7.1 条件概率与全概率公式 巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.1 条件概率与全概率公式 1. 某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 2. （多选）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 3. 已知事件A与事件B相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 4. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 5. 已知是一个随机试验中的两个事件，若，则 . 6. 一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 7. 秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 8. (多选)甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球、乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以、和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件 9. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 10. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 11. 一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． (1)求第2次摸球时，摸到白球的概率； (2)求第n次摸球时，摸到红球的概率． 12. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.1 条件概率与全概率公式 1. 某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 2. （多选）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、条件概率性质的应用、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】利用互斥事件，相互独立事件同时发生乘法公式，条件概率公式来进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，若，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 3. 已知事件A与事件B相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件的概率公式，求得，独立事件的概率公式和条件概率的公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B相互独立，且，可得，且， 则. 故选：A. 4. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率 【分析】分别求解出，，然后根据条件概率计算即可； 【详解】解法一：记第i次摸到红球为事件，摸到黄球为事件，则，， 故． 故选：C． 解法二：记第i次摸到红球为事件，摸到黄球为事件． 由抽签的公平性可知，又， 所以． 故选；C． 5. 已知是一个随机试验中的两个事件，若，则 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】条件概率性质的应用、利用全概率公式求概率 【分析】由条件概率计算公式计算得，，求的值. 【详解】因为，所以，即， 同理，由得， 因为，所以， ，所以， 所以． 故答案为：3. 6. 一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件选取的两球有一个球的编号为，事件选取的两个球中另一个球的编号也为， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：C. 7. 秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感， 则，，， ，，， 从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为 ， 故选：A. 8. (多选)甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球、乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以、和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算条件概率、独立事件的判断、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式、条件概率公式、互斥事件的定义、独立事件的定义，结合古典概型运算公式逐一判断即可. 【详解】A：乙口袋取出的球是红球的事件有两种情况： 一种情况从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋的不是红球， 另一种情况从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋的是红球， 所以，因此本选项说法正确； B：，因此本选项说法正确； C：因为，， 所以，所以事件与事件不相互独立，因此本选项说法不正确； D：因为，，是两两事件不能同时发生， 所以，，是两两互斥的事件，因此本选项说法正确. 故选：ABD 9. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 10. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 11. 一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． (1)求第2次摸球时，摸到白球的概率； (2)求第n次摸球时，摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】有放回与无放回问题的概率、条件概率性质的应用、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据题意，结合分类与分步计数原理，即可求解. （2）设第次摸球时摸到红球为事件，则；当时，.设第次摸球时红球的数量为，则、，进而，即可求解. 【详解】（1）根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率； 若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率. 综上，第二次摸出白球的概率. （2）设第次摸球时，摸到红球为事件，则. 当时，， 第1次摸球时袋子中有5个球，之后每次摸球时袋子中都会比上次增加1个球， 所以第次摸球时袋子中有个球. 设第次摸球时红球的数量为，则，得， 所以. 同理可得， 所以， 所以. 综上，第次摸球时，摸到红球的概率为. 12. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】计算条件概率、递推法求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可； （2）利用贝叶斯公式计算求解即可； （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，对所有均成立，从而选择篮球的概率为，进而由全概率公式可得，，计算可求得. 【详解】（1）设第1天选择羽毛球，乒乓球和篮球的事件分别为， 第二天选择羽毛球的事件为， 由题意，， ， 根据全概率公式得 ； （2）根据贝叶斯公式，所求概率为：； （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由题意无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为， 故对所有均成立，从而选择篮球的概率为， 根据全概率公式，的递推关系为， 代入，，化简得，， 所以， 所以是以为首项，公比的等比数列， 所以，所以. 所以甲第天选择羽毛球的概率为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $