2026届浙江省温州市高考数学自编模拟卷(2)

2026届浙江省温州市高考数学自编模拟卷(2) （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：全国Ⅰ卷高考所有内容。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：方法一：直接法：因为，故，故选：． 方法二：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除、； 代入集合，可得，不满足，排除．故选：． 2.已知复数满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由，得，故选B． 3.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为，，所以， 所以在上的投影向量为：，所以，解得．故选：． 4.已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由，得，即，即， 又，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， ， 问题转化为求使不等式成立的的最大值， 又函数在上单调递增， 所以使不等式成立的的最大值为．故选：． 5.已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设球的半径为，可得，即， 圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为， 圆台的下底面半径为，圆台的母线长为，圆台的高，圆台的上底面半径为， 圆台的侧面积为．故选：． 6.从长度为，，，，的条线段中任取条，则这条线段能构成一个三角形的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：从长度为，，，，的条线段中任取条，共有种取法， 而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有，，和，，以及，，，共种， 故这三条线段能构成一个三角形的概率为． 7.已知实数，满足如下两个条件：关于的方程有两个异号的实根；，若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，． 又，，，则 当且仅当，时取“”， 由不等式恒成立，得，解得：， 实数的取值范围是．故选：． 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：根据对称性，不妨设点在第一象限，因为， 所以， 因为点在双曲线的右支上，所以，即， 因为点也在双曲线的右支上，所以，即， 因为双曲线的离心率，即，  在中，由余弦定理： ， 即， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 所以，因为，所以， 因为，所以， 所以   ．故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列等式中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  解：对于，，故A错误 对于，，故B正确 对于， ，故C正确 对于，两边展开式的的系数相等， ，故D正确．故选：． 10.若函数在上单调，则实数的值可以为(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  解：令，则图象的对称轴为直线， 要使函数在上单调， 则或或或，解得或，故选：． 11.在棱长为的正方体中，点是线段含端点上的一个动点，则下列结论正确的是(    ) A. B. 若点在正方形内含边界，且，则点的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点，使得异面直线与所成的角为 【答案】AB  【解析】解：对于，在正方体中，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 又平面，，同理，， 平面，，则平面， 平面，所以，选项A正确 对于，，则点在以点为球心，半径的球上， 又点在正方形内含边界，所以点在球与正方形的交线上， 即点在以点为圆心，半径的圆周上，点的轨迹长为，选项B正确 对于，，的面积为， 当点与重合时，点到平面的距离最大， 根据正方体性质可知此时距离为， 根据三棱锥体积公式可得 ，故选项C错误 对于，异面直线与所成的角， 即为直线与所成的角，即， ，，所以， 又，所以选项D错误．故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知各项都为正数的等比数列，若，则          ； 【答案】  解：各项都为正数的等比数列，，，解得， ．故答案为． 13.在中，，，，在边上，延长到，使得，若为常数，则的长度是          ． 【答案】  解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，， 由， 得， 整理得： ． 由，得，解得或． 当时，，此时与重合，； 当时，直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程可得即 ． 的长度是或．故答案为：或． 14.已知函数，点，在函数的图象上，且分别位于第一、三象限设线段的长度取最小值时点的横坐标为，则          ． 【答案】  【解析】解：的定义域为，关于原点对称， 又满足， 故是奇函数，图象关于原点对称， 时，，令， 则， 在第一象限为下凸函数，的图象如图所示， 记点关于原点的对称点为， 的中点， ，，都在第一象限，连交第一象限内的图象于点， ， 设，，， 设，， ， 令，有，，即， 由题意可知，当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故函数在处取得极小值，亦即最小值，故．故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，满足． Ⅰ求角的大小 Ⅱ若的面积，求的取值范围． 【答案】解：Ⅰ由正弦定理得，，，其中为的外接圆半径， 代入已知条件， 得， 由三角形内角和定理，， 故， 整理， 则， 因为锐角，，，即， 其中，， 故． 因为锐角，，故，唯一解为，得； Ⅱ由三角形面积公式得，解得． 由正弦定理且，故， ， 代入得：．由得：． ，故的取值范围为．  16.本小题分 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． 根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者． (ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】解：设这人的平均年龄为， 则岁． 因为，， 所以第百分位数在第四组，设第百分位数为， 则，解得． 由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为：，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点，所以． (ⅱ)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则，， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为． 据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为． 17.本小题分 已知双曲线与直线有唯一的公共点． Ⅰ若点在直线上，求直线的方程 Ⅱ过点且与直线垂直的直线分别交轴于，轴于两点是否存在定点，，使得在双曲线上运动时，动点使得为定值． 【答案】解：因为由消去得， 而双曲线与直线有唯一的公共点， 所以， 因此，且． Ⅰ因为点在直线上，所以， 因此由解得，满足，所以直线的方程为． Ⅱ因为，，且， 而双曲线与直线：有唯一的公共点， 所以由得点的横坐标为， 因此点的纵坐标为， 所以点的坐标为，而， 因此点的坐标为，且， 所以过点且与直线垂直的直线方程为． 因为过点且与直线垂直的直线分别交轴于、轴于两点， 所以，，因此点的坐标为． 设点的坐标为，因此由点的坐标为得，且，而， 所以，即， 因此点的轨迹方程为． 因为点的轨迹是中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线去掉两个顶点， 所以点的轨迹的焦点坐标为和， 因此若、的坐标分别为、或分别为、， 都有，为定值， 所以存在定点、，使得在双曲线上运动时，动点使得为定值．  18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且，，．   证明：平面． 证明：平面平面． 若二面角的余弦值为，求棱的长． 【答案】解：证明：四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面． 证明：平面，平面，； ，，，，； 平面，，平面， ，平面，平面，平面平面． 由知：平面，，则两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则， 令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：舍或，棱的长为． 19.本小题分 已知函数． 当时，求函数在区间上的最小值 讨论函数的极值点个数 当函数无极值点时，求证：． 【答案】解：当时，， 则， 令，则， 因为，所以则在上单调递减， 又因为，， 所以使得，在上单调递增，在上单调递减， 因此，在上的最小值是与两者中的最小者， 因为，， 所以函数在上的最小值为； ， 由，解得， 易知函数在上单调递增，且值域为， 令，由，解得， 设，则，因为当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 根据，时，，， 得的大致图像如图所示．因此有： 当时，方程无解，即无零点，没有极值点 当时，， 利用，得，此时没有极值点 当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点 当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点． 综上，当时，有一个极值点 当时，有两个极值点当时，没有极值点． 先证明当时，． 设，则， 记，则， 在上单调递减， 当时，，，则在上单调递减，， 即当时，不等式成立． 由知，当函数无极值点时，，则， 在不等式中，取，则有，即不等式成立． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届浙江省温州市高考数学自编模拟卷(2) （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：全国Ⅰ卷高考所有内容。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为(    ) A. B. C. D. 5.已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为(    ) A. B. C. D. 6.从长度为，，，，的条线段中任取条，则这条线段能构成一个三角形的概率是(    ) A. B. C. D. 7.已知实数，满足如下两个条件：关于的方程有两个异号的实根；，若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列等式中正确的是(    ) A. B. C. D. 10.若函数在上单调，则实数的值可以为(    ) A. B. C. D. 11.在棱长为的正方体中，点是线段含端点上的一个动点，则下列结论正确的是(    ) A. B. 若点在正方形内含边界，且，则点的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点，使得异面直线与所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知各项都为正数的等比数列，若，则          ； 13.在中，，，，在边上，延长到，使得，若为常数，则的长度是          ． 14.已知函数，点，在函数的图象上，且分别位于第一、三象限设线段的长度取最小值时点的横坐标为，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，满足． Ⅰ求角的大小 Ⅱ若的面积，求的取值范围． 16.本小题分 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． 根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者． (ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 17.本小题分 已知双曲线与直线有唯一的公共点． Ⅰ若点在直线上，求直线的方程 Ⅱ过点且与直线垂直的直线分别交轴于，轴于两点是否存在定点，，使得在双曲线上运动时，动点使得为定值． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且，，．   证明：平面． 证明：平面平面． 若二面角的余弦值为，求棱的长． 19.本小题分 已知函数． 当时，求函数在区间上的最小值 讨论函数的极值点个数 当函数无极值点时，求证：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $