1.2.1 等差数列基本知识（课件）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

1.2.1 等差数列 基本知识 第一章 数列 ·劳保版第8版 下册· 学习目标 1、能依据实例表述等差数列的定义，明确公差d的概念，判断数列是否为等差数列；掌握等差数列通项公式的推导方法，能利用公式求首项、公差、指定项或项数；理解等差中项的定义，能求两个数的等差中项。 2、通过实例分析，体会等差数列相邻项差固定的特征；通过例题演练，掌握通项公式知三求一的应用方法。 3、借助生活实例感受等差数列的实用价值，消除对数学公式的畏难情绪，提升学习主动性。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 1.2.1 等差数列基本知识 新课导入 新课导入 提问：计算这四个数列的相邻项差（后项减前项），有什么发现？ 答：（1）28-25=3，31-28=3，…（2）53-48=5，58-53=5，…（3）2-4=-2,0-2=-2，…（4）a-a=0，… 发现：以上数列的相邻项的差都是同一个常数。 （1）梯子宽度数列：25,28,31,34,… （2）举重级别数列：48,53,58,63 （3）比5小的偶数数列：4,2,0,-2,… （4）常数列：a,a,a,a,… 探索新知 1.2.1 等差数列基本知识 等差数列的定义 定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，叫做等差数列；这个常数叫做公差，用d表示； 举例：数列（1）~（4）均为等差数列，公差依次为3,5,-2,0. （1）梯子宽度数列：25,28,31,34,… （2）举重级别数列：48,53,58,63 （3）比5小的偶数数列：4,2,0,-2,… （4）常数列：a,a,a,a,… 等差数列的定义 提示：{an}是等差数列等价于an+1−an=d（d为常数）； 提问：公差d>0、d<0、d=0时，数列分别是什么变化趋势？ 答：d>0递增，d<0递减，d=0是常数列 （1）梯子宽度数列：25,28,31,34,… （2）举重级别数列：48,53,58,63 （3）比5小的偶数数列：4,2,0,-2,… （4）常数列：a,a,a,a,… 等差中项的概念 定义：若a,A,b成等差数列，则A−a=b−A，即A=，则A叫做a与b的等差中项； 举例：2和8的等差中项即 =5； 补充：等差数列中，从第2项起（末项除外），每一项都是前一项与后一项的等差中项。 等差数列的通项公式 验证：梯子数列 a1=25,d=3，则a4=25+3×3=34，与实例一致； 提示：通项公式中包含a1,d,n,an这4个量，已知3个可求第4个。 推导：由定义得 a2−a1=d， a3−a2=d， a4−a3=d， …， an−an−1=d； 将这n−1个式子相加得：an−a1=(n−1)d； 整理得：an=a1+(n−1)d； 例题解析 解（1）计算相邻项差：5-2=3，8-5=3，…，差为3（常数），故是等差数列，首项a1=2，公差 d=3； （2）计算相邻项差：0-1=-1，-1-0=-1，0-(-1)=1，差不是常数，故不是等差数列。 例1：判断下列数列是否为等差数列，若是则写首项和公差： （1）2,5,8,11,14； （2）1,0,-1,0,1,0,-1,0,… ； 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：（1）an+1−an=3(n+1)+2−(3n+2)=3（常数），故是等差数列； （2）计算b2−b1=，b3−b2=，差不相等，故不是。 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：首项a1=2，公差d=5−2=3，代入通项公式得an=2+(n−1)×3=3n−1； 第30项代入n=30，得a30=3×30−1=89。 例3：求等差数列2,5,8,…的通项公式和第30项； 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：首项a1=3，公差d=7−3=4， 通项公式为an=3+(n−1)×4=4n−1； 设an=399，解方程4n−1=399，得n=100； 故399是等差数列的第100项。 例4：399是等差数列3,7,11,…的第几项； 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：设该地海拔1km，2km，3km，…，8km处的气温数值组成的数列为{an}． 由题意可知，数列{an}是等差数列，并且a1=8.5，a5=−17.5； 由通项公式a5=a1+4d，得d=(−17.5−8.54)/4=−6.5； 故 an=a1+(n-1)d 即 an=8.5+(n-1)×(−6.5) 例5：通常情况下，从海平面到10km的高空，高度每增加1km，气温就下降某一固定数值．如果某地海拔1km处的气温是8.5℃，海拔5km处的气温是-17.5℃，求该地海拔2km，4km，8km处的气温. 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 分别将n=2,4,8代入上式计算得 a2=8.5+(−6.5)=2， a4=8.5+3×(−6.5)=−11， a8=8.5+7×(−6.5)=−37。 例5：通常情况下，从海平面到10km的高空，高度每增加1km，气温就下降某一固定数值．如果某地海拔1km处的气温是8.5℃，海拔5km处的气温是-17.5℃，求该地海拔2km，4km，8km处的气温. 知识记忆 1.2.1 等差数列基本知识 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 1.等差数列定义：从第2项起，相邻项差为同一常数（公差d）； 2.等差中项：A=（a,A,b成等差数列）； 3.通项公式：an=a1+(n−1)d（4个量知三求一）； 4.判断方法：①计算相邻项差是否为常数；②通项公式法求an+1−an是否为常数。 师生互动 1.2.1 等差数列基本知识 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1、概念辨析：常数列是等差数列吗？公差是多少？ 答：常数列是等差数列，公差d=0； 2、计算抢答：（1）等差数列a1=5,d=2，求a4； （2）求-3和5的等差中项。 答：（1）a4=5+3×2=11； （2）=1 当堂检测 1.2.1 等差数列基本知识 练习 例1 判断数列6,4,2,0,-2,-4,…是否为等差数列，若是则求首项和公差； 解：计算相邻项差：4-6=-2，2-4=-2，…，差为-2（常数），故是等差数列； 首项a1=6，公差d=−2。 练习 例2 已知数列an=−2n+5，判断是否为等差数列，若是则求首项和公差； 解：an+1−an=−2(n+1)+5−(−2n+5)=−2（常数），故是等差数列； 首项a1=−2×1+5=3，公差d=−2。 练习 例3 等差数列a1=15,d=−4，求通项公式和第21项； 解：通项公式 an=a1+(n-1)d=15+(n−1)×(−4)=−4n+19； 第21项 a21=−4×21+19=−65。 练习 例4 100是否为等差数列2,9,16,…的项？若是，求项数； 解：a1=2，d=9-2=7，通项公式an=2+(n−1)×7=7n−5； 设7n−5=100，解得n=15。 所以100是等差数列的第15项。 练习 例5 求10与16的等差中项； 解：等差中项A==13。 练习 例6 已知等差数列a3=16，a7=8，求通项公式； 解：设通项公式为an=a1+(n−1)d， 则 解得a1=20，d=−2； 通项公式为an=20+(n−1)×(−2)=−2n+22。 课堂小结 1.2.1 等差数列基本知识 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1.核心概念： 等差数列：相邻项差为同一常数（公差d）； 等差中项：A=。 2.核心公式： 通项公式：an=a1+(n−1)d（4个量知三求一）。 3.核心能力： 判断等差数列：计算相邻项差或an+1−an； 实际应用：建立等差数列模型，求公差与指定项。 课后作业 1.2.1 等差数列基本知识 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) ① 课本P16知识巩固1 第1~6题 ②《同步练习》基础巩固、能力进阶 谢谢 THANKS $