6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

学习目标

1.会用坐标表示平面向量的数量积. 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.

3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.

新知学习 探究

新课导学

通过前面的学习，我们知道，已知，，我们可以求出，以及的坐标.

思考 如何用，的坐标表示？

提示：.

一 平面向量数量积的坐标表示

【答案】； 乘积的和

例1 （对接教材例11）

（1） 已知，，则（  ）

A. 10 B.  C. 3 D.

（2） 已知，，，若，则（  ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】（1） B

（2） C

【解析】

（1） ，，所以.

（2） 由题意可得，，又，，所以

，解得.

向量数量积运算的途径

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算.

［跟踪训练1］．

（1） 已知向量，，，则（  ）

A.  B. 0 C.  D.

（2） 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（  ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】（1） C

（2） A

【解析】

（1） 选C.依题意可知，，所以.

（2） 选A.由，得.

二 平面向量的模

【答案】；

例2

（1） 已知向量，，则（  ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

（2） 已知，均为单位向量，且，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】（1） D

（2） C

【解析】

（1） 由题知向量，，所以，所以，故选D.

（2） 因为，所以，因为向量，均为单位向量，所以，所以，所以 .

求向量的模的两种基本策略

（1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.

（2）坐标表示下的运算：若,则,于是有.

［跟踪训练2］．

（1） 已知，，是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为（  ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形 D. 以上均不正确

（2） 已知向量，，且，则______.

【答案】（1） C

（2） 5

【解析】

（1） 选C.依题意，，