教考衔接三 三角函数 学案-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 --------------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------- 教考衔接三 三角函数 ----------------■高考命题·解读■---------------- 核心考点 五年考情 考点1.同角三角函数的基本关系 2023 全国甲卷；2023 全国乙卷；2021 新高考全国 I 卷 考点2.三角函数的单调性 2025 全国二卷；2021 新高考全国 I 卷 考点3.三角函数的奇偶性 2023 全国甲卷 考点4.三角函数的对称性 2025 全国一卷；2022 新高考全国 I 卷 考点5.三角函数的值域（最值） 2025 全国一卷；2025 全国二卷； 2024 全国甲卷；2021全国乙卷 考点6.三角函数图象识别 2022 全国乙卷；2022 全国甲卷 考点7.三角函数的图象变换 2023 全国甲卷；2022 全国甲卷；2021 全国乙卷 考点8.二倍角公式的应用 2025 全国二卷；2023 新课标 I 卷；2023 新课标 II 卷；2021 全国乙卷；2021全国甲卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.从题型和题量上看，一般是一小(选择题或填空题)一大(解答题)，也有可能和其它内容综合命题； ①高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换、性质及其应用有时也以化简求值为背景考查三角恒等变换等问题； ②在处理三角函数问题时，熟记公式是解决此类问题的前提，同时注意换元法在解决与三角函数性质有关问题中的应用. 2.考查的主要内容有： ①三角函数的定义、图象和性质； ②利用三角函数公式进行三角恒等变换及化简、求值等； ③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换、求解析式与性质应用； ⑤以函数、不等式、向量为载体与三角函数有关的综合性问题仍要关注.同时需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的应用. 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第一册P176·T12)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿. （1）当大轮转动一周时,求小轮转动的角度; （2）如果大轮的转速为180 r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少? 【🚀新题预测】 （2026·山西太原模拟）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 【教材母题2】(人教A版必修第一册P227·例10)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 【🚀衔接高考】 (2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s=(　　) A. B. C. D. 【教材母题3】 (人教A版必修第一册P181例4)确定下列三角函数值的符号,然后用计算工具验证: （1）cos 250°; （2）sin; （3）tan(-672°); （4）tan 3π. 【🚀衔接高考】 (2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角,则(　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 【🚀新题预测】 （2026·宁夏银川模拟）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（   ） 5° 15° 25° 35° m n p q A． B． C． D． 【教材母题4】 (人教A版必修第一册P185T12)已知tan α=,π<α<π,求cos α-sin α的值. 【🚀衔接高考】 (2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  【教材母题5】 (人教A版必修第一册P186T15)已知tan α=2,求的值. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=-2,则=(　　) A.- B.- C. D. 【🚀新题预测】 （1）（2025·黑龙江哈尔滨模拟）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． （2）（2025·四川成都模拟）已知，则（     ） A． B． C． D． 【教材母题6】 (人教A版必修第一册P214T10)求下列函数的值域: （1）y=sin x,x∈; （2）y=cos,x∈. 【教材母题7】 (人教A版必修第一册P214T12)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　) A.y=|sin x| B.y=cos x C.y=tan x D.y=cos 【教材母题8】 (人教B版必修第三册P44T6)写出函数y=sin x-2的图象的对称中心和对称轴. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·全国一卷)若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为 (　　) A. B. C. D. （2）(2025·天津高考)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为 (　　) A.- B.- C.1 D.0 （3）(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 （4）(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(　　) A.1 B. C. D.3 （5）(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线 （6）（一题多解）(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. （7）(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  【教材母题9】(人教A版必修第一册P220T2(3))已知tan α=3,求tan的值. 【🚀衔接高考】 (2024·全国甲卷)已知=,则tan=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 【教材母题10】 (人教A版必修第一册P220T5)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值. 【🚀衔接高考】 （1）(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 （2）(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin=1,则sin=(　　) A. B. C. D. （3）（2025·北京高考）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【教材母题11】(人教A版必修第一册P221例5)已知sin 2α=,<α<,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值. 【🚀衔接高考】 （1）(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1 B. C. D. （2）(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- （3）(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　　) A. B. C. D. 【教材母题12】 (人教A版必修第一册P223T3)已知sin 2α=-sin α,α∈,求tan α的值. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2021·全国甲卷)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　) A. B. C. D. 【教材母题13】 (人教A版必修第一册P226T2)已知cos θ=,且270°<θ<360°,试求sin 和cos 的值. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin (α－)＝（ ） A． B． C． D． （2）（一题多解） (2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A. B. C. D. 【教材母题14】 (人教A版必修第一册P214T11)根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合: （1）sin x≥(x∈R); (2)+2cos x≥0(x∈R). 【教材母题15】 (人教A版必修第一册P214T16)已知函数f(x)=sin,x∈R. （1）求f(x)的最小正周期; （2）求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【教材母题16】 (人教A版必修第一册P227例9)求下列函数的周期,最大值和最小值: （1）y=sin x+cos x; （2）y=3sin x+4cos x. 【🚀衔接高考】 （1）(2024·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2,求A. （2）(2021·全国乙卷)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是(　　) A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 （3）（2025·上海高考）函数在上的值域为 ． 【教材母题17】 (人教A版必修第一册P229T13)在△ABC中,已知tan A,tan B是x的方程x2+p(x+1)+1=0的两个实根,求∠C. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  【教材母题18】 (人教A版必修第一册P255T15(1))已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m 【教材母题19】 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y=2sin的简图. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 【教材母题20】 (人教A版必修第一册P239T2)已知函数y=3sin的图象为C. （1）为了得到函数y=3sin的图象,只要把C上所有的点(　　) A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度 C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度 （2）为了得到函数y=3sin的图象,只要把C上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变 （3）为了得到函数y=4sin的图象,只要把C上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变 【🚀衔接高考】 （1）(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 （2）(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 【教材母题21】 (人教A版必修第一册P241T4)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析】式为　　　　.  【🚀衔接高考】 （1）(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　) A.sin B.sin C.cos D.cos （2）（一题多解）(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos (ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.  【教材母题22】(人教A版必修第一册P245例1)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b. （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 【教材母题23】 (人教A版必修第一册P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1). 【🚀新题预测】 （高考新题型：项目式）(2026·T8检测训练)图①是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,在农业上得到广泛应用.在图②中,一个半径为2 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距水面的高度为 m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位:m)(若在水面下则d为负数),若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K,则φ=(　　) A.- B.- C. D. 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读】人教 版必修第一册 阅读与思考: 声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数，音有四要素：音调、响度、音长和音色，这都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 声音的合成图如图所示 【🚀新题预测】 （1）（2026·河北秦皇岛模拟）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画．在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．某二和弦可表示为，则函数的图象大致为（ ） （2）（2026·湖南衡阳模拟）若一个复合音的函数是，则该复合音的周期为（ ） A. B. C. D. （3）（多选）（2026·河南郑州模拟）数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音.对于我们听到的某个声音函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 （4）（2026·四川成都1月阶段考）若一个复合音的数学模型是函数，则的最大值为____________. 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第一册P200)你能利用函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,通过图象变换得到y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象吗?同样地,利用函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象? 【探究2】 (人教A版必修第一册P207)你能求出函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间吗? 【🚀衔接高考】 (2025·全国二卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=. （1）求φ； （2）设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间. 【探究3】三倍角公式 (人教B版必修第三册P113T11) （1）sin 3θ=3sin θ-4sin3θ; （2）cos 3θ=4cos3θ-3cos θ. 【🚀新题预测】 (2026·沧州模拟)已知tan θ=,则=　　____________　　.  【探究4】积化和差公式、和差化积公式(人教A版必修第一册P225例8拓展) （1）积化和差公式: ①sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; ②cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; ③cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; ④sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. （2）和差化积公式: ⑤sin θ+sin φ=2sin cos ; ⑥sin θ-sin φ=2cos sin ; ⑦cos θ+cos φ=2cos cos ; ⑧cos θ-cos φ=-2sin sin . 【🚀新题预测】 (2026·长沙模拟)已知函数f(x)=2sincos,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在上单调递增 C.f'(x)为偶函数 D.f(x)的最小值为 【探究5】万能公式 (湘教版必修第二册P85例3) 当α≠2kπ+π(k∈Z)时,求证:sin α=,cos α=,tan α=. 【🚀新题预测】 （一题多解）(2026·长沙模拟)函数f(x)=sin x(1+cos x)的最大值为(　　) A. B. C. D. 【探究6】泰勒公式(人教A版必修第一册P256T26) 英国数学家泰勒发现了如下公式: sin x=x-+-+…, cos x=1-+-+…, 其中n!=1×2×3×4×…×n. 这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1-+=0.955 337 5. 试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较. 【🚀衔接高考】 (2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 --------------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------- 教考衔接三 三角函数 ----------------■高考命题·解读■---------------- 核心考点 五年考情 考点1.同角三角函数的基本关系 2023 全国甲卷；2023 全国乙卷；2021 新高考全国 I 卷 考点2.三角函数的单调性 2025 全国二卷；2021 新高考全国 I 卷 考点3.三角函数的奇偶性 2023 全国甲卷 考点4.三角函数的对称性 2025 全国一卷；2022 新高考全国 I 卷 考点5.三角函数的值域（最值） 2025 全国一卷；2025 全国二卷； 2024 全国甲卷；2021全国乙卷 考点6.三角函数图象识别 2022 全国乙卷；2022 全国甲卷 考点7.三角函数的图象变换 2023 全国甲卷；2022 全国甲卷；2021 全国乙卷 考点8.二倍角公式的应用 2025 全国二卷；2023 新课标 I 卷；2023 新课标 II 卷；2021 全国乙卷；2021全国甲卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.从题型和题量上看，一般是一小(选择题或填空题)一大(解答题)，也有可能和其它内容综合命题； ①高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换、性质及其应用有时也以化简求值为背景考查三角恒等变换等问题； ②在处理三角函数问题时，熟记公式是解决此类问题的前提，同时注意换元法在解决与三角函数性质有关问题中的应用. 2.考查的主要内容有： ①三角函数的定义、图象和性质； ②利用三角函数公式进行三角恒等变换及化简、求值等； ③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换、求解析式与性质应用； ⑤以函数、不等式、向量为载体与三角函数有关的综合性问题仍要关注.同时需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的应用. 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第一册P176·T12)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿. （1）当大轮转动一周时,求小轮转动的角度; （2）如果大轮的转速为180 r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少? 【解析】（1）因为相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,所以当大轮转动一周时,大轮转动了48个齿,所以小轮转动周,即×360°=864°. （2）当大轮的转速为180 r/min时,×180=432 r/min,即小轮转速为432 r/min, 所以小轮周上一点每1 s转过的弧度数为432×2π÷60°= π. 因为小轮的半径为10.5 cm,所以小轮周上一点每1 s转过的弧长为π×=151.2π cm. 【🚀新题预测】 （2026·山西太原模拟）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 【答案】 【解析】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为， 所以弧长为 【教材母题2】(人教A版必修第一册P227·例10)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 【解析】在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α. 在Rt△OAD中，＝tan 60°＝.所以OA＝DA＝BC＝sin α， AB＝OB－OA＝cos α－sin α. 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝sin α＝sin αcos α－sin2α ＝sin 2α－(1－cos 2α)＝sin 2α＋cos 2α－＝－＝sin－. 由0＜α＜，得＜2α＋＜， 所以当2α＋＝，即α＝时，S最大＝－＝. 因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为. 【🚀衔接高考】 (2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s=(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知,△OAB是等边三角形,所以AB=OA=2.连接OC(图略),因为C是AB的中点, 所以OC⊥AB,OC==.又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线,所以CD=OD-OC=2-, 所以s=AB+=2+=.故选B. 【教材母题3】 (人教A版必修第一册P181例4)确定下列三角函数值的符号,然后用计算工具验证: （1）cos 250°; （2）sin; （3）tan(-672°); （4）tan 3π. 【解析】(1)因为250°是第三象限角,所以cos 250°<0. (2)因为-是第四象限角,所以sin<0. (3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan 48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0. (4)因为tan 3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x轴上,所以tan π=0. 【🚀衔接高考】 (2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角,则(　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 【答案】D 【解析】因为α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0,所以sin 2α=2sin αcos α<0,故选D. 【🚀新题预测】 （2026·宁夏银川模拟）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（   ） 5° 15° 25° 35° m n p q A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，故选B. 【教材母题4】 (人教A版必修第一册P185T12)已知tan α=,π<α<π,求cos α-sin α的值. 【解析】因为tan α=,π<α<,所以α=,所以cos α=-,sin α=-,所以cos α-sin α=. 【🚀衔接高考】 (2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  【答案】- 【解析】由且θ∈(0,),解得 故sin θ-cos θ=-. 【教材母题5】 (人教A版必修第一册P186T15)已知tan α=2,求的值. 【解析】因为tan α=2,所以===3. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=-2,则=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】C 【解析】解法一　因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二或第四象限,所以或 所以==sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=-=.故选C. 解法二　因为tan θ=-2,所以= =sin θ(sin θ+cos θ)====.故选C. 解法三　因为tan θ=-2,所以sin θ=-2cos θ. 则==sin θ(sin θ+cos θ)====.故选C. 【🚀新题预测】 （1）（2025·黑龙江哈尔滨模拟）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，， 则.故选D. （2）（2025·四川成都模拟）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等式两边平方可得，，即.. 故选C 【教材母题6】 (人教A版必修第一册P214T10)求下列函数的值域: （1）y=sin x,x∈; （2）y=cos,x∈. 【解析】(1)因为x∈,所以sin x∈,即函数的值域为. (2)因为x∈,所以x+∈,所以cos∈,即函数的值域为. 【教材母题7】 (人教A版必修第一册P214T12)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　) A.y=|sin x| B.y=cos x C.y=tan x D.y=cos 【答案】A 【解析】最小正周期为=π,在上,y=|sin x|=sin x单调递减,故A符合题意;最小正周期为2π,故B不符合题意;最小正周期为π,在上,y=tan x单调递增,故C不符合题意;最小正周期为2π×2=4π,故D不符合题意. 故选A. 【教材母题8】 (人教B版必修第三册P44T6)写出函数y=sin x-2的图象的对称中心和对称轴. 【解析】由正弦函数的性质可得对称中心的横坐标为x=kπ,k∈Z;对称轴为x=+kπ,k∈Z;所以函数的对称中心为(kπ,-2),k∈Z;对称轴. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·全国一卷)若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】因为y=tan x的对称中心为，k∈Z，所以的对称中心为，k∈Z，所以，k∈Z，又，所以的最小值 （2）(2025·天津高考)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为 (　　) A.- B.- C.1 D.0 【答案】A. 【解析】选A.设f(x)的周期为T，由题意得，≤⇒T=≥π⇒0<ω≤2， 又由对称轴和对称中心关系得:若⇒ω=4k+2，k∈Z，则ω=2， 故f(x)=sin (2x+φ)，由⇒φ=或-， 当φ=-时，f(x)在上单调递减，不合题意舍去， 故f(x)=sin ，当x∈时，2x+∈，则f(x)min=sin=-. （3）(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】对于A,令f(x)=0,则x=,k∈Z,又g≠0,故A错误;对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确; 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z, g(x)图象的对称轴方程为2x-=+kπ,k∈Z, 即x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC. （4）(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(　　) A.1 B. C. D.3 【答案】A 【解析】因为<T<π,所以<<π,解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且sin+b=2,即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),又2<ω<3,所以<ω+<,所以ω+=4π,解得ω=,所以f(x)=sin+2, 所以f=sin+2=sin +2=1.故选A. （5）(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线 【答案】AD 【解析】因为函数f(x)的图象关于点中心对称,所以sin=0,可得+φ=kπ(k∈Z),结合0<φ<π,得φ=,所以f(x)=sin. 对于A,当x∈时,2x+∈,所以函数f(x)在区间单调递减,故A正确; 对于B,当x∈时,2x+∈,所以函数f(x)在区间只有一个极值点,故B不正确; 对于C,因为f=sin=sin 3π=0,所以x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故C不正确; 对于D,因为f'(x)=2cos,若直线y=-x为曲线y=f(x)的切线, 则由2cos=-1,得2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z), 所以x=kπ或x=kπ+(k∈Z). 当x=kπ(k∈Z)时,f(x)=,则由=-kπ(k∈Z),解得k=0; 当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)=-,方程-=-kπ-(k∈Z)无解. 综上所述,直线y=-x为曲线y=f(x)的切线,故D正确. 综上所述,选AD. （6）（一题多解）(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解法一　令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.取k=0,则-≤x≤.因为⫋,所以区间是函数f(x)的单调递增区间.故选A. 解法二　当0<x<时,-<x-<,所以f(x)在上单调递增,故A正确; 当<x<π时,<x-<,所以f(x)在上不单调,故B不正确; 当π<x<时,<x-<,所以f(x)在上单调递减,故C不正确; 当<x<2π时,<x-<,所以f(x)在上不单调,故D不正确.故选A. 解法三　因为<<<π,但f=7sin =7,f=7sin<7,所以区间不是函数f(x)的单调递增区间,排除B; 因为π<<<,但f=7sin π=0,f=7sin =-<0,所以区间不是函数f(x)的单调递增区间,排除C; 因为<<<2π,但f=7sin =-7sin >-7,f=7sin =-7,所以区间不是函数f(x)的单调递增区间,排除D.故选A. （7）(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  【答案】- 【解析】对比正弦函数y=sin x的图象易知,点为“五点(画图)法”中的第五点, 所以ω+φ=2π.①由题知|AB|=xB-xA=,两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4. 代入①,得φ=-,所以f(π)=sin=-sin=-. 【教材母题9】(人教A版必修第一册P220T2(3))已知tan α=3,求tan的值. 【解析】因为tan α=3,所以tan===-2. 【🚀衔接高考】 (2024·全国甲卷)已知=,则tan=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 【答案】B 【解析】根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1,故选B. 【教材母题10】 (人教A版必修第一册P220T5)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值. 【解析】由已知得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,即sin[(α-β)-α]=,所以sin(-β)=,则sin β=-, 又β是第三象限角,所以cos β=-,故sin=sin βcos +cos βsin =-(sin β+cos β)=. 【🚀衔接高考】 （1）(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 【答案】C 【解析】由题意得sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β,整理,得sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1,故选C. （2）(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin=1,则sin=(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为sin θ+sin=sin+sin=sincos -cossin + sincos +cossin =2sincos =sin=1, 所以sin=.故选B. （3）（2025·北京高考）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，故且， 即，故取可满足题设要求； 【教材母题11】(人教A版必修第一册P221例5)已知sin 2α=,<α<,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值. 【解析】由<α<,得<2α<π.又sin 2α=,所以cos 2α=-=-. 于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin 2αcos 2α=2××=-; cos 4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α =1-2×=;tan 4α==-×=-. 【🚀衔接高考】 （1）(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】如图,由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5, 所以圆心坐标为(2,0),半径r=,所以圆心到点(0,-2)的距离为=2. 由于圆心与点(0,-2)的连线平分角α,所以sin===,又∈,所以cos=, 所以sin α=2sincos=2××=,故选B. （2）(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- 【答案】B 【解析】依题意,得所以sin αcos β=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=,故选B. （3）(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由3cos 2α-8cos α=5,得3(2cos2α-1)-8cos α=5,即3cos2α-4cos α-4=0, 解得cos α=-或cos α=2(舍去).又因为α∈(0,π),所以sin α>0, 所以sin α===.故选A. 【教材母题12】 (人教A版必修第一册P223T3)已知sin 2α=-sin α,α∈,求tan α的值. 【解析】由已知得2sin αcos α=-sin α,因此cos α=-,又α∈,所以sin α=,故tan α=-. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2021·全国甲卷)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解法一　因为tan 2α==,且tan 2α=,所以=,解得sin α=. 因为α∈,所以cos α =,tan α==.故选A. 解法二　因为tan 2α====,且tan 2α=, 所以=,解得sin α=.因为α∈,所以cos α=,tan α==.故选A. 【教材母题13】 (人教A版必修第一册P226T2)已知cos θ=,且270°<θ<360°,试求sin 和cos 的值. 【解析】因为cos θ=.所以cos2 ===,sin2===. 因为270°<θ<360°,所以135°<<180°,所以sin ==,cos =-=-. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin (α－)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一 由已知得cos α＝2cos2－1＝－，故sinα＝＝. 所以sin(α－)＝sin αcos －cos αsin ＝(sin α－cos α)＝.因此正确选项是D. 解法二 由已知得sin ＝＝，故sinα＝2sin cos ＝，cos α＝2cos2－1＝－. 所以sin(α－)＝(sin α－cos α)＝.因此正确选项是D. 解法三 由已知得tan ＝2，故sin (α－)＝(sin α－cos α)＝.＝. 因此正确选项是D. （2）（一题多解） (2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解法一　由题意,cos α==1-2sin2,得sin2===, 又α为锐角,所以sin>0,所以sin=,故选D. 解法二　由题意,cos α==1-2sin2,得sin2=,将选项逐个代入验证可知D选项满足,故选D. 【教材母题14】 (人教A版必修第一册P214T11)根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合: （1）sin x≥(x∈R); (2)+2cos x≥0(x∈R). 【解析】(1). . 【教材母题15】 (人教A版必修第一册P214T16)已知函数f(x)=sin,x∈R. （1）求f(x)的最小正周期; （2）求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【解析】(1)T==π,即f(x)的最小正周期为π. (2)当x∈时,则2x-∈,故sin∈. 故f(x)在上的最大值是,最小值是-. 【教材母题16】 (人教A版必修第一册P227例9)求下列函数的周期,最大值和最小值: （1）y=sin x+cos x; （2）y=3sin x+4cos x. 【解析】(1)y=sin x+cos x=2=2=2sin. 因此,所求周期为2π,最大值为2,最小值为-2. (2)设3sin x+4cos x=Asin(x+φ),则3sin x+4cos x=Asin xcos φ+Acos xsin φ. 于是Acos φ=3,Asin φ=4,于是A2cos2φ+A2sin2φ=25,所以A2=25.取A=5,则cos φ=,sin φ=. 由y=5sin(x+φ)可知,所求周期为2π,最大值为5,最小值为-5. 【🚀衔接高考】 （1）(2024·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2,求A. 【解析】由sin A+cos A=2,得sin A+cos A=1,所以sin=1.因为0<A<π,所以<A+<, 所以A+=,故A=. （2）(2021·全国乙卷)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是(　　) A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 【答案】C 【解析】因为函数f(x)=sin +cos ===sin, 所以函数f(x)的最小正周期T==6π,最大值为.故选C. （3）（2025·上海高考）函数在上的值域为 ． 【答案】 【解析】由函数在上单调递增，在单调递减，且， 故函数在上的值域为. 【教材母题17】 (人教A版必修第一册P229T13)在△ABC中,已知tan A,tan B是x的方程x2+p(x+1)+1=0的两个实根,求∠C. 【解析】由题意可得tan A+tan B=-p,tan A·tan B=1+p,所以tan(A+B)==1, 所以A+B=45°.又A+B+C=180°,所以C=135°. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  【答案】- 【解析】由题知tan(α+β)===-2,即sin(α+β)=-2cos(α+β), 又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,可得sin(α+β)=±.由2kπ<α<2kπ+,k∈Z, 2mπ+π<β<2mπ+,m∈Z,得2(k+m)π+π<α+β<2(k+m)π+2π, k+m∈Z.又tan(α+β)<0,所以α+β是第四象限角,故sin(α+β)=-. 【教材母题18】 (人教A版必修第一册P255T15(1))已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值. 【解析】由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, 解得sin αsin β=,cos αcos β=,所以tan αtan β===. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m 【答案】A 【解析】由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m.①由tan αtan β=2得=2,② 由①②得所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A. 【教材母题19】 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y=2sin的简图. 【解析】先画出函数y=sin x的图象,再把正弦曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,得到函数y=sin的图象,最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍,这时的曲线就是函数y=2sin的图象,如图所示. 下面用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的图象. 令X=3x-,则x=.列表,描点画图. X 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】因为函数y=2sin的最小正周期T=,所以函数y=2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示, 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 【教材母题20】 (人教A版必修第一册P239T2)已知函数y=3sin的图象为C. （1）为了得到函数y=3sin的图象,只要把C上所有的点(　　) A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度 C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度 （2）为了得到函数y=3sin的图象,只要把C上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变 （3）为了得到函数y=4sin的图象,只要把C上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变 【答案】(1)C　(2)B　(3)C 【解析】根据题意,有: (1)y=3sin=3sin,故只要把C上所有的点向右平移个单位长度即可,故选C. (2)y=3sin=3sin,故只要把C上所有的点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变即可,故选B. (3)y=4sin=×3sin, 故只要把C上所有的点纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变即可,故选C. 【🚀衔接高考】 （1）(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】把函数y=cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=cos=cos=-sin 2x的图象.作出函数f(x)的部分图象和直线y=x-如图所示.观察图象知,共有3个交点.故选C. （2）(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 【答案】B 【解析】依题意,将y=sin的图象向左平移个单位长度,再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象, 所以y=sin的图象y=sin的图象f(x)=sin的图象.故选B. 【教材母题21】 (人教A版必修第一册P241T4)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析】式为　　　　.  【答案】y=2sin 【解析】由图象可知A=2,=+=,所以T=π,所以ω=2,所以三角函数的解析式是y=2sin(2x+φ). 因为函数的图象过这一点,把点的坐标代入三角函数的解析式, 所以2=2sin,所以φ-=2kπ+因为0<φ<π,所以φ=, 所以三角函数的【解析】式是y=2sin. 【🚀衔接高考】 （1）(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　) A.sin B.sin C.cos D.cos 【答案】BC 【解析】由图象知=-=,得T=π,所以ω==2. 又图象过点,由“五点法”,结合图象可得φ+=π,即φ=,所以sin(ωx+φ)=sin,故A错误; 由sin=sin=sin知B正确; 由sin=sin=cos知C正确; 由sin=cos=cos=-cos知D错误. 综上可知,正确的选项为BC. （2）（一题多解）(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos (ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.  【答案】- 【解析】解法一(五点作图法)　由题图可知T=-=(T为f(x)的最小正周期), 即T=π,所以=π,即ω=2,故f(x)=2cos (2x+φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点, 故2×+φ=,得φ=-.故f(x)=2cos , 所以f=2cos =-2cos =-. 解法二(代点法)　由题意知,T=-=(T为f(x)的最小正周期),所以T=π,=π,即ω=2. 又点在函数f(x)的图象上,所以2cos =0,所以2×+φ=+2kπ(k∈Z). 又|φ|<,所以令k=0,得φ=-,所以f(x)=2cos ,所以f=2cos =-2cos =-. 解法三(平移法)　由题意知,T=-=(T为f(x)的最小正周期),所以T=π,=π,即ω=2. 函数y=2cos 2x的图象与x轴的一个交点是,对应函数f(x)=2cos (2x+φ)的图象与x轴的一个交点是, 所以f(x)=2cos (2x+φ)的图象是由y=2cos 2x的图象向右平移-=个单位长度得到的, 所以f(x)=2cos (2x+φ)=2cos 2=2cos, 所以f=2cos =-2cos =-. 【教材母题22】(人教A版必修第一册P245例1)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b. （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 【解析】（1）由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃. （2）由图可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期的图象， 所以A＝（30－10）＝10，b＝（30＋10）＝20.因为×＝14－6，所以ω＝. 将A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10代入上式，可得φ＝. 综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]． 【教材母题23】 (人教A版必修第一册P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1). 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. (1)设t＝0 min时，游客甲位于点P(0，－55)，以OP为终边的角为－； 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为 rad/min， 由题意可得H＝55sin＋65，0≤t≤30. (2)当t＝5时，H＝55sin＋65＝37.5. 所以游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m. (3)如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB＝＝. 经过t min后甲距离地面的高度为H1＝55sin＋65，点B相对于点A始终落后 rad，此时乙距离地面的高度为H2＝55sin＋65.则甲、乙距离地面的高度差h＝|H1－H2| ＝55＝55， 利用sin θ＋sin φ＝2sin cos ，可得h＝110，0≤t≤30. 当t－＝，即t≈7.8(或22.8)时，h的最大值为110sin ≈7.2. 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m. 【🚀新题预测】 （高考新题型：项目式）(2026·T8检测训练)图①是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,在农业上得到广泛应用.在图②中,一个半径为2 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距水面的高度为 m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位:m)(若在水面下则d为负数),若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K,则φ=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】A　 【解析】由题得筒车半径为2 m,转动一圈需要40 s,且轴心O距水面高度为 m,所以A==2,ω==,K==(m).又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时,所以d(0)=0,所以sin φ=-.又-<φ<,所以φ=-. 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读】人教 版必修第一册 阅读与思考: 声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数，音有四要素：音调、响度、音长和音色，这都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 声音的合成图如图所示 【🚀新题预测】 （1）（2026·河北秦皇岛模拟）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画．在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．某二和弦可表示为，则函数的图象大致为（ ） 【答案】A 【解析】由题意得 的定义域为，因为，则 为奇函数，排除； 在区间 上，，函数图象在 轴上方，排除； 在区间 上，和 都是增函数，函数图象增长最快，排除. （2）（2026·湖南衡阳模拟）若一个复合音的函数是，则该复合音的周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意，的最小正周期是，的最小正周期是，所以 的周期应为 与 的公倍数 ． （3）（多选）（2026·河南郑州模拟）数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音.对于我们听到的某个声音函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 【答案】BD 【解析】选.对于，，错误； 对于，. 所以函数 的图象关于点 对称，正确； 对于，， 所以函数 的图象不关于直线 对称，错误; 对于,因为，，，在 上均单调递增， 由函数单调性的性质可知，在 上单调递增，正确. （4）（2026·四川成都1月阶段考）若一个复合音的数学模型是函数，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】，,则 为奇函数， ,的最小正周期分别为 , ，故 的最小正周期为 . 因为， 当 时，令，则 或 . 当 时，，当 时，，故 在 上单调递增，在 上单调递减，则 在 上的最大值为，且 在 上恒成立，由 为奇函数可得 在 上恒小于等于零，由周期函数可得 的最大值为. 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第一册P200)你能利用函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,通过图象变换得到y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象吗?同样地,利用函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象? 【解析】将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位长度就得到y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象.函数y=cos x,x∈[0,2π] 的图象与y=-cos x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称,只需将函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象作关于x轴对称的变换即可得到函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象. 【探究2】 (人教A版必修第一册P207)你能求出函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间吗? 【解析】由y=sin得y=-sin,令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z, 解得+4kπ≤x≤+4kπ.又x∈[-2π,2π],所以y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是,. 【🚀衔接高考】 (2025·全国二卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=. （1）求φ； （2）设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间. 【解析】 (1)因为f(0)=，所以f(0)=cos φ=，又因为0≤φ<π，所以φ=. (2)由(1)知，f(x)=cos，所以g(x)=cos+cos 2x， g(x)=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos，因为cos∈[-1，1]， 所以g(x)的值域为[-，]， 由2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z， 同理可得:g(x)的单调递增区间为，k∈Z. 【探究3】三倍角公式 (人教B版必修第三册P113T11) （1）sin 3θ=3sin θ-4sin3θ; （2）cos 3θ=4cos3θ-3cos θ. 【证明】(1)sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcos θ+cos 2θsin θ=2sin θcos2θ+(1-2sin2θ)sin θ =2sin θ(1-sin2θ)+sin θ-2sin3θ=3sin θ-4sin3θ. (2)cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ=(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ =2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)cos θ=4cos3θ-3cos θ. 【🚀新题预测】 (2026·沧州模拟)已知tan θ=,则=　　　　.  【答案】　 【解析】　sin 3θ=sin(θ+2θ)=sin θcos 2θ+cos θsin 2θ=sin θ(1-2sin2θ)+2sin θcos2θ=3sin θ-4sin3θ,因为tan θ=, 所以=3-4sin2θ=3-=3-=3-=. 【探究4】积化和差公式、和差化积公式(人教A版必修第一册P225例8拓展) (1)积化和差公式: ①sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; ②cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; ③cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; ④sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 证明　①因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 两式相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,即sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]. 同理可证②③④. (2)和差化积公式: ⑤sin θ+sin φ=2sin cos ; ⑥sin θ-sin φ=2cos sin ; ⑦cos θ+cos φ=2cos cos ; ⑧cos θ-cos φ=-2sin sin . 证明　⑤由①可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.设α+β=θ,α-β=φ, 那么α=,β=,将α,β代入可得sin θ+sin φ=2sin cos . ⑥⑦⑧证明略. 【🚀新题预测】 (2026·长沙模拟)已知函数f(x)=2sincos,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在上单调递增 C.f'(x)为偶函数 D.f(x)的最小值为 【答案】C 【解析】因为f(x)=2sincos=2×+=sin 4x-, 此时最小正周期为=,其最小值为-1-,所以A错误,D错误; 因为-<x<,所以-<4x<π,可知f(x)在上不单调,B错误; 又f'(x)=4cos 4x,所以f'(x)为偶函数,C正确.故选C. 【探究5】万能公式 (湘教版必修第二册P85例3) 当α≠2kπ+π(k∈Z)时,求证:sin α=,cos α=,tan α=. 【证明】当α≠2kπ+π(k∈Z)时,利用二倍角公式及sin2+cos2=1, 可得sin α=2sin cos ==,cos α=cos2-sin2==. 将两式相除,可得tan α==. 【🚀新题预测】 （一题多解）(2026·长沙模拟)函数f(x)=sin x(1+cos x)的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　解法一　不妨设x∈[0,2π],则f'(x)=cos x+2cos2x-,整理得到f'(x)=(2cos x-1)(cos x+1),当x∈∪时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0,故f(x)在,上单调递增,在上单调递减,而f(2π)=0,f=,故f(x)的最大值为. 解法二　由万能公式得sin x=,cos x=,代入原式并化简得 f(x)=×=, 令tan =t,因为题设中欲求最大值,故可设t>0,故原式转化为f(t)=, f'(t)=,t∈,f'(t)>0,f(t)单调递增,t∈,f'(t)<0,f(t)单调递减,f(t)max=f=. 【探究6】泰勒公式(人教A版必修第一册P256T26) 英国数学家泰勒发现了如下公式: sin x=x-+-+…, cos x=1-+-+…, 其中n!=1×2×3×4×…×n. 这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1-+=0.955 337 5. 试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较. 【解析】依题意,用前5项计算,即 cos 0.3≈1-+-+≈1-0.045+0.000 337 5-0.000 001 012 5+0.000 000 001 63≈0.955 336 48. 与用前三项计算cos 0.3的结果比较可以发现,用前5项计算的结果精确度更高,同时可知,当取的项数足够多时,可以达到更高的精确度,甚至达到任意精确度的要求. 【🚀衔接高考】 (2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【答案】C 【解析】因为ex=1+x+x2+0(x2),ln(1+x)=x-x2+0(x2),所以a=0.1e0.1=0.1≈0.110 5, b=≈0.111 1,c=-ln 0.9=ln =ln=-×+0(x2)≈0.104 9,所以c<a<b. 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $