6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量数量积的坐标表示这一核心知识点，从向量坐标出发，通过探究推导数量积坐标公式，进而延伸至向量模的计算、夹角求解及垂直关系判断，构建从基础公式到应用的完整知识支架。 该资料以“探究-例题-变式-巩固”为主线，通过思考引导学生自主推导公式培养数学思维，结合平行四边形、三角形高坐标求解等实例提升数学语言表达能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过跟踪训练查漏补缺，强化知识应用。

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1.会用坐标表示平面向量的数量积. 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角. 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系. 新知学习 探究 新课导学 通过前面的学习，我们知道，已知，，我们可以求出，以及的坐标. 思考 如何用，的坐标表示？ 提示：. 一 平面向量数量积的坐标表示 条件 向量， 坐标表示 ①______________________ 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的②__________ 【答案】； 乘积的和 例1 （对接教材例11） （1） 已知，，则（ ） A. 10 B. C. 3 D. （2） 已知，，，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】（1） B （2） C 【解析】 （1） ，，所以. （2） 由题意可得，，又，，所以，解得. 向量数量积运算的途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. ［跟踪训练1］． （1） 已知向量，，，则（ ） A. B. 0 C. D. （2） 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】（1） C （2） A 【解析】 （1） 选C.依题意可知，，所以. （2） 选A.由，得. 二 平面向量的模 条件 结论 ①__________________ 表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为， ②________________________________________ 【答案】； 例2 （1） 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （2） 已知，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） C 【解析】 （1） 由题知向量，，所以，所以，故选D. （2） 因为，所以，因为向量，均为单位向量，所以，所以，所以 . 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. （2）坐标表示下的运算：若,则,于是有. ［跟踪训练2］． （1） 已知，，是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上均不正确 （2） 已知向量，，且，则______. 【答案】（1） C （2） 5 【解析】 （1） 选C.依题意，，.又，所以，且，因此 为等腰直角三角形. （2） 因为，则，且.所以，则，故. 三 平面向量的夹角与垂直 例3 （1） 已知向量,,且与的夹角为，则实数____________. （2） 已知在中，，，，为边上的高，则点的坐标为____________，______. 【答案】（1） 或3 （2） ； 【解析】 （1） 由题意可知，即，整理得，解得 或. （2） 设点 的坐标为,则,，.因为点 在直线 上，即 与 共线，所以存在实数 ,使，即,所以 所以,即.①又因为，所以，即,所以,即.②由①②可得 即点 的坐标为，，所以.综上，，. 【变式探究】 （综合变式）将本例（1）的“夹角为”改为“夹角为锐角”，求实数的取值范围. 解：当 与 正向共线时，，解得，此时，方向相同，夹角为 ,所以要使 与 的夹角为锐角，则有 且，不同向.由 得，由，不同向得，所以实数 的取值范围是，，. 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. （2）利用计算出这两个向量的模. （3）设两个向量的夹角为 ，由公式直接求出 的值. （4）在内，由 的值求角 . ［跟踪训练3］． （1） [2024·全国甲卷]设向量,，则（ ） A. 是的必要条件 B. 是的必要条件 C. 是的充分条件 D. 是的充分条件 （2） 已知向量，,若，则与夹角的余弦值为________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选 或，所以 是 的充分条件，是 的充分条件，故A错误，C正确，故B，D错误． （2） 由题意得，因为，所以，解得，则.设 与 的夹角为 ，所以. 课堂巩固 自测 1．（教材P36练习T2改编）已知，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】选. 2．已知，，则（ ） A. 23 B. 57 C. 63 D. 83 【答案】D 【解析】选D..故选D. 3．（教材P36练习T3改编）已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选，，因为， ，所以, ，故选C. 4．已知，，则，两点间的距离是________. 【答案】 【解析】方法一：由两点间距离公式可得. 方法二：， . 5．已知向量，,若，则______. 【答案】7 【解析】已知向量，, 所以. 由，得，所以. 1.已学习：平面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角（垂直）问题. 2.须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.应注意：（1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； （2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况. 学科网（北京）股份有限公司 $