北京市趋势卷（2-1）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年北京市中考数学趋势卷（2-1） 一．选择题（共8小题） 1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．﹣ab＜0 B．|b|＞2 C．a﹣b＜0 D．﹣b＞1 3．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（　　） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 4．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2+1＝0 6．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号飞行乘组三位航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到421.1万，421.1万用科学记数法可以表示为（　　） A．0.4211×107 B．4.211×106 C．421.1×104 D．4211×103 7．如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．97° B．98° C．99° D．100° 8．如图，点A、B在反比例函数图象上，连接AB并延长与反比例函数相交于点C，连接OA与反比例函数交于点D，若AB＝2BC，则△ABD面积为（　　） A．2 B． C．3 D． 二．填空题（共8小题） 9．若式子有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 10．把多项式2a2﹣72分解因式的结果是　 　 ． 11．当x＝ 　 　 时，分式与的值互为相反数． 12．某工厂从一批保温杯中随机抽取1000个进行质量检测，结果有30个保温杯质量不合格，那么可以估计这批保温杯的合格率约为 　 　 ． 13．命题“如果a＞2，那么a2＞4”是　 　 命题．（填“真”或“假”） 14．如图是地球平面图，其中AB、CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光线MD直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线MD与地面水平线EF垂直，若已知南回归线与地面水平线的夹角∠EDN为66°，则太阳光线与赤道夹角的度数为　 　 ． 15．如图，正方形ABCD中，AB＝30，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是　 　 （填所有正确答案的序号）． 16．某公司决定投资开发新项目，确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表： 所需资金/亿元 1 2 4 6 7 8 预计年利润/千万元 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1 （1）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有 　 　 ； （2）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要 　 　 资金； （3）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有 　 　 种投资方案，其中投资方案：　 　 预计年利润最大，最大年利润是 　 　 （要求资金全部进行投资）． 三．解答题（共12小题） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G． （1）求证：四边形EFGO是矩形． （2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，且，求△AEO的面积． 21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（﹣1，﹣2）． （1）求该函数的解析式； （2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，一次函数y＝﹣x+n的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 22．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春•逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施：任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案 　 　 ． 任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，AD所在的直线是该图形的对称轴，BD＝30cm，则竹条BC的长为 　 　 cm． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识 　 　 ． 23．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 m 12.5 中位数 12.5 n 12.8 12.45 方差 p 0.024 0.034 0.056 （1）表中p　 　 0.024（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）求表中m和n的值； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为　 　 ． 24．如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线，切点为点B，BC为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且BD＝BA，连接CD，AD，线段AD交直径BC于点E，交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：CD＝CE； （2）若，，求⊙O的半径长． 25．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？请说明理由； （2）结合图象回答； ①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②秋千摆动第二个来回需多少时间？ 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在L1上，到x轴的距离为．判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由． （3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半． ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值． 27．【性质推理】试证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°；∠A＝30°． 求证：． 提示：在BA上截取BD＝BC，连结CD，得到△BCD，… 根据“提示”中的思路，在图①中画出相应的点和线，并完成证明． 【性质应用】 已知：如图②，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，． 图形变换：将△ABC折叠，使点C落在斜边上的点C'处，折痕为BD． 根据“图形变换”的叙述，在图②中画出相应的点和线，并求出折痕BD的长． 28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α关联点”． （1）如图，点A（0，2），B（2，0）． ①在点C1（4，0），C2（2，4），C3（1，3）中，点　 　 是弦AB的“α关联点”； ②若点D是弦AB的“90°关联点”，则点D的横坐标xD的取值范围为　 　 ； （2）已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°关联点”．记点P的横坐标为t，求t的取值范围． （提示：先画出任意一条弦的“60°关联点”轨迹，然后再画出所有符合条件的“60°关联点”的轨迹．要求画图，写出关键解题步骤．） 【一轮复习】2026年北京市中考数学趋势卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A C B C B 一．选择题（共8小题） 1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．﹣ab＜0 B．|b|＞2 C．a﹣b＜0 D．﹣b＞1 【答案】D 【解答】解：观察数轴可知：b＜﹣1＜0＜2＜a，|a|＞|b|， ∴﹣ab＞0，|b|＜2，a﹣b＞0，﹣b＞1， ∴A，B，C选项的结论错误，D选项的结论正确， 故选：D． 3．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（　　） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 【答案】B 【解答】解：由角的定义可知，角的大小与角两边的长短无关，只与角的两边张开的程度有关，因此用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是每一个内角的度数， 故选：B． 4．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意知，共有8种等可能的结果，其中买中“藕粉哪吒”的结果有1种， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为． 故选：A． 5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2+1＝0 【答案】C 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴选项A中方程有两个相等的实数根； ∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴选项B中方程没有实数根； ∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴选项C中方程有两个不相等的实数根； ∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴选项D中方程没有实数根． 故选：C． 6．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号飞行乘组三位航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到421.1万，421.1万用科学记数法可以表示为（　　） A．0.4211×107 B．4.211×106 C．421.1×104 D．4211×103 【答案】B 【解答】解：421.1万＝4211000＝4.211×106． 故选：B． 7．如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．97° B．98° C．99° D．100° 【答案】C 【解答】解：连接AB，BC， 由作图过程可知，OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形， ∴51°，，∠ACB＝60°， ∴∠ACO＝30°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝99°． 故选：C． 8．如图，点A、B在反比例函数图象上，连接AB并延长与反比例函数相交于点C，连接OA与反比例函数交于点D，若AB＝2BC，则△ABD面积为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：设点A的坐标是，点B的坐标是，0＜m＜n，作AF∥y轴，且CF⊥AF，作BE⊥AF于点E，则BE∥CF， ∴△AEB∽△AFC， ∴， 又∵，BE＝n﹣m， ∴，， ∴，]，即， 又∵点C在反比例函数图象上， ∴， 整理可得：m2﹣3mn+n2＝0， ∴Δ＝9n2﹣4n2＝5n2＞0， ∴， 又∵0＜m＜n， ∴， 设直线AB的解析式是y＝k1x+b1， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式是， 令y＝0，则x＝m+n， ∴直线AB与x轴点的交点N（m+n，0）， ∴S△AOC＝S△AON﹣S△OCN ， 作DP⊥x轴于点P，AQ⊥x轴于Q， ∴，S△OAQ＝2，DP∥AQ， ∴△ODP∽△OAQ， ∴， ∴AO＝2OD， 连接CD， ∴S△OAC＝2S△ADC， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．若式子有意义，则x的取值范围是 　0＜x≤1　 ． 【答案】0＜x≤1． 【解答】解：∵式子有意义， ∴， ∴或， 解得0＜x≤1． 故答案为：0＜x≤1． 10．把多项式2a2﹣72分解因式的结果是　2（a+6）（a﹣6）　 ． 【答案】2（a+6）（a﹣6）． 【解答】解：原式＝2（a2﹣36） ＝2（a+6）（a﹣6）， 故答案为：2（a+6）（a﹣6）． 11．当x＝ 　0　 时，分式与的值互为相反数． 【答案】0． 【解答】解：∵分式与的值互为相反数， ∴． ∴x+2＝2﹣x． ∴x＝0． 经检验，x＝0是分式方程的解． 故答案为：0． 12．某工厂从一批保温杯中随机抽取1000个进行质量检测，结果有30个保温杯质量不合格，那么可以估计这批保温杯的合格率约为 　97%　 ． 【答案】97% 【解答】解：这批保温杯的合格率＝（1000﹣30）÷1000×100%＝97%． 故答案为：97%． 13．命题“如果a＞2，那么a2＞4”是　真　 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真． 【解答】解：命题“如果a＞2，那么a2＞4”是真命题， 故答案为：真． 14．如图是地球平面图，其中AB、CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光线MD直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线MD与地面水平线EF垂直，若已知南回归线与地面水平线的夹角∠EDN为66°，则太阳光线与赤道夹角的度数为　24°　 ． 【答案】24°． 【解答】解：∵太阳光线MD与地面水平线EF垂直， ∴∠MDE＝90°，即∠EDN+∠MDN＝90°（垂直的定义）， ∵∠EDN＝66°， ∴∠MDN＝90°﹣66°＝24°， ∴∠CDO＝∠MDN＝24°， ∵AB、CD分别表示赤道和南回归线，即AB∥CD， ∴∠BOM＝∠CDO＝24°（两直线平行，内错角相等）， ∴太阳光线与赤道夹角的度数为24°， 故答案为：24°． 15．如图，正方形ABCD中，AB＝30，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是　①②④　 （填所有正确答案的序号）． 【答案】①②④ 【解答】解：①在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝∠C＝90°， 又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G ∴∠AFG＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD， 即有∠B＝∠AFG＝90°，AB＝AF，AG＝AG， 在直角△ABG和直角△AFG中， ， ∴△ABG≌△AFG；正确． ②∵AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE， ∴DE＝FE＝10，CE＝20， 不妨设BG＝FG＝x，（x＞0）， 则CG＝30﹣x，EG＝10+x， 在Rt△CEG中，（10+x）2＝202+（30﹣x）2 解得x＝15，于是BG＝GC＝15；正确． ③∵BG＝GF＝CG， ∴△CFG是等腰三角形， ∵BGAB， ∴∠AGB≠60°， 则∠FGC≠60°， ∴△CFG不是正三角形．错误． ④∵， ∴， ∴S△FGCS△EGC20×15＝90．正确． 正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 16．某公司决定投资开发新项目，确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表： 所需资金/亿元 1 2 4 6 7 8 预计年利润/千万元 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1 （1）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有 　0.55（千万元）　 ； （2）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要 　7（亿元）　 资金； （3）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有 　3　 种投资方案，其中投资方案：　①②⑦　 预计年利润最大，最大年利润是 　1.45（亿元）　 （要求资金全部进行投资）． 【答案】0.55（千万元）；7（亿元）；3；①②⑦；1.45（亿元） 【解答】解：（1）由表格知，投资4亿元的年利润为：0.55亿元． 故答案为：0.55（千万元） （2）由表格知：预计年年利润0.9千万元的项目需要投资7亿元． （3）由表格知：将10亿元全部投资，有以下方案： 第一种：投资项目①②⑦，获利：0.2+0.35+0.9＝1.45（亿元）． 第二种：投资项目②⑥，获利：0.35+1＝1.35（亿元）． 第三种：投资项目：③④，获利：0.55+0.7＝1.25（亿元）． 故答案为：3，①②⑦，1.45（亿元）． 三．解答题（共12小题） 17．计算：． 【答案】1． 【解答】解：原式＝5+（1）×1﹣3 ＝51﹣3 1． 18．解不等式组：． 【答案】x≤1． 【解答】解：， 解①，得x； 解②，得x≤1． ∴原不等式组的解集为x≤1． 19．已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a+b﹣3＝0， ∴a+b＝3， ∴原式 ． 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G． （1）求证：四边形EFGO是矩形． （2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，且，求△AEO的面积． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∵OG⊥BC，EF⊥BC， ∴∠EFG＝90°，EF∥OG， ∴四边形EFGO是矩形； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∵OG⊥BC，EF⊥BC， ∴∠EFG＝90°，EF∥OG， ∴四边形EFGO是矩形； （2）解：过点E作EH⊥OA于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝10，OA＝OC， ∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∴， ∴△AEO是等腰三角形， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴ ∴若四边形ABCD是菱形，AB＝10，且，则． 21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（﹣1，﹣2）． （1）求该函数的解析式； （2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，一次函数y＝﹣x+n的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y＝x﹣1； （2）n≤﹣3． 【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b（k≠0）中得：， ∴， ∴函数的解析式为y＝x﹣1； （2）函数y＝﹣x+n的值小于函数的y＝x﹣1值时，则﹣x+n＜x﹣1， 解得， ∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于函数y＝x﹣1的值， ∴， ∴n≤﹣3． 22．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春•逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施：任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案 C ． 任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，AD所在的直线是该图形的对称轴，BD＝30cm，则竹条BC的长为 　60　 cm． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识 　对应点的连线被对称轴垂直平分　 ． 【答案】见解答． 【解答】解：任务一：不是轴对称图形是C； 任务二：如图即为所求； 任务三：竹条BC的长为60cm； 项目反思：用到的数学知识：对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 23．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 m 12.5 中位数 12.5 n 12.8 12.45 方差 p 0.024 0.034 0.056 （1）表中p　＞　 0.024（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）求表中m和n的值； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为　乙、丁、甲、丙　 ． 【答案】（1）＞； （2）m＝12.7，n＝12.5； （3）乙、丁、甲、丙． 【解答】解：（1）甲的10次测试成绩从小到大排列为：12.1 12.1 12.5 12.5 12.5 12.5 12.5 12.7 12.7 12.9， ∴， ∵0.056＞0.024， ∴p＞0.024， 故答案为：＞； （2）∵丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9， ∴丙运动员10次测试成绩的平均数， 乙的10次测试成绩从小到大排列为：12.2 12.3 12.4 12.5 12.5 12.5 12.6 12.6 12.7 12.7， ∵第5个和第6个数据分别为12.5，12.5， ∴乙的10次测试成绩的中位数， ∴m＝12.7，n＝12.5； （3）∵甲、乙、丙、丁的测试成绩的平均数分别为12.5、12.5、12.7、12.5， ∴由平均数比较甲、乙、丁的实力较强，丙的实力较弱， ∵甲、乙、丁的方差分别为0.056、0.024、0.056， ∴乙的实力较强，甲、丁的实力较弱， ∵丁的测试成绩中位数为12.45， ∴第5次、第6次成绩总和为12.45×2＝24.9， ∴则前5次测试的成绩小于平均数12.5， ∵甲的成绩小于平均数的次数为2次， ∴丁的实力较强，甲的实力较弱， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙． 故答案为：乙、丁、甲、丙． 24．如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线，切点为点B，BC为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且BD＝BA，连接CD，AD，线段AD交直径BC于点E，交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：CD＝CE； （2）若，，求⊙O的半径长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的切线， ∴∠OBA＝90°， ∴∠A+∠AEB＝90°， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠CDE+∠BDE＝90°， ∵BD＝BA， ∴∠BDA＝∠A， ∴∠CDE＝∠AEB， 又∵∠CED＝∠AEB， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE； （2）AB为⊙O的切线，，，如图，连接CF． ∴∠OBA＝90°， ∴∠AEB+∠A＝90°，∠EBF+∠FBA＝90°， ∵∠AEB＝∠CBF， ∴∠FBA＝∠A， ∴AF＝BF， ∴AF＝BF＝EF， 设BF＝EF＝AF＝x，则AE＝2x， 在Rt△ABE中，，AE＝2x， ∴， ∵BC为直径， ∴∠CFB＝90°， ∵∠BCF＝∠BDA，∠BDA＝∠A， ∴∠BCF＝∠A， ∴， 在Rt△BFC中，BF＝x， ∴BC＝3x． ∵BC＝2OB＝2（OE+BE）， ∴， 解得x＝3， ∴， ∴⊙O半径的长为． 25．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？请说明理由； （2）结合图象回答； ①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②秋千摆动第二个来回需多少时间？ 【答案】（1）变量h是关于t的函数，理由见解答； （2）①h＝0.5m，它的意义是：秋千摆动 0.7s时，距离地面的高度为 0.5m； ②秋千摆动第二个来回需2.6s． 【解答】解：（1）由图象可知，对于每一个摆动的时间t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数； （2）①当 t＝0.7s时，h＝0.5m，它的意义是：秋千摆动 0.7s时，距离地面的高度为 0.5m； ②由图象可知， 秋千摆动第二个来回需5.4﹣2.8＝2.6s． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在L1上，到x轴的距离为．判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由． （3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半． ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值． 【答案】（1）b＝6，c＝3，P（3，12）；（2）不能，理由见解析；（3）①；②． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P， ∴， 解得：b＝6，c＝3， ∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12， ∴P（3，12）； （2）∵点D在L1（第一象限）上，到x轴的距离为， 则， ∴当时，， 解得：或， ∴或， ∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点，对称轴为直线x＝3， ∴L2经过点和， ∴L2不能经过点D， （3）①∵A（0，3），P（3，12）， 当E，P重合时，则E（3，12）， ∵M是AE的中点， ∴， ∵点恰好落在L2上，L2经过点， ∴， 解得：； ②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，A（0，3）， ∴n＝3， ∴直线AE的解析式为y＝kx+3， ∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点， ∴， ∴， ∴， 联立， 消去y得，， ∴， ∵点M的横坐标是点E横坐标的一半， ∴，， 将E代入y＝﹣x2+6x+3， ∴ ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点， ∴②， 联立①②得：或， 当时，唯一公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 27．【性质推理】试证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°；∠A＝30°． 求证：． 提示：在BA上截取BD＝BC，连结CD，得到△BCD，… 根据“提示”中的思路，在图①中画出相应的点和线，并完成证明． 【性质应用】 已知：如图②，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，． 图形变换：将△ABC折叠，使点C落在斜边上的点C'处，折痕为BD． 根据“图形变换”的叙述，在图②中画出相应的点和线，并求出折痕BD的长． 【答案】【性质推理】在BA上截取BD＝BC，连结CD， ∵∠ACB＝90°；∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴△CBD是等边三角形， ∴BC＝CD＝BD，∠BDC＝60°， ∵∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝30°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AD＝CD＝BD＝BC， ∴． 【性质应用】BD＝2． 【解答】【性质推理】证明：在BA上截取BD＝BC，连结CD， ∵∠ACB＝90°；∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴△CBD是等边三角形， ∴BC＝CD＝BD，∠BDC＝60°， ∵∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝30°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AD＝CD＝BD＝BC， ∴． 【性质应用】∵∠C＝90°，∠A＝30°，， ∴∠ABC＝60°，BCAB， ∵将△ABC折叠，使点C落在斜边上的点C'处，折痕为BD， ∴BC＝BC′，∠CBD＝∠C′BD∠ABC＝30°，∠BC′D＝ACB＝90°， ∴CDBD， ∵BD2＝CD2+BC2， ∴BD2＝（）2+3， ∴BD＝2． 28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α关联点”． （1）如图，点A（0，2），B（2，0）． ①在点C1（4，0），C2（2，4），C3（1，3）中，点C2，C3 是弦AB的“α关联点”； ②若点D是弦AB的“90°关联点”，则点D的横坐标xD的取值范围为　　 ； （2）已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°关联点”．记点P的横坐标为t，求t的取值范围． （提示：先画出任意一条弦的“60°关联点”轨迹，然后再画出所有符合条件的“60°关联点”的轨迹．要求画图，写出关键解题步骤．） 【答案】（1）①C2，C3；②； （2）或． 【解答】解：（1）①：反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，如图1， ∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α关联点”， ∴点C应在⊙O'的圆内或圆上， ∵点A（0，2），B（2，0）， ∴OA＝OB＝2，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠OAB＝45°， 由对称得：∠O′BA＝O′AB＝45°， ∴△O′BA为等腰直角三角形， ∴O′（2，2）， ∵⊙O的半径为2， ∴⊙O′的半径为2， 则C1O′2， 故C1在⊙O'外，不符合题意； C2O′＝4﹣2＝2， 故C2在⊙O'上，符合题意； C3O′2， 故C3在⊙O'内，符合题意， ∴点C2，C3是弦AB的“α关联点”， 故答案为：C2，C3； ②取AB中点为H，连接DH， ∵∠ADB＝90°， ∴HD＝HA＝HB， ∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当DH∥x轴且点D在y轴右侧时，点D横坐标最大， ∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°， ∴AB＝2， ∴HD， ∵点A（0，2），B（2，0）， ∴H（1，1）， ∴此时xD＝xH+DH＝1， ∴点D的横坐标的最大值为1， ∴点D的横坐标xD的取值范围为0＜xD≤1， 故答案为：0＜xD≤1； （2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'， ∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α关联点”， ∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，故点P需要在⊙O'的圆内或圆上， 如图，作出⊙O关于MN的对称⊙O′，△MPN的外接⊙O″，连接O″M，O″N， ∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的优弧MN上运动（不包括端点M、N）， ∵点P是弦MN的“60°关联点”， ∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°， ∵O''M＝O''N， ∴∠O″MN＝30°， 由对称得点O，O′在MN的垂直平分线上， ∵△MPN的外接圆为⊙O″， ∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO′与NM交于点Q， ∴MQ＝MO″•cos30°MO″， ∴MN＝2MQMO″， 随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O′与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，MNMO″＝2， 连接O''P，OP，MO， ∵OP≤OO″+O″P， ∴当MN最大，MN＝2时，此时△MNP为等边三角形， 由上述过程知MN＝2MQMO″ ∴MO''＝O''P2， ∴当MO''＝2，OP有最大值， 此时，∠OMP＝90°， ∴OP的最大值为4， 设，则6t+3＝16， 解得：t， 记直线y与⊙O交于T，S，与x轴交于点G，与y轴交于点K，过点T作TH⊥x轴， 设， 则OH＝a，TH， ∵OT＝OS＝2， ∴OH2+TH2＝4，即4a2﹣6a﹣1＝0， 解得：a， ∴T点横坐标为， 同理：S点横坐标为， ∴t的取值范围是或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $