得 PD=, 在△PBD中,由中线长公式得 PD=. 又因为▱ABCD为矩形,所以AC=BD, 所以PA2+PC2=PB2+PD2. 【🚀衔接高考】 （一题多解） (2023·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.若b2+c2=8,求b,c. 【解析】解法一　因为D为BC的中点,所以BD=DC. 因为∠ADB+∠ADC=π,所以cos∠ADB=-cos∠ADC,则在△ABD与△ADC中,由余弦定理, 得=-, 得1+BD2-c2=-(1+BD2-b2),所以2BD2=b2+c2-2=6,所以BD=, 所以a=2. 在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===-, 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc=bc==, 解得bc=4.则由解得b=c=2. 解法二因为D为BC的中点,所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中,由余弦定理,得cos B==, 整理,得2BD2=b2+c2-2=6,得BD=,所以a=2. 以下同法一. 解法三由中线长公式知,AD=.又因为b2+c2=8,所以a=2,以下同法一. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $