第8章 实数单元试卷（寒假预习单元自测试卷）2025-2026学年人教版数学七年级下学期（培优卷）

2025-2026学年七年级数学下学期第8章单元自测试卷 （寒假衔接•培优卷） 人教版 考试范围：第8章实数；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）在数，，，，中，其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的立方根． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：是无理数， π是无理数， 是整数，是有理数， 是无限循环小数，是有理数， 是分数，是有理数， ∴无理数有2个：和π． 故选：B． 2．（本题3分）如图，数轴上点A表示的无理数可能是（   ） A．1.5 B． C． D．1.4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，用数轴上的点表示无理数，熟练掌握无理数的估算是关键．根据无理数的估算即可得出答案． 【详解】解：，， 且1.5和1.4都不是无理数， 数轴上点A表示的无理数可能是． 故选：B． 3．（本题3分）大于且小于的整数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算和的大小，再找出介于两者之间的整数． 【详解】解：∵，， ∴大于且小于的整数有、0、1， ∴ 共有3个． 故选：B． 4．（本题3分）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 5．（本题3分）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 6．（本题3分）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 7．（本题3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 8．（本题3分）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 9．（本题3分）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 10．（本题3分）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算的理解和计算、代数式求值、解方程、绝对值最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据新定义运算法则、代数式求值、解方程、绝对值最值逐项判断即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴成立，符合题意； ②化简方程：左边， 右边，则， 解得：，成立，符合题意； ③当时，，， 则可化为，表示数为 b的 点到表示数和3的点的距离之和，最小值为7，且当时取等号，符合题意； 综上三个说法都正确． 故选D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查立方根和算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算立方根和算术平方根，再求差 【详解】解： 故答案为：． 12．（本题3分）若m为正整数，且满足，的值是 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 13．（本题3分）已知正数的平方根为和，若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． 14．（本题3分）一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 15．（本题3分）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，由于有理数仅出现在被开方数为完全平方数的项，通过计算前2025个数中有理数的个数为45个，可得第2026个无理数对应的被开方数． 【详解】解：， 当（为正整数）时，为有理数， ，，，， 第个无理数是，第个无理数是． 故答案为：． 16．（本题3分）对于一个各位数字均不为零的四位自然数，若其满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称为“平衡数”．规定其前两位数字组成的两位数为，后两位数字组成的两位数，并定义．已知一个“平衡数”，且，则这个四位数为 ；两个“平衡数”．若是一个完全平方数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关键． 对于第一部分，由平衡数条件和列出方程，求解和得到；对于第二部分，由平衡数条件和为完全平方数推出，再求的最大值，通过枚举和的可能值，得到最大值为． 【详解】解：对于，由平衡数定义，， 即； 又， 所以， 代入，得， 即， 解得，，故． 对于和， 由平衡数定义，满足，即； 满足，即， 计算， 代入，得； ， 代入，得， 所以， 设其为完全平方数，则必须是的倍数，且范围在到之间， 故，即。， 代入，得， 可取、、，对应为、、， 且限制的最大值， 当，，，最大为， 此时， 其他情况均小于此值，故的最大值为． 故答案为：；． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的混合运算． （1）根据有理数的乘方，算术平方根，进行计算即可求解； （2）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18．（本题6分）已知的立方根是4，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是4， ， 的算术平方根是3， ， ， ，即， 的整数部分是4，又是的整数部分， ； （2）解：，，， ， 的平方根为． 19．（本题8分）求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 【答案】(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数） (2)①0.1435  ②1435 【分析】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解决此题的关键． （1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可； （2）①根据（1）总结的规律，计算即可； ②根据（1）总结的规律，计算即可； 【详解】（1）解：由表可知：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）； （2）解：①根据（1）总结规律，； ②根据（1）总结规律，， 故答案为：①0.1435  ②1435． 20．（本题8分）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 21．（本题10分）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 【答案】(1)方程的一个正根为 (2)见解析 【分析】此题考查了算术平方根和无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的应用是解题的关键． （1）根据题目中的方法进行解答即可； （2）求出，得到． 省略后，被开方数N的误差为．因为，所以，即．N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小，所以．即可得到结论． 【详解】（1）解：因为方程可化为， 所以方程的正根可表示为． ①估计1530的整数部分 估计1530为． 因为，所以估计为3． 将代入，估计即为630． 因为， 所以估计为9． ②估计1530的小数部分 将，，代入中， 所以估计为． 所以估计为． 所以方程的一个正根为． （2）因为N的算术平方根整数部分和小数部分分别为，， 所以．所以． 省略后，被开方数N的误差为． 因为，所以，即． N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小， 所以． 所以． 所以估计为是合理的． 22．（本题10分）综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方体包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，特殊角的三角函数， 根据题意得，由四边形是矩形，可得，则再求出， 进而求出，然后根据体积公式可得答案． 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． 23．（本题12分）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，数轴表示见解析；（2）规律为周期为（、、、循环），末位数字是；（3）或；或或；（4）；是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处；（5）；不存在，理由见解析 【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． a用点A、用点B、用点C表示． ． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 24．（本题12分）【阅读材料】 材料一：对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． 材料二：高斯7岁时学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：． 高斯使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令①， 则②， ①＋②得：， 即． 【解决问题】 (1)和5关于4的“友谊数”为______； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和 关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…，和关于100的“友谊数”为1； ①的最大值为_________，最小值为_________； ②的最小值为_________． 【答案】(1)6 (2) (3)3；3；5050. 【分析】（1）根据新定义直接计算即可； （2）根据关系列出方程，求解即可； （3）根据条件可知在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，可得当，均在上时，取最大值；当，均在上时，取最小值，依次推导即可求解. 【详解】（1）解： 故答案为：6； （2）由题可知：    即 （3）① ∵和 关于1的“友谊数”为1， ∴ ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴； ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； ∵和关于2的“友谊数”为1， ∴ ∴；   ∴当，均在上时，取最小值，且最小值为3； ②∵ ∴； 当，均在上时，取最小值，且最小值为； ∴； 当，均在上时，取最小值，且最小值为； 同理，最小值为； ，最小值为； ... ，最小值为； 原式为：. 故答案为：3；3；5050. 【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期第8章单元自测试卷 （寒假衔接•培优卷） 人教版 考试范围：第8章实数；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）在数，，，，中，其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题3分）如图，数轴上点A表示的无理数可能是（   ） A．1.5 B． C． D．1.4 3．（本题3分）大于且小于的整数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（本题3分）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 6．（本题3分）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 8．（本题3分）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 10．（本题3分）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）计算： ． 12．（本题3分）若m为正整数，且满足，的值是 13．（本题3分）已知正数的平方根为和，若，则的值为 14．（本题3分）一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 15．（本题3分）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 16．（本题3分）对于一个各位数字均不为零的四位自然数，若其满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称为“平衡数”．规定其前两位数字组成的两位数为，后两位数字组成的两位数，并定义．已知一个“平衡数”，且，则这个四位数为 ；两个“平衡数”．若是一个完全平方数，则的最大值为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算： (1)． (2)． 18．（本题6分）已知的立方根是4，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 19．（本题8分）求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 20．（本题8分）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 21．（本题10分）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 22．（本题10分）综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方体包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 23．（本题12分）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 24．（本题12分）【阅读材料】 材料一：对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． 材料二：高斯7岁时学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：． 高斯使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令①， 则②， ①＋②得：， 即． 【解决问题】 (1)和5关于4的“友谊数”为______； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和 关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…，和关于100的“友谊数”为1； ①的最大值为_________，最小值为_________； ②的最小值为_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $