第二章 有理数及其运算 期末复习提高训练 (3)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》期末复习提高训练 (3) 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号 B．同号两数相乘，符号不变 C．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号 D．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都为正数 2．下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③|﹣3|与﹣|﹣3|；④（﹣3）3与﹣33； ⑤23与32；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2），其中互为相反数的共有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 3．如果一个有理数的绝对值是正数，那么这个数必定是（　　） A．是正数 B．不是0 C．是负数 D．以上都不对 4．下列各式中，计算结果得零的是（　　） A．﹣22+（﹣2）×2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2﹣（﹣2）2 二．填空题 5．当整数m＝　 　 时，代数式的值是整数． 6．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，试确定代数式的值与0的大小关系．（用“＞”或“＜“填空） （1）　 　 0； （2）　 　 0． 7．仔细观察，思考下面一列数有哪些规律，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…然后填出下面两空：（1）第7个数是　 　 ；（2）第n个数是　 　 ． 三．解答题 8．已知有理数a，b． （1）若ab＞0，a+b＞0，则a　 　 0，b　 　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）若ab＞0，a+b＜0，则a　 　 0，b　 　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）； （3）已知|a|＝5，|b|＝7，且ab＜0，a+b＞0，求a﹣b的值． 9．观察下列等式： ，，． 运用以上规律，回答下列问题： （1）填空：＝﹣； （2）计算：； （3）计算：＝　 　 ．（直接写出答案） 10．（1）计算：（﹣12）﹣（﹣20）+（﹣8）﹣15 （2）计算：﹣2 3+3×（﹣1）2016﹣9÷（﹣3） 11．计算： （1）﹣32+（）×（﹣24）； （2）﹣12023+3×（﹣2）2﹣（﹣6）÷（﹣）2． 12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x2﹣（a+b+cd）+（a+b）2009+（﹣cd）2009的值． 13．有理数a，b，c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　 0，a+b　 　 0，c﹣a　 　 0． （2）若|a|＝3.5，|b|＝1.3，c2＝25，求﹣的值． 14．刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖，下面是她一周送出的20筐菜的重量记录表，每筐以25kg为标准重量． 筐数 2 5 3 4 2 4 与标准质量相比（kg） ﹣0.8 +0.6 ﹣0.5 +0.4 +0.5 ﹣0.3 求她一周送出20筐新鲜蔬菜的总质量． 15．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值． 解：令S＝1+2+22+23+24+…+22017① 将等式两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22017+22018② 将②减去①得：2S﹣S＝2+22+23+24+25+…+22017+22018﹣（1+2+22+23+24+…+22017） ＝2+22+23+24+25+…+22017+22018﹣1﹣2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣22017 ＝2﹣2+22﹣22+23﹣23+24﹣24+…+22017﹣22017+22018﹣1 ＝22018﹣1 即S＝22018﹣1 即1+2+22+23+24+…22017＝22018﹣1 请你仿照此法计算 （1）1+2+22+23+24+25； （2）1+5+52+53+54…+5n（其中n为正整数）； （3）1+a+a2+a3+a4…+an（其中a≠0，n为正整数）． 16．已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数． （1）求a与b的值； （2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数． 17．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题： （1）当a＝　 　 时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为 　 　 ． （2）当a取何值时，|a﹣1|+3有最小值？这个最小值是多少？ （3）当a取何值时，4﹣|a|有最大值？这个最大值是多少？ 北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》期末复习提高训练 (3) 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 题号 1 2 3 4 答案 C B B D 1．下列说法正确的是（　　） A．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号 B．同号两数相乘，符号不变 C．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号 D．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都为正数 【分析】根据有理数的乘法运算法则作答． 【解答】解：根据有理数乘法法则， 例如﹣2×4＝﹣8，A错； （﹣2）×（﹣4）＝8，B错； （﹣2）×（﹣5）＝10，D错． 故选：C． 【点评】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．注意不要与有理数的加法法则相混淆． 2．下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③|﹣3|与﹣|﹣3|；④（﹣3）3与﹣33； ⑤23与32；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2），其中互为相反数的共有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对各选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数． 【解答】解：根据相反数的定义可知：①﹣32与32；③|﹣3|与﹣|﹣3|； ⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）互为相反数． 故选：B． 【点评】本题考查的是相反数的概念，两数互为相反数，它们的和为0． 3．如果一个有理数的绝对值是正数，那么这个数必定是（　　） A．是正数 B．不是0 C．是负数 D．以上都不对 【分析】根据绝对值的性质解答． 【解答】解：由于正数和负数的绝对值都是正数，而0的绝对值是0；所以若一个有理数的绝对值是正数，那么这个数必不为0． 故选：B． 【点评】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4．下列各式中，计算结果得零的是（　　） A．﹣22+（﹣2）×2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2﹣（﹣2）2 【分析】根据有理数混合运算的法则对四个选项逐一进行计算即可． 【解答】解：A、﹣22+（﹣2）×2＝﹣4﹣4＝﹣8； B、﹣22﹣22＝﹣4﹣4＝﹣8； C、﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8； D、（﹣2）2﹣（﹣2）2＝4﹣4＝0． 故选：D． 【点评】本题考查的是有理数混合运算的法则，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 二．填空题（共3小题） 5．当整数m＝　0或1　 时，代数式的值是整数． 【分析】由题可分析知要使代数式的值是整数，3m﹣1只能在±1、±2、±3、±6这四个数中取值，由此可依次求出m的值，再由m为整数知，只能为0或1． 【解答】解：∵要使代数式的值是整数， ∴3m﹣1只能在±1、±2、±3、±6这四个数中取值， ∵当3m﹣1＝1时，∴m＝，当3m﹣1＝﹣1时，m＝0， 当3m﹣1＝2时，m＝1，当3m﹣1＝﹣2时，m＝﹣， 当3m﹣1＝3时，m＝，当3m﹣1＝﹣3时，m＝﹣， 当3m﹣1＝6时，m＝，当3m﹣1＝﹣6时，m＝﹣， 又∵m也是整数，∴可得m＝0或1， 故答案为0或1． 【点评】本题主要考查代数式求值问题，结合整数的简单知识，认真分析，也易得出结果，注意不要漏掉可能的结果． 6．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，试确定代数式的值与0的大小关系．（用“＞”或“＜“填空） （1）　＞　 0； （2）　＞　 0． 【分析】根据数轴上点的位置判断即可． 【解答】解：根据题意得：d＜c＜b＜0＜a，且|b|＜|a|＜|c|＜|d|， （1）∵a+d＜0，b＜0， ∴＞0； （2）∵b﹣c＞0，d﹣b＜0，ab＜0， ∴×ab＞0， 故答案为：（1）＞；（2）＞． 【点评】此题考查了代数式求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．仔细观察，思考下面一列数有哪些规律，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…然后填出下面两空：（1）第7个数是　﹣128　 ；（2）第n个数是　（﹣1）n2n ． 【分析】根据所给的数中，可以发现：﹣2＝﹣21，4＝22，﹣8＝﹣23…，得出第7个数是﹣27，第n个数是（﹣1）n2n． 【解答】解：根据已知条件得出： （1）第7个数是﹣27＝﹣128； （2）第n故数是（﹣1）n2n． 故答案为：﹣128，（﹣1）n2n． 【点评】此题考查了数字的变化类，解题的关键是注意符号的规律：当指数是奇数的时候，符号是负数；当指数是偶数的时候，符号是正数． 三．解答题（共12小题） 8．已知有理数a，b． （1）若ab＞0，a+b＞0，则a　＞　 0，b　＞　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）若ab＞0，a+b＜0，则a　＜　 0，b　＜　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）； （3）已知|a|＝5，|b|＝7，且ab＜0，a+b＞0，求a﹣b的值． 【分析】（1）由ab＞0可得a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，结合a+b＞0，即可求解； （2）由ab＞0可得a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，结合a+b＜0，即可求解； （3）根据绝对值的定义可得a＝±5，b＝±7，由ab＜0，a+b＞0，可得a＝﹣5，b＝7，即可求解． 【解答】解：（1）∵ab＞0， ∴a＜0，b＜0或a＞0，b＞0 又∵a+b＞0， ∴b＞0，a＞0， 故答案为：＞，＞； （2）∵ab＞0， ∴a＜0，b＜0或a＞0，b＞0 又∵a+b＜0， ∴b＜0，a＜0， 故答案为：＜，＜； （3）∵|b|＝7，|a|＝5， ∴b＝±7，a＝±5， ∵ab＜0，a+b＞0， ∴a与b异号，且正数的绝对值较大， ∴b为正数，a为负数， ∴b＝7，a＝﹣5， ∴a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法和加法运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 9．观察下列等式： ，，． 运用以上规律，回答下列问题： （1）填空：＝﹣； （2）计算：； （3）计算：＝　　 ．（直接写出答案） 【分析】（1）观察题干等式，发现规律，，n为正整数，据此解答即可； （2）观察所求式子发现规律，，据此化简计算即可； （3）将整数部分和分数部分分开计算，根据发现的规律，进行化简计算即可． 【解答】解：（1）发现规律，，n为正整数， 则， 故答案为：①19；②21； （2）原式＝+…+﹣） ＝ ＝ ＝； （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查分式运算规律，熟练找到规律是解题的关键． 10．（1）计算：（﹣12）﹣（﹣20）+（﹣8）﹣15 （2）计算：﹣2 3+3×（﹣1）2016﹣9÷（﹣3） 【分析】（1）减法转化为加法，再计算加法即可得； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可得． 【解答】解：（1）原式＝﹣12+20﹣8﹣15 ＝﹣35+20 ＝﹣15； （2）原式＝﹣8+3×1+3 ＝﹣8+3+3 ＝﹣2． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 11．计算： （1）﹣32+（）×（﹣24）； （2）﹣12023+3×（﹣2）2﹣（﹣6）÷（﹣）2． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则和乘法的分配律解答即可； （2）利用有理数的混合运算的法则解答即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣9+（﹣24）﹣（﹣24）+（﹣24） ＝﹣9﹣16+12﹣15 ＝﹣（9+16+15）+12 ＝﹣40+12 ＝﹣28； （2）原式＝﹣1+3×4﹣（﹣6） ＝﹣1+12﹣（﹣54） ＝﹣1+12+54 ＝11+54 ＝65． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则与运算律是解题的关键． 12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x2﹣（a+b+cd）+（a+b）2009+（﹣cd）2009的值． 【分析】由a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，可得a+b＝0，cd＝1，x2＝4，整体代入即可求值． 【解答】解：由题意可得：a+b＝0，cd＝1；|x|＝2，即x2＝4． 原式＝4﹣1+0﹣1＝2． 【点评】主要考查相反数，绝对值，倒数，平方的概念及性质．两个相反数的和为0．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 13．有理数a，b，c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　＜　 0，a+b　＜　 0，c﹣a　＞　 0． （2）若|a|＝3.5，|b|＝1.3，c2＝25，求﹣的值． 【分析】（1）由数轴得出a＜0＜b＜c，且|b|＜|a|＜|c|，再依据有理数的加减运算法则判断可得； （2）根据绝对值性质和有理数的乘方运算法则，并结合（1）中所得结论得出a，b，c的值，继而代入计算可得． 【解答】解：（1）由数轴知a＜0＜b＜c，且|b|＜|a|＜|c|， 则b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＜，＜，＞． （2）∵|a|＝3.5，|b|＝1.3，c2＝25且a＜0＜b＜c， ∴a＝﹣3.5，b＝1.3，c＝5， 则原式＝﹣×（﹣3.5）﹣2×1.3+（﹣×5） ＝﹣﹣ ＝﹣﹣ ＝﹣． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握数轴、有理数的加减运算法则及绝对值性质、乘方的定义等知识点． 14．刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖，下面是她一周送出的20筐菜的重量记录表，每筐以25kg为标准重量． 筐数 2 5 3 4 2 4 与标准质量相比（kg） ﹣0.8 +0.6 ﹣0.5 +0.4 +0.5 ﹣0.3 求她一周送出20筐新鲜蔬菜的总质量． 【分析】这是一道正负数的混合运算题，要求这20筐新鲜蔬菜的总重量是多少千克，先求出每筐新鲜蔬菜的重量，然后相加即可． 【解答】解：2×（25﹣0.8）+5×（25+0.6）+3×（25﹣0.5）+4×（25+0.4）+2×（25+0.5）+4×（25﹣0.3） ＝48.4+128+73.5+101.6+51+98.8 ＝501.3（千克）． 【点评】题重点考查正数与负数的混合运算，运算时要注意运算符号． 15．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值． 解：令S＝1+2+22+23+24+…+22017① 将等式两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22017+22018② 将②减去①得：2S﹣S＝2+22+23+24+25+…+22017+22018﹣（1+2+22+23+24+…+22017） ＝2+22+23+24+25+…+22017+22018﹣1﹣2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣22017 ＝2﹣2+22﹣22+23﹣23+24﹣24+…+22017﹣22017+22018﹣1 ＝22018﹣1 即S＝22018﹣1 即1+2+22+23+24+…22017＝22018﹣1 请你仿照此法计算 （1）1+2+22+23+24+25； （2）1+5+52+53+54…+5n（其中n为正整数）； （3）1+a+a2+a3+a4…+an（其中a≠0，n为正整数）． 【分析】（1）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值； （3）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+25， 则2S＝2+22+23+24+25+26， ∴2S﹣S＝26﹣1， ∴S＝26﹣1， ∴1+2+22+23+24+25＝26﹣1； （2）设S＝1+5+52+53+54…+5n， 则5S＝5+52+53+54…+5n+5n+1， ∴4S＝5n+1﹣1， ∴S＝， 即1+5+52+53+54…+5n＝； （3）设S＝1+a+a2+a3+a4…+an， 则aS＝a+a2+a3+a4…+an+an+1， ∴（a﹣1）S＝an+1﹣1， ∴S＝， 即1+a+a2+a3+a4…+an＝． 【点评】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，发现题目中数字的变化规律． 16．已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数． （1）求a与b的值； （2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数． 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）∵|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数， ∴|a﹣3|+|2b﹣4|＝0， ∴a﹣3＝0，2b﹣4＝0， 解得a＝3，b＝2； （2）∵a＝3，b＝2， ∴|x|＝2a+4b＝2×3+4×2＝6+8＝14， ∴x＝±14， ∴x的相反数为﹣14或14． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 17．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题： （1）当a＝　4　 时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为 　0　 ． （2）当a取何值时，|a﹣1|+3有最小值？这个最小值是多少？ （3）当a取何值时，4﹣|a|有最大值？这个最大值是多少？ 【分析】根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得a﹣4＝0时，|a﹣4|有最小值，由此即可求解；要使|a﹣1|+3有最小值，则|a﹣1|要取最小，即a﹣1＝0，由此即可求解；要使4﹣|a|有最大值，则|a|取最小值，结合|a|≥0即可求解． 【解答】解：任何数的绝对值都大于等于0． （1）当a＝4时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为0． 故答案为：4，0． （2）当a＝1时，此时a﹣1＝0，则|a﹣1|+3有最小值，这个最小值是3； （3）当a＝0时，4﹣|a|有最大值，这个最大值是4． 【点评】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/7 15:49:22；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $