7.1 条件概率与全概率公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.1 条件概率与全概率公式 目录 知识点一：条件概率 2 知识点二：全概率公式 3 知识点三：贝叶斯公式 3 题型1：求条件概率 4 题型2：相互独立事件的判断 6 题型3：全概率公式及其应用 9 题型4：贝叶斯公式及其应用 14 知识点一：条件概率 1. 条件概率的概念 一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 推导 根据古典概型知识可知，. 2. 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 3. 条件概率的性质 (1) 条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即. (2) 若事件与互斥，即不可能同时发生，则. (3) 如果与互斥，则. 推导 . 4. 相互独立事件与条件概率的关系 直观上看，当事件与相互独立时，事件发生与否不影响事件发生的概率这等价于成立. 事实上，若事件与相互独立，即，且，则；反之，若，且，则，即事件与相互独立. 因此，当时，当且仅当事件与相互独立时，有. 知识点二：全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，此公式为全概率公式. 解析 全概率公式的直观意义:某事件的发生有各种可能的原因(),并且这些原因两两互斥不能同时发生,如果事件是由原因所引起的,且事件发生时,必同时发生,则与有关,且等于其总和. 知识点三：贝叶斯公式 (1) 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意事件，，有 (2) 全概率公式和贝叶斯公式的区别 ①从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率. ②从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率.贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计. ③从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率)，而贝叶斯可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率). 题型1：求条件概率 方法提炼 求条件概率的常用方法 (1) 利用定义，分别求和，得. (2) 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，即，得. 【例1.1.】 某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率知识即可求解. 【详解】用A表示事件“代表队既有男生又有女生”， B表示事件“女生甲被选中”， 则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为. 所以， 故选：B. 【例1.2.】 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率知识可解． 【详解】设事件“甲命中目标”，“至少命中一次”， 则，， 则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为 故选：C 【例1.3.】 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件，某人爱好滑雪为事件，由古典概型公式求出和，进而由条件概率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件，选出的同学爱好滑雪为事件， 由于中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，则, 而同时爱好两个项目的占，即， 则该同学爱好滑雪也爱好滑冰的概率为． 故选：A． 【例1.4.】 袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式分别求出第二次摸到的是红球的概率，再求得第一次、第二次都摸到红球的概率即可得出结果. 【详解】记为第次摸到的是红球， 则， 又， ， 所以， 故选：A. 题型2：相互独立事件的判断 方法提炼 判断事件是否相互独立的方法 (1) 定义法:事件相互独立. (2) 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (3) 条件概率法:时,可用判断. 【例2.1.】 若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】结合独立事件的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，，则， 而，， 所以，所以事件相互独立， 反过来，当，， 此时，，满足， 事件相互独立，所以不一定， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 【例2.2.】 （多选）假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件“家庭中没有女孩”，“家庭中最多有一个女孩”，“家庭中至少有两个女孩”，“家庭中既有男孩又有女孩”，则（    ） A．A与C互斥 B． C．B与C对立 D．B与D相互独立 【答案】ABCD 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，C；利用事件包含关系可判断选项B；利用列举法求出并探求它们的关系即可判断作答. 【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：（按老大老二老三排列） Ω={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，共计8种情况， 事件A={（男，男，男）}，1种情况 事件B={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}，4种情况， 事件C={（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，4种情况 事件D={男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）}6种情况 对于A：显然A与C无公共元素，即A与C互斥，A正确； 对于B：显然事件A={（男，男，男）}包含于事件B={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}中，B正确； 对于C：显然，且，即B与C对立，C正确； 对于D：事件B有4个样本点，事件D有6个样本点，事件BD有3个样本点， 于是有：，，，显然有，满足B与D相互独立的概率公式，D正确. 故选：ABCD 【例2.3.】 已知事件，满足，，则不能说明事件，相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算条件概率 【分析】举反例判断A，利用条件概率公式及相互独立事件的定义判断BCD. 【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子，事件A为向上的点数不超过4，事件B为向上的点数为4或5，即，，，满足，但，，所以事件不相互独立，故A错误； 对于B，因为，所以，所以事件相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以，所以事件相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，所以事件相互独立，故D正确； 故选：A 【例2.4.】 （多选）已知随机事件，满足，，，则（   ） A．与相互独立 B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的判断 【分析】根据对立事件计算可得，结合等式可得出，可判断A正确，再由对立事件计算可得B错误，利用条件概率公式以及积事件定义计算可得C正确，D错误. 【详解】由题意知，又， 可得， 即，解得， 满足，所以与相互独立，A正确. 易知,B错误. 又因为,C正确. 根据可得 所以，D错误， 故选：AC. 题型3：全概率公式及其应用 方法提炼 利用全概率公式的思路 ①按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件()； ②求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率； ③代入全概率公式计算. 【例3.1.】 已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为 ． 【答案】0.145/ 【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解. 【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为，显然，且两两互斥， 记任选一人去桂林旅游的事件为，则， , 由全概率公式得. 故答案为：0.145 【例3.2.】 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 【例3.3.】 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案. 【详解】由题意，，， 则； ，， 则； 故答案为：. 【例3.4.】 有三个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球，3号罐子中装有2个红球、2个黑球．现从中随机取一个罐子，再在该罐子中随机取出一个球，则取得的球是红球的概率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】记球取自i号罐，取得红球，则，且，，两两互斥，由条件概率公式计算出，，的概率可得结论. 【详解】解：记球取自i号罐， 取得红球， 即，且，，两两互斥， ，，， 所以 故答案为： 【例3.5.】 已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，，然后根据题意求出，,的值，再根据全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，, 则由题意知，，, , 所以 故选：C 【例3.6.】 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C. 【例3.7.】 若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、由递推关系证明等比数列、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可. 【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”， 设，则， 由题意知，， 则由全概率公式可得，， 则， 即，两边同减去可得，， 又已知， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 故当时，. 故答案为：. 题型4：贝叶斯公式及其应用 方法提炼 1. 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用； 第三步：代入求解. 2. 贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即. 【例4.1.】 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件， 则，，，，，， 任取一个零件是次品的概率为 如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 . 故答案为：. 【例4.2.】 某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用条件概率和全概率公式即可. 【详解】设考生会答该题为事件A，不会答为事件B，该考生回答正确为事件C； 则：,, 故答案为： 【例4.3.】 已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案. 【详解】解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”. 由题意，知，，. 由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为 . 故答案为：. 【例4.4.】 李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，. (1)求李教授迟到的概率； (2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设“这位教授迟到”；“乘飞机”；“乘动车”；“自己开车”，根据全概率公式，即可求得答案； （2）由题意可知所求概率为，根据贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】（1）设“李教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“自己开车”； 则，， 由全概率公式得：. （2）由题意可知所求概率为， 由贝叶斯公式得：. 【例4.5.】 已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为，零件的优质品率分别为0.9和0.8. (1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率； (2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）设事件:“零件由甲厂提供”，事件:“零件由乙厂提供”，事件为“零件为非优质品”，根据题意，求得，，结合全概率公式，即可求解； （2）解：设事件为“非优质品零件可修复为优质品零件”， 方法一，根据题意，求得，，进而得到结合条件概率的计算公式，即可求解； 方法二 ，根据题意，求得，，利用贝叶斯公式，得到和，再利用全概率公式，即可求解. 【详解】（1）解：设事件:“零件由甲厂提供”，事件:“零件由乙厂提供”，事件为“零件为非优质品”, 根据题意，可得，， ， 故， ， 由全概率公式，得， 所以从甲、乙两家提供的零件中任取一件，该零件为非优质品的概率为0.14. （2）解：设事件为“非优质品零件可修复为优质品零件”， 方法一  由已知，得，， 故， ， 所以， 所以. 所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为. 方法二  由已知，得，， 由贝叶斯公式，得， 同理，， 故， 所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为. 【例4.6.】 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； (2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； (3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可； （2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率； （3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率. 【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”， 事件“甲队第局获胜”，其中相互独立. 又甲队明星队员前四局不出场，故， ，所以. （2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛， 由全概率公式知，， 因为每名队员上场顺序随机，故， ， 所以. （3）由（2），. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.1 条件概率与全概率公式 目录 知识点一：条件概率 2 知识点二：全概率公式 3 知识点三：贝叶斯公式 3 题型1：求条件概率 4 题型2：相互独立事件的判断 4 题型3：全概率公式及其应用 5 题型4：贝叶斯公式及其应用 6 知识点一：条件概率 1. 条件概率的概念 一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 推导 根据古典概型知识可知，. 2. 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 3. 条件概率的性质 (1) 条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即. (2) 若事件与互斥，即不可能同时发生，则. (3) 如果与互斥，则. 推导 . 4. 相互独立事件与条件概率的关系 直观上看，当事件与相互独立时，事件发生与否不影响事件发生的概率这等价于成立. 事实上，若事件与相互独立，即，且，则；反之，若，且，则，即事件与相互独立. 因此，当时，当且仅当事件与相互独立时，有. 知识点二：全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，此公式为全概率公式. 解析 全概率公式的直观意义:某事件的发生有各种可能的原因(),并且这些原因两两互斥不能同时发生,如果事件是由原因所引起的,且事件发生时,必同时发生,则与有关,且等于其总和. 知识点三：贝叶斯公式 (1) 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意事件，，有 (2) 全概率公式和贝叶斯公式的区别 ①从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率. ②从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率.贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计. ③从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率)，而贝叶斯可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率). 题型1：求条件概率 方法提炼 求条件概率的常用方法 (1) 利用定义，分别求和，得. (2) 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，即，得. 【例1.1.】 某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【例1.4.】 袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 题型2：相互独立事件的判断 方法提炼 判断事件是否相互独立的方法 (1) 定义法:事件相互独立. (2) 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (3) 条件概率法:时,可用判断. 【例2.1.】 若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2.2.】 （多选）假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件“家庭中没有女孩”，“家庭中最多有一个女孩”，“家庭中至少有两个女孩”，“家庭中既有男孩又有女孩”，则（    ） A．A与C互斥 B． C．B与C对立 D．B与D相互独立 【例2.3.】 已知事件，满足，，则不能说明事件，相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）已知随机事件，满足，，，则（   ） A．与相互独立 B． C． D． 题型3：全概率公式及其应用 方法提炼 利用全概率公式的思路 ①按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件()； ②求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率； ③代入全概率公式计算. 【例3.1.】 已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为 ． 【例3.2.】 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 【例3.3.】 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 . 【例3.4.】 有三个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球，3号罐子中装有2个红球、2个黑球．现从中随机取一个罐子，再在该罐子中随机取出一个球，则取得的球是红球的概率为 . 【例3.5.】 已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 . 题型4：贝叶斯公式及其应用 方法提炼 1. 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用； 第三步：代入求解. 2. 贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即. 【例4.1.】 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 ． 【例4.2.】 某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是 . 【例4.3.】 已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是 ． 【例4.4.】 李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，. (1)求李教授迟到的概率； (2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率. 【例4.5.】 已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为，零件的优质品率分别为0.9和0.8. (1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率； (2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率. 【例4.6.】 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； (2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； (3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $