6.2.2 向量的减法运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦向量的减法运算核心知识点，基于向量加法运算，通过类比数的减法引入相反向量定义，明确向量减法的几何意义（起点相同的两向量，差向量由减向量终点指向被减向量终点），构建“减法转加法”的运算转化支架，涵盖加减混合运算及综合应用。 资料以“思考问题”引导学生用数学眼光类比数的运算，结合三角形、梯形等几何图形例题培养几何直观与空间观念（数学思维），通过规范定义表述和解题步骤提升数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后自测题帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

6.2.2 向量的减法运算 学习目标 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义. 2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算. 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算. 新知学习 探究 新课导学 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”.类比数的减法，可以定义向量的减法. 思考1．向量的减法与加法有什么关系？ 思考2．怎样定义一个向量的相反向量？ 【答案】思考1 提示：向量的减法是向量加法的逆运算. 思考2 提示：一个向量和其相反向量长度相等，方向相反. 一 向量的减法运算 1．相反向量 定义 与向量长度①____，方向②____的向量，叫做的相反向量，记作③________ 规定 零向量的相反向量仍是零向量 结论 和互为相反向量，于是④______ ⑤________ 如果，互为相反向量，那么，,⑥______ 【答案】相等； 相反； ； ； ； 2．向量的减法 定义 求两个向量⑦__的运算，，即减去一个向量相当于加上这个向量的⑧__________ 作法 已知向量,,在平面内任取一点，作，,则.如图所示 几何意义 如果把两个向量，的起点放在一起，则可以表示为从向量的⑨____指向向量的⑩____的向量 【答案】差； 相反向量； 终点； 终点 例1 （1） 在中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. C. D. （2） 如图，已知向量,,不共线，求作向量. 【答案】（1） D （2） 【解】方法一：如图1，在平面内任取一点，作，，则,再作,则. 方法二：如图2,在平面内任取一点，作,，则,再作,连接，则. 【解析】 （1） 选D.如图，因为D，，分别是，，的中点，所以，，因此. 求作向量的差向量的方法 （1）作两向量的差向量的步骤： （2）求作两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算,如,可以先作,然后用加法即可. ［跟踪训练1］． （1） [2024·四川成都期中] （ ） A. B. C. D. （2） 如图，已知向量,,，求作向量. 【答案】（1） A （2） 解：如图所示，以 为起点分别作向量 和，使，，连接，得向量;再以 为起点作向量，使，连接，得向量，则向量 即为所求作的向量. 【解析】 （1） 选A.根据平面向量的减法运算可得，. 二 向量加减法的混合运算 例2 （1） （ ） A. B. C. D. （2） ________； （3） 如图所示，在梯形中，，与交于点，则________. 【答案】（1） D （2） （3） 【解析】 （1） .故选D. （2） . （3） . （1）向量减法运算的常用方法 （2）利用三角形法则进行向量加、减法化简的两种形式 ①首尾相接且为和； ②起点相同且为差. ［跟踪训练2］．[2024·湖南长沙月考]（多选）下列四个式子中能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.（或），故A符合；，故B符合；,故C符合；，故D不符合.故选. 三 向量加减法的综合应用 例3 （1） 如图，设为四边形的对角线与的交点，若，，，则____________.（用，，表示） （2） 设点是线段的中点，点在直线外，且，,则______. 【答案】（1） （2） 2 【解析】 （1） 依题意，在 中，；在 中，，所以. （2） 以，为邻边作平行四边形（图略），由向量加减法的几何意义可知，，因为,所以,所以平行四边形 为矩形.又,是线段 的中点，所以. （1）表示向量的方法：首先要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道，然后利用向量的加减法及运算律表示向量. （2）向量加减法的几何意义：利用平面几何知识，得出的关系，灵活使用绝对值三角不等式. ［跟踪训练3］． （1） 在四边形中，设,,,则（ ） A. B. C. D. （2） 若向量与满足，,则的最小值为______，的最大值为__. 【答案】（1） A （2） 7；17 【解析】 （1） 选A..故选A. （2） 由向量形式的三角不等式 可知，当这两个向量方向相反时，取得最小值7，取得最大值17. 课堂巩固 自测 1．[2024·四川成都期中] （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.. 2．已知是四边形所在平面上任一点，且，则四边形一定为（ ） A. 菱形 B. 任意四边形 C. 平行四边形 D. 矩形 【答案】C 【解析】选C.由 得，即，所以，所以四边形 为平行四边形.故选C. 3．（多选）（教材P22T4改编）下列式子可以化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.,,故A,D选项正确，B，C选项不正确.故选. 4．（教材 改编）已知向量，满足,,且,不是方向相反的向量，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由已知必有,则所求的取值范围是. 5．在四边形中，若，且，则的面积为________. 【答案】 【解析】在四边形 中，，即，即，所以四边形 为平行四边形，又，所以四边形 是边长为4的菱形，且 为正三角形，易知. 1.已学习：向量的减法运算及几何意义. 2.须贯通：向量的减法运算通过相反向量可以转化为向量的加法运算，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想. 3.应注意：（1）向量共起点时才可以进行向量的减法运算； （2）差向量连接两向量的终点，方向指向被减向量的终点. 学科网（北京）股份有限公司 $