7.1.2 两直线垂直（课时分层检测）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版2024）

7.1.2 两直线垂直 A 基础训练 1．下列选项中，过点画直线的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是过一点画已知直线的垂线．根据利用三角板或量角器画垂直的方法进行判断即可． 【详解】解：过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是： 故选：C． 2．如图，在一个无风的日子，一辆宣传车在一条笔直的公路上由向行驶，点是某户村民的位置，当宣传车行驶到下列哪一位置时，该户村民听到的内容最清楚（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查的是垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键．根据点到直线的连线中垂线段最短求解即可． 【详解】解：根据题意， 则点到的最短距离为的长， ∴当宣传车行驶到点时，该户村民听到的内容最清楚． 故选：B． 3．下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到的距离就是过向作垂线的垂线段的长度． 【详解】解：A、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； B、表示点到的距离，故此选项正确，符合题意； C、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； D、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的定义、几何图形中角度计算等知识，首先根据“对顶角相等”可知，再由垂直的定义可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米， ∴黎明的跳远成绩应该为米， 故答案为：． 6．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 7．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由垂直的定义得，然后结合平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，直线和相交于点，有下列条件：①；②；③；④．其中能说明的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角为直角，则称这两条直线相互垂直，对顶角的性质；根据垂直的定义逐个判断即可． 【详解】解：由垂直的定义知，①与②能说明； 两条直线和相交则必有，故不能说明；即③不能说明； 由及，得， 则由垂直的定义知；即④能说明； 故能说明的有①②④； 故答案为：①②④． 9．如图，有、、、四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)画点到直线的垂线段，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作线段、射线、垂线段，解题的关键是理解线段、射线、垂线段的定义． （1）根据直线的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3） 根据垂线的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，垂线段即为所求． 10．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 11．如图所示，是直线上的点，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由邻补角的性质得，进而根据角平分线的定义即可求解； （）由垂直的定义得，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（）知， ∴． 12．如图，，直线经过点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题是有关垂线，对顶角、邻补角的应用的考题，能根据已知条件得出关于的方程是解此题的关键．首先根据已知条件，设，求出； 然后根据得出方程，求出的值即可． 【详解】解： 设. ， ， ， ， ， 解得：， ． B 巩固提升 13．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 14．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 15．如图，与互为补角，有以下三条信息： ①平分，②，③平分． 请你从以上3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论，组成一个正确的结论，并说明理由． 你选择的条件是：______，结论是：______． 理由： 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的性质，与补角的相关计算，分三种情况：选择的条件是①②，结论是③；选择的条件是①③，结论是②；选择的条件是②③，结论是①；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：选择的条件是：①②，结论是：③； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵与互为补角， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 选择的条件是：①③，结论是：②； 理由：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴, ∴，即； 选择的条件是：②③，结论是：①； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵与互为补角， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 16．已知是直线上的一点，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系： (1)填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中； (2)猜想，若，求的度数（用含有的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用垂直的定义得以得到，然后利用角平分线的定义得到，然后利用平角的定义计算即可得到，再分别计算即可得到结果； （2）利用垂直的定义得以得到，然后利用角平分线的定义得到，然后利用平角的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． C 拓展探究 17．如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了相交线、垂直的定义、角的运算和角平分线以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系和垂直的性质求解； （2）①利用角平分线的定义和角的和差运算即可求解； ②分两种情况：当旋转到左侧时，当旋转到右侧时，分别画出图形，利用角平分线的定义、角的和差以及方程思想求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ， 故答案为；； （2）①，， ， 射线是的平分线， ， ， ， ， 故答案为． ②当旋转到左侧时，如图： 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ；． 当旋转到右侧时，如图： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ， 解得， ， ， 综上，的值为或． 18．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 【答案】(1)  ， (2) 【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设的度数为，则的度数为，根据的垂角比大40°，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：；，． ， ， ，即的垂角是． ，即的垂角是． ， ， ，即的垂角是． ∴的垂角是，的垂角是和． （2）解：设的度数为，则的度数为． 的垂角比大40°， ， 解得，则的度数是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 两直线垂直 A 基础训练 1．下列选项中，过点画直线的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在一个无风的日子，一辆宣传车在一条笔直的公路上由向行驶，点是某户村民的位置，当宣传车行驶到下列哪一位置时，该户村民听到的内容最清楚（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 6．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 7．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． 8．小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，直线和相交于点，有下列条件：①；②；③；④．其中能说明的是 ．（填序号） 9．如图，有、、、四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)画点到直线的垂线段，垂足为． 10．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 11．如图所示，是直线上的点，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 12．如图，，直线经过点，若，求的度数． B 巩固提升 13．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 14．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 15．如图，与互为补角，有以下三条信息： ①平分，②，③平分． 请你从以上3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论，组成一个正确的结论，并说明理由． 你选择的条件是：______，结论是：______． 理由： 16．已知是直线上的一点，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系： (1)填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中； (2)猜想，若，求的度数（用含有的式子表示），并说明理由． C 拓展探究 17．如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 18．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $