专题 1.2 整式的乘法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.2 整式的乘法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】单项式乘以单项式 1 ★【题型 1】单项式乘以单项式 1 ★★【题型 2】单项式乘以单项式与幂的乘除综合 3 【知识点二】单项式乘以多项式 5 ★【题型 3】单项式乘以多项式 5 ★★【题型 4】单项式乘以多项式与字母的值 7 ★【题型 5】单项式乘以多项式与几何面积 9 【知识点三】多项式乘以多项式 11 ★【题型 6】多项式乘以多项式 11 ★【题型 7】多项式乘以多项式不含某项问题 13 ★【题型 8】多项式乘以多项式与几何面积问题 15 二.综合培优题型精析 18 ★★【题型9】整式乘法中的不含某项问题 18 ★★【题型 10】整式乘法与几何面积问题 21 ★★【题型 11】整式乘法与规律探究问题 24 三.中考真题专练 27 （一）选择题（6题） 27 （二）填空题（4题） 30 （三）解答题（2题） 31 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】单项式乘以单项式 运算法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 ★【题型 1】单项式乘以单项式 【例题1】（北师大版七下第16页练习第1题改编）（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则与幂的运算法则是解题的关键． （1）先用同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式乘单项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先用积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （3）将变形为，再将看作一个整体，利用单项式乘单项式法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 解： 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的乘积即可． 解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴这两个单项式的积为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确， (2)不正确， (3)不正确， (4)不正确， 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式法则是解题关键， （1）-（4）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可； （1）解：不正确，应为：； （2）解：不正确，应为：； （3）解：不正确，应为：； （4）解：不正确，应为：． ★★【题型 2】单项式乘以单项式与幂的乘除综合 【例题2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式运算法则和混合运算顺序是解题的关键． （1）先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可求解； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘法，最后合并同类项即可求解． （1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式和合并同类项法则计算得出答案． 解： ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式；（3）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项． （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【知识点二】单项式乘以多项式 运算法则 单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 ★【题型 3】单项式乘以多项式 【例题3】（北师大版七下第16页练习第2题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，整式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）由单项式乘以多项式法则计算即可； （3）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算； （4）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算，最后再计算单项式乘以多项式． （1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，运用单项式乘以多项式运算法则计算出各选项后再进行判断即可． 解：A、，原选项计算错误，故不符合题意； B、，原选项计算错误，故不符合题意； C、，原选项计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，代数式求值，将化简，再将整体代入计算即可． 解： ， ∵， 则原式． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）解： （2）解： ★★【题型 4】单项式乘以多项式与字母的值 【例题4】（24-25七年级下·广东茂名·月考）【阅读】已知，求的值． 分析：由于满足的x，y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入． 解：当时，原式． 【应用】请你用上述方法，解决下列问题： 已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． （1） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （2）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可． （1）解：∵， ∴； （2）解： ∵， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题关键．根据单项式乘以多项式法则可得，代入计算即可得． 解：∵， ∴， 故答案为：10． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·月考）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． 【答案】小明说得对，理由见解析 【分析】本题考查了单项式乘多项式化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先合并同类项，再根据结果判断即可． 解：小明说得对，理由如下： ． 因为化简结果中不含有，， 所以结果跟，的值无关， 故小明说得对． ★【题型 5】单项式乘以多项式与几何面积 【例题5】（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知某长方形的长为，其中，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 【答案】周长为，面积为 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，单项式乘以多项式与图形面积．先求解长方形的宽，再求解长方形的周长与面积即可． 解：由题意可得： 这个长方形的宽为， 长方形的周长为， 长方形的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用，将图形分割成两部分，然后列式计算即可． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． （1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 【知识点三】多项式乘以多项式 （1） 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 ★【题型 6】多项式乘以多项式 【例题6】（北师大版七下第15页随堂练习第2题改编）（25-26八年级上·西藏昌都·期末）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可作答． （2）根据单项式乘多项式的运算法则展开，即可作答． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·天津河西·月考）若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）若，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和代数式求值，准确的计算是解决本题的关键． 此题考查多项式乘以多项式运算，先展开表达式，然后利用已知条件代入求值即可． 解：由题意得， ， 当，时， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，是解题的关键： （1）（2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （1）解：原式； （2）解原式． ★【题型 7】多项式乘以多项式不含某项问题 【例题7】（25-26八年级上·四川内江·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，结合展开式中不含，令项的系数为0，解答即可． 本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． （1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． ★【题型 8】多项式乘以多项式与几何面积问题 【例题8】（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，采用数形结合的思想是解题的关键； （1）利用整体观察和分割观察的方法分别求大长方形的面积，即可求解； （2）利用整体观察和分割观察的方法分别求大正方形的面积，即可求解． （1）解：根据利用不同方法求大长方形的面积可得， ， 故答案为：； （2）解：∵由整体观察大正方形的面积为：； 由分割观察大正方形的面积为：； ∴得到的等式为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式运算和图形面积的割补法，掌握阴影面积＝整体面积-空白面积是解题关键． 将整体面积和空白面积分别表示出来然后相减即可求解． 解：整体面积，空白部分面积， 阴影部分面积， A．，错误； B．，正确； C．，错误； D．，错误． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共 张． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 解： ， ∴要拼出一个长为，宽为 的大长方形需要这3种卡片共张， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图是一块长方形的小区公共活动场所，长为米，宽为米，中间的正方形是广场舞台，其边长为米，舞台两边的通道宽为米． (1)阴影部分是绿化部分，求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)若米，米，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米； (2)684平方米． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，解题的关键是弄清题意． （1）绿化面积长方形的面积正方形面积舞台两边的通道的面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可． （1）解：由图可知，阴影部分的面积大长方形的面积广场舞台的面积舞台两边的通道的面积， 绿化部分的面积为平方米； （2）解：当米，米时，（平方米）， 绿化部分的面积为684平方米． 二.综合培优题型精析 ★★【题型9】整式乘法中的不含某项问题 【例题9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． （1）原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； （2）原式 ， ． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）若整式展开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，代数求值，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 先展开两个多项式的乘积，根据不含二次项和常数项的条件列出方程，求解和的值，再计算． 解：， ∵乘积中不含的二次项，且常数项为， ∴且， 解得, ， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． ★★【题型 10】整式乘法与几何面积问题 【例题10】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）由图得，化简即可求解； （2）由图得，化简即可求解； （3）将，代入（2）中所求的面积，再求出费用，即可求解． （1）解：花园的面积为 （）； （2）解：由题意得 （）； 故铺设地砖的面积为； （3）解：当，时， （）， （元）， 故购买所需地砖需要元． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答的前提． 用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可． 解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为， 这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为， 所以有． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·期中）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，能用含a，b的代数式分别表示出图1和图2中阴影部分的面积是解题的关键．根据题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据两者相等即可解决问题． 解：由题知， 图1中阴影部分的面积为：． 图2中阴影部分的面积为：， 因为两个阴影的面积相等， 所以． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)20130元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式即可求解； （2）代入的值求出铺设塑胶跑道区域的面积，再乘以110元，即可得到答案． （1）解： ， 答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， ， （元）． 答：铺设塑胶跑道共需20130元． ★★【题型 11】整式乘法与规律探究问题 【例题11】（北师大版七下第17页练习第6题改编）（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）根据所给的四个等式归纳规律解答即可； （2）把，代入（1）中的等式求值即可； （3）根据（1）中得到的规律，在所求的代数式前添加，然后再计算即可． （1）解：由所给的四个等式，可归纳出：； 故答案为：； （2）解：当时，； 故答案为：； （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1   1  1   1  2  1   1  3  3  1   1  4  6  4  1   …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（　　） A． B． C．6 D．60 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性探究，根据杨辉三角的规律，的展开式系数为 1，6，15，20，15，6，1，含的项对应第二项，需考虑，的符号和幂次即可． 解：∵展开式中含项的系数为 6， ∴展开式中含的项为， ∴含项的系数是， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据给定的等式规律，，其中为多项式中最高次项的指数，直接应用此规律； （2）令，利用规律将求和部分化简，再计算表达式值． 解：（1）由规律可知，， 此处，故， 故答案为：； （2）根据规律，， 即， 故原式， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． （1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 解：， 故选：D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答． 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 3．（2024·吉林长春·中考真题）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B；根据积的乘方运算法则计算并判断C；根据幂的乘方运算法则计算并判断D． 解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 解： 故选：D． 5．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 6．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （二）填空题（4题） 7．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 8．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故选：． 9．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 解：， ， ， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 解：由题意得，； 故答案为 ． （三）解答题（2题） 11．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 解： ， 当时，原式． 12．（2025·广西·中考真题）（）计算：     （）化简： 【答案】（）；（） 【分析】（）先算乘法，再进行加法运算即可；（）先算乘法，再合并同类项即可； 本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键． 解：（）原式 ； （）原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 整式的乘法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】单项式乘以单项式 1 ★【题型 1】单项式乘以单项式 2 ★★【题型 2】单项式乘以单项式与幂的乘除综合 2 【知识点二】单项式乘以多项式 2 ★【题型 3】单项式乘以多项式 3 ★★【题型 4】单项式乘以多项式与字母的值 3 ★【题型 5】单项式乘以多项式与几何面积 4 【知识点三】多项式乘以多项式 5 ★【题型 6】多项式乘以多项式 5 ★【题型 7】多项式乘以多项式不含某项问题 5 ★【题型 8】多项式乘以多项式与几何面积问题 6 二.综合培优题型精析 7 ★★【题型9】整式乘法中的不含某项问题 7 ★★【题型 10】整式乘法与几何面积问题 7 ★★【题型 11】整式乘法与规律探究问题 9 三.中考真题专练 10 （一）选择题（6题） 10 （二）填空题（4题） 11 （三）解答题（2题） 12 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】单项式乘以单项式 运算法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 ★【题型 1】单项式乘以单项式 【例题1】（北师大版七下第16页练习第1题改编）（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． ★★【题型 2】单项式乘以单项式与幂的乘除综合 【例题2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）计算： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·开学考试）若，则 . 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【知识点二】单项式乘以多项式 运算法则 单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 ★【题型 3】单项式乘以多项式 【例题3】（北师大版七下第16页练习第2题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，那么的值是 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ★★【题型 4】单项式乘以多项式与字母的值 【例题4】（24-25七年级下·广东茂名·月考）【阅读】已知，求的值． 分析：由于满足的x，y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入． 解：当时，原式． 【应用】请你用上述方法，解决下列问题： 已知，求： (1)的值； (2)的值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·月考）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． ★【题型 5】单项式乘以多项式与几何面积 【例题5】（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知某长方形的长为，其中，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 【变式3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【知识点三】多项式乘以多项式 （1） 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 ★【题型 6】多项式乘以多项式 【例题6】（北师大版七下第15页随堂练习第2题改编）（25-26八年级上·西藏昌都·期末）计算． (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·天津河西·月考）若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【变式2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）若，，则的值等于 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1) (2) ★【题型 7】多项式乘以多项式不含某项问题 【例题7】（25-26八年级上·四川内江·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． ★【题型 8】多项式乘以多项式与几何面积问题 【例题8】（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共 张． 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图是一块长方形的小区公共活动场所，长为米，宽为米，中间的正方形是广场舞台，其边长为米，舞台两边的通道宽为米． (1)阴影部分是绿化部分，求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)若米，米，求绿化部分的面积． 二.综合培优题型精析 ★★【题型9】整式乘法中的不含某项问题 【例题9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）若整式展开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是（   ） A． B．1 C． D．0 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． ★★【题型 10】整式乘法与几何面积问题 【例题10】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·期中）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ ★★【题型 11】整式乘法与规律探究问题 【例题11】（北师大版七下第17页练习第6题改编）（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1   1  1   1  2  1   1  3  3  1   1  4  6  4  1   …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（　　） A． B． C．6 D．60 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·中考真题）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 5．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（4题） 7．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 8．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 9．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． （三）解答题（2题） 11．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 12．（2025·广西·中考真题）（）计算：     （）化简： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $