专题 1.8 整式的乘法（专项练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.8 整式的乘法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 解： ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的定义是关键．根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． ∵长方形的面积=长×宽， ∴面积， ， ． 故选D． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法与不含某项的条件，关键是先展开多项式，再令目标项的系数为0，从而求解参数值． 解：先展开多项式：， 因为展开式中不含项，所以一次项的系数为，即： 解得：. 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则逐一进行计算，进行判断即可． 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 6．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 7．（25-26八年级上·山西·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的实际应用，熟练掌握长方形面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．先确定扩大后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式计算面积． 解：， 故选：B． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小．先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ， 即， 乙球员击出的球更转． 故选：B． 10．（25-26八年级上·江西南昌·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】B 【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，依题意得，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的余数，即可获得答案． 解：∵，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… ∴展开后系数分别为1，3，… ∴展开后系数分别为1，4，… ∴展开后系数分别为1，10，… ∵， 依题意，， ∵， ∴的余数为2，即的余数为2， ∴今天是星期三，则经过天后是星期五． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的法则进行计算即可． 解：， 故答案为． 12．（25-26八年级上·重庆江津·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将等式左边展开，与右边多项式对比系数，求出a和b的值，再计算它们的和． 解： ． 因为， 所以 所以，常数项． 故， 故答案为：． 13．（2025·河北廊坊·二模），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 解：， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知与的积与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘单项式，用到的知识点是单项式乘单项式和同类项的定义，单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．根据题意可得，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 解：∵与的积与是同类项， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 16．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， ． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程． 根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值． 解：展开并化简表达式： ∵表达式值恒为， ∴与无关， 则，, ∴ ∴ 解得： 因此，, 故答案为：． 17．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算等知识，根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形，分别求出新长方形长和宽，再计算面积即可． 根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形， 新长方形的长为， 新长方形的宽为， 则阴影部分的面积为 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． （1）解：原式； （2）解：原式． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，多项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减的运算法则，先计算，根据题意得到关于k的方程，解方程即可解答； （2）设原来的多项式为M，根据题意先计算出M，然后根据多项式乘单项式的法则计算即可解答． （1）解： ， ∵的值与x无关， ∴， 解得； （2）解：设原来的多项式为M， 依题意得，， ∴正确的计算结果为． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． （1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·广东佛山·期末）观察以下三角形数阵： 上面数阵中，第m行第n列的数表示为． (1)计算：________，________； (2)探究如何用含有m、n的式子表示； (3)探究第m行所有数字之和的规律； (4)结合上述过程及本学期所学，你对“用字母表示数”有什么认识？写一篇不少于100字的小短文． 【答案】(1)17；57 (2)； (3)；(4)见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探究． （1）先求得，再推导出，据此求解即可； （2）由（1）的结论可得； （3）根据前三行的所有数字之和，得到规律即可； （4）言之有理即可． （1）解：先看奇数总数到某一行末的个数： 第1行末是第1个奇数1； 第2行末是第个奇数（依次是 1，3，5）； 第3行末是第个奇数（1，3，5，7，9，11）； 第4行末是第个奇数（1，3，5，7，9，11，13，15，17，19）； 所以第m行的第一个数是整个奇数序列中的第个奇数． 即， ∴； ∴；； 故答案为：17；57； （2）解：由（1）得； （3）解：第1行：和为； 第2行：； 第3行：； ； ∴第m行所有数字之和为； （4）解：“用字母表示数”是代数的基本思想，把具体数字推广到一般情况．本次探究中，我通过观察三角形数阵中具体的几行数字，发现每行都是连续奇数，于是想找出第m行第n列的一般规律．我先从特殊到一般，用m表示每行的首项，发现首项公式．再利用每行相邻差2，推导出通项公式．接着用这个公式计算第m行和时，字母运算让我很快得到了简洁的结论：行和等于，无需逐行相加． 这让我体会到，字母表示数能将复杂数字规律抽象成简单公式，便于推理、验证和推广，从特殊中发现普遍规律，这正是代数的力量．本学期学习的代数式、公式推导，都是这一思想的体现，它让数学更具一般性和应用性． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 【答案】(1) (2) (3)甲同学所用长方形纸片的面积大． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，整式的混合运算． （1）求出长方体的底面的长、宽，进而根据底面积为列方程即可； （2）根据题意，得到长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，再根据长方形的面积公式进行计算即可； （3）设纸盒的长和宽分别为，得到纸盒的长和宽分别为，利用长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，分别求出两个长方形的面积，比较大小即可． （1）解：∵图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为， ∴图②中长方体的底面的长为、宽为， ∵图②中长方体盒子的底面积为， ∴ 故答案为：； （2）解：（）， 故答案为：； （3）解：设纸盒的长和宽分别为，则：纸盒的长和宽分别为， 则甲同学所用长方形纸片面积为：， 乙同学所用长方形的纸片面积为：， 甲同学所用长方形纸片面积-乙同学所用长方形的纸片面积为： ， ∵纸盒的长和宽分别为，长方形的长大于宽， ∴， ∴， 即， ∴甲同学所用长方形纸片的面积大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 整式的乘法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．2 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 7．（25-26八年级上·山西·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 9．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 10．（25-26八年级上·江西南昌·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 12．（25-26八年级上·重庆江津·期末）若，则 ． 13．（2025·河北廊坊·二模），则 ． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知与的积与是同类项，则的值为 ． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 16．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， ． 17．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为 ． 18．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·广东佛山·期末）观察以下三角形数阵： 上面数阵中，第m行第n列的数表示为． (1)计算：________，________； (2)探究如何用含有m、n的式子表示； (3)探究第m行所有数字之和的规律； (4)结合上述过程及本学期所学，你对“用字母表示数”有什么认识？写一篇不少于100字的小短文． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $