各位同学们，今天我们来讲第156个题型，外接球之对棱相等的三角形梯形。我们来看一下，如果一个三棱锥中，我们先讲一个引子，假设这是一个三棱锥。它的对能相等，什么是对能相等呢？比如说在三棱锥ABCD中，AB等于CD。这两个是对的，AC等于BD，我们用这个两点来做标记，还有第三个，AD等于BC。AD等于BC这就叫对应相等。那么对能相等的外接球怎么做呢？这里面有一个统计角，我们可以构造在长方体当中，在这里我们先做一个长方体出来。你们看如果说我们选取了图中的这样的四个点作为ABCD就可以了。那这个是A有上底面选对角的两个顶点，上下面的选错位的两个顶点ABCD那这样的话我们把ABCD把它连接起来。你看这边AB就和下面的面对角线CD相等，BD就和AC相等，AD就和BC相等，这样的话就可以构造一个对应相等的中心中了图形出来。这样的话ABCD这个三棱锥的外接球，实际上就是我们补的这个长方体的外接球，大概是一模一样的。好，下面我们来看一道例题，已知三棱锥ABCD中，AB等于CD等于AC等于BD等于AAD等于BC等于B如果ABCD均在半径为二的球面上，那么求A加B的范围。好，这里面根据刚才我们所讲，我们来补存，就是把这个三追把它补成一个长方体，或者我们先画一个长方体，把这个三追把它放置在长方体当中，我们做这样一个长方体。好，我们就把这个位置看成是A点，这个是B点，错位的，这个是C点，这个是D点，我们把它连接起来，你看这是ACAB。就是BCCDBD还有一个AD，这样就可以把它连接起来，连完了。根据题目中的条件，AD和BC都是BAD和BC都是B然后其他的边都是AABCD均在半径为二球边上。那也就是说这个正长方体的体对角线就是外接圆的半径，就是我们不妨设外接球的半径，rm设外接圆求的。半径为大R那么则共顶点的三条棱，我们把它设成XYZ。比如说你我们设成O点OA设成XOD设成YOC设成Z那么则X方加Y方加上一个Z方就等于2R的平方。我们的半径是2 2乘2就是4，这个就是等于16，我们可以得这样一个条件。好，下面我们把这个相关的量，我们把它拿出来，我们知道这个AD的长，大家看AD的长，这个长是B其他的两边CD层是ABC层也是A所以说我们根据勾股定理可以得到X方加上一个Z方等于A方，Y方加上一个Z方也是等于A方，X方加上一个Y方，这个是等于B方。如果说我要想出现X方加Y方加Z方的形式，我们就把这三个方程式加起来就可以了。就左边加左边等于右边加右边就累加得左边相加明显可以得到的是两倍的X方加两倍的Y方加上两倍的Z方，那么就等于A方加A方再加上一个B方。所以又因为X方加Y方加Z方是等于16带进来，所以说就是2乘以16就等于2，A方再加上一个B方就等于32。你要求A加B的范围有AIB的发明到这一步之后，我推荐大家听好了，我推荐大家用三角换元的方法。怎么用三角换元呢？这里面大家切记，这里面我们把两边同时除以2，所以可以得到A方加上一个二分之B方，这个是等于16。得到这一步之后，我们就令A等于四倍的cosine西塔，注意，就是cosine方加sine方等于R方，这个可以写成四的平方，可以把它看成四倍的cos就行了。而二分之B根号二分之B，根号二分之B的平方，这个整体我们把它看成四倍的sine西塔，这样的话我们就可以得到A加B那么就等于四倍的cosine西塔，加上BB就是四倍根二倍的sine西塔。好，把这个用辅角公式我们把它写一下，提一个四倍根号三出来，里面可以写成sine西塔加一个角的形式。我们知道这个范围，如果说你要是很熟练的话，这里面的A和B都是正值。同时正值我们通过这个换元，我们可以把这个西塔限制在0到2分之派范围之外。而且这个辅助角我们这图中的这个辅角坏角的终边上有一点这个点的坐标就是AB就是sine前面的系数是四倍根2 cosine前面是四就四倍根号4，也可以看成是根号21，也是一样的。比如就把它看成根号21根号二一这样一个，是的，这样的话根据任意角的三角函数值，我们这个tangent斐一定是等于1比根号2，就是二分之根二。你这个三月份Y比R就是一比根号3，就是三分之根号3。你要cosine斐，X比R就是根号2比根号3，那就是三分之根号6。这是他定的三个商场入职不一定用得上。那么由这个范围我们来看一下，你这个因为你这个CTA是0到2分之派，所以说这个西塔加斐的范围，因为你是锐角，所以说可以看成是斐角到二分之派加斐。那既然是匪角到二分之派加斐2，那我们就看那个正弦函数图像。我们看这个正弦函数，因为这个整体的范围是这样的，那你这个斐是在这里，斐是一个锐角，大概在这里二分之派加加斐就跑到下方去了，就是斐加二分之派，所以定的最大值一定是一。所以这个C这个C上加匪一定是属于最大值是一，那么最小值就是sin 2分之派加斐。根据诱导公式，我们说这个是肯定是等于sine 2分之派加斐sine 2分之派加斐大概是在这边的这个位置，它它没有超过派，就是斐加二分之派，它一定是等于cosine斐诱导公式，我们的这个cosine斐，cosine斐的值就是三分之根六，我们看是三分之根三大，你还是三分之，跟六大对比发现是三分之根六大，所以最小值是三分之根三。那么它对应的这个位置，就最下面的这个位置，就是三分之根3到1开机。所以两边再同时乘以四倍根三之后，就是4到4。四到多少呢？4到4倍根三，这样一个范围我们就出来了。但是有同学说老师我们在求的时候，实际上这个题在求的时候，如果你不用辅助公司，你用其他的方法做也是可以的。但是三角走起来会好一些。好，那么今天关于外接球之对应相等的3D模型我们就讲到这里。感谢您的收看，下期视频我们再见。