7.1.2 两直线垂直（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版2024）

7.1.2 两直线垂直 内容导航 知识点一 垂直的定义及表示（重点） 1 知识点二 垂线的画法（难点） 2 知识点三 垂线（段）的性质（重点） 2 知识点四 点到直线的距离（难点） 3 题型1 垂线的画法 4 题型2 垂线段最短的应用 5 题型3 点到直线的距离 5 题型4 与垂直相关的计算 6 综合练习 7 知识点一 垂直的定义及表示（重点） 垂直的定义 图形 几何语言 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° 注意：（1）垂直的定义具有性质和判定的双重性作用。即知直角得线垂直，知线垂直得直角。 （2）垂线是直线，不是线段或射线，不能测量共长度： （3）线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° （性质） 因为∠AOD=90° 所以AB⊥CD （判定） 【基础练习1】如图，于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【基础练习2】如图，从直线上一点O分别引射线，已知，，则的度数是 ． 知识点二 垂线的画法（难点） 名称 图例 垂线的画法 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已直线的垂线(如图所示)． 垂线段的定义 如图,P为直线外一点,PM⊥,垂足为M,则线段PM就是点P到直线的垂线段 注意：（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）垂线是直线，不可度量，垂线段是线段,可以度量. 【基础练习1】过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【基础练习2】如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 知识点三 垂线（段）的性质（重点） 性质一 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质二 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。 注意：（1）性质一成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质二是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短． 拓展：（1）在同一平面内，过一点画已知直线的垂线时，只能画一条； （2）不在同一平面内或未指明过哪一点画已知直线的垂线时，可以画无数条. 【基础练习1】如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 【基础练习2】如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 知识点四 点到直线的距离（难点） 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度。 【基础练习1】如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【基础练习2】作图题∶如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为E；则点C到的距离为线段 的长度； (2)连接 ，并比较下列两条线段的长度： （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ． 题型1 垂线的画法 【典例】在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【变式练习1】（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【变式练习2】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 过一点画已知直线的垂线的方法技巧 一落 让三角尺的一直角边落在已知直线上,并与已知直线重合 二移 沿直线移动三角尺,使其另一直角边经过已知点 三画 沿该直角边画直线,则这条直线就是过这点的已知直线的垂线 特别提醒：过一点画已知射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上，如图所示。 题型2 垂线段最短的应用 【典例】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【变式练习1】如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【变式练习2】如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 总结：最短（或最近）问题的两依据 (1)两点之间，线段最短；（2）垂线段最短。 题型3 点到直线的距离 【典例】如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【变式练习1】如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 题型4 与垂直相关的计算 【典例】如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 【变式练习1】如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【变式练习2】如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 总结：位置关系与数量关系的转化 垂直的定义实现了直线的位置关系与角的数量关系之间的相互转化，如图：将“OE⊥AB”转化为“∠AOE=90°”. 综合练习 一、单选题 1．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三角形中，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，，，平分，平分，，则下列结论：；；；．其中正确结论的是______（填写序号）．（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（1）在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 8．如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 9．如图，线段 的长度是点p到直线l的距离． 10．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 11．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 12．如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 三、解答题 13．如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： (1)画射线，交于点； (2)过点画边上的垂线，垂足为； (3)连接； (4)在线段中，最短的线段是________，依据是________． 14．已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 15．如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 16．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 17．如图，已知点A、O、B在同一直线上，平分，平分，求证：． 18．点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 两直线垂直 内容导航 知识点一 垂直的定义及表示（重点） 1 知识点二 垂线的画法（难点） 2 知识点三 垂线（段）的性质（重点） 4 知识点四 点到直线的距离（难点） 5 题型1 垂线的画法 6 题型2 垂线段最短的应用 8 题型3 点到直线的距离 10 题型4 与垂直相关的计算 12 综合练习 14 知识点一 垂直的定义及表示（重点） 垂直的定义 图形 几何语言 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° 注意：（1）垂直的定义具有性质和判定的双重性作用。即知直角得线垂直，知线垂直得直角。 （2）垂线是直线，不是线段或射线，不能测量共长度： （3）线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° （性质） 因为∠AOD=90° 所以AB⊥CD （判定） 【基础练习1】如图，于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，根据得出，进而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【基础练习2】如图，从直线上一点O分别引射线，已知，，则的度数是 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查垂直的定义和性质，平角度数，掌握相关知识是解决问题的关键．由知，又因为，利用平角定义即可求解． 【详解】解：, ， ， ． 故答案为：． 知识点二 垂线的画法（难点） 名称 图例 垂线的画法 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已直线的垂线(如图所示)． 垂线段的定义 如图,P为直线外一点,PM⊥,垂足为M,则线段PM就是点P到直线的垂线段 注意：（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）垂线是直线，不可度量，垂线段是线段,可以度量. 【基础练习1】过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 【基础练习2】如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 知识点三 垂线（段）的性质（重点） 性质一 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质二 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。 注意：（1）性质一成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质二是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短． 拓展：（1）在同一平面内，过一点画已知直线的垂线时，只能画一条； （2）不在同一平面内或未指明过哪一点画已知直线的垂线时，可以画无数条. 【基础练习1】如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键． 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可解决问题． 【详解】解：∵直线，直线，为垂足， ∴、、三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【基础练习2】如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 知识点四 点到直线的距离（难点） 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度。 【基础练习1】如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 【基础练习2】作图题∶如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为E；则点C到的距离为线段 的长度； (2)连接 ，并比较下列两条线段的长度： （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ． 【答案】(1)见详解， (2)<，垂线段最短 【分析】此题考查了作垂线，垂线段最短的性质的应用，点到直线的距离，正确作出图形理解点到直线的距离是解题的关键． （1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂线段最短可得． 【详解】（1）解：线段，垂足为E，如图所示： 则点C到的距离为线段的长度, 故答案为：． （2）解：∵， ∵根据垂线段最短可知， 故答案为：<，垂线段最短． 题型1 垂线的画法 【典例】在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 【变式练习1】（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    【变式练习2】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 过一点画已知直线的垂线的方法技巧 一落 让三角尺的一直角边落在已知直线上,并与已知直线重合 二移 沿直线移动三角尺,使其另一直角边经过已知点 三画 沿该直角边画直线,则这条直线就是过这点的已知直线的垂线 特别提醒：过一点画已知射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上，如图所示。 题型2 垂线段最短的应用 【典例】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【变式练习1】如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【变式练习2】如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 总结：最短（或最近）问题的两依据 (1)两点之间，线段最短；（2）垂线段最短。 题型3 点到直线的距离 【典例】如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式练习1】如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 【变式练习2】如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据题意画垂线，根据点到直线的距离的定义得到点到直线的距离是线段的长度； （2）根据题意画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到． 【详解】（1）解：如图所示，点到直线的距离是线段的长度； （2）解：如图所示； （3）解：，理由：垂线段最短． 题型4 与垂直相关的计算 【典例】如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查对顶角、垂直的定义以及角平分线的定义，根据角平分线的性质，垂直的定义求得，进而由对顶角相等进行计算即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式练习1】如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了对顶角的性质、垂直的定义、角的和差等知识．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式练习2】如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 总结：位置关系与数量关系的转化 垂直的定义实现了直线的位置关系与角的数量关系之间的相互转化，如图：将“OE⊥AB”转化为“∠AOE=90°”. 综合练习 一、单选题 1．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 2．如图，在三角形中，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题关键是理解点A到直线的距离为垂线段的长度． 根据点到直线的距离的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴点A到直线的距离为． 故选：B． 3．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的性质，垂线段的性质，直线的性质， 分别根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“两点确定一条直线”解答即可． 【详解】解：因为弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为“两点之间线段最短”，所以A符合题意； 因为测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为“垂线段最短”，所以B不符合题意； 因为木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为“两点确定一条直线”，所以C不符合题意； 因为用两个钉子固定一根木条，数学常识为“两点确定一条直线”，所以D不符合题意． 故选：A． 4．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 6．如图，，，平分，平分，，则下列结论：；；；．其中正确结论的是______（填写序号）．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，垂直定义，由，则，得，再通过角平分线定义即可判断；通过角平分线定义，角度和差即可判断；由垂直定义得出，所以，从而判断；通过角度和差即可判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，故错误； ∵平分， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； 故结论正确的是， 故选：． 二、填空题 7．（1）在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 【答案】 一条 垂线段最短 点到直线的距离 【分析】（1）本题考查垂线相关知识，掌握概念即可解题． （2）本题考查垂线段相关知识，掌握概念即可解题． （3）本题考查点到直线的距离相关知识，掌握概念即可解题． 【详解】解：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故答案为：一条． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 故答案为：点到直线的距离． 8．如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 【答案】 ① 垂线段最短 【分析】本题主要考查了距离垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；因此此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从书店到公路最近的是①号路线，理由是垂线段最短； 故答案为：①，垂线段最短． 9．如图，线段 的长度是点p到直线l的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条线段的垂线段的长度成为解题的关键． 直接根据点到直线的距离的定义解答． 【详解】解：由图可知，线段为直线的垂线段，故点p到直线l的距离是线段的长度． 故答案为：． 10．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 11．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 12．如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： (1)画射线，交于点； (2)过点画边上的垂线，垂足为； (3)连接； (4)在线段中，最短的线段是________，依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，画射线，画垂线，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据射线的画法画图即可； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据线段的画法画图即可； （4）根据垂线段最短可得最短的线段是． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：在线段中，最短的线段是，依据是垂线段最短． 14．已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，角平分线定义， (2) 【分析】（1）由垂直定义及互余定义求出，再由平角定义及角平分线定义得到即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理即可得到的度数（用含的式子表示）． 【详解】（1）解：， ． ． ． 是直线上的一点． ． 平分． ．（理由：角平分线定义） ． 故答案为：，角平分线定义，； （2）解：， ， ， ， 是直线上的一点， ， 平分， ． 【点睛】本题考查几何图形中求角度，涉及垂直定义、互余定义、平角定义及角平分线定义，数形结合，准确表示图中各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 15．如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直，对顶角，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案 【详解】 解：平分 ， 16．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，已知点A、O、B在同一直线上，平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查垂直的判定，角平分线的定义，平角的概念及性质，由角平分线的定义得到，，然后由邻补角得到，进而求解即可． 【详解】证明：是的平分线（已知）， （角平分线的定义）． 是的平分线（已知）， （角平分线的定义）． ， ， 即， （垂直的定义） 18．点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $