1.2.2 等差数列的前n项和（课件）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

1.2.2 等差数列的 前n项和 第一章 数列 ·劳保版第8版 下册· 学习目标 1、理解倒序相加法的推导逻辑，掌握等差数列前n项和的两个公式；能根据已知条件选择合适的公式求前n项和，实现5个量知三求二；能将求和型问题、生活实际问题转化为等差数列求和模型，求解总量。 2、通过推导过程，体会倒序相加法的数学思想，提升逻辑推理能力。 3、借助高斯求和的经典案例感受数学方法的巧妙性，消除对复杂公式的畏难心理，提升数学学习的兴趣与信心。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 1.2.2 等差数列的前n项和 新课导入 新课导入 背景：高斯上小学时，老师出了一道计算题 1+2+3+⋯+100=？其他同学逐个数相加，高斯很快算出结果5050。 小组讨论：高斯是怎么快速计算的？ 答：首尾配对相加。 新课导入 1+2+3+⋯+99+100=？ 提问：第一个数和最后一个数相加，第二个数和倒数第二个数相加，和分别是多少？一共有多少组这样的数？ 答：1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，一共有 100÷2=50 组。 所以和为101×50=5050。 新课导入 提问：数列1,2,3,...,100是我们上节课学的什么数列？首项、公差、末项分别是多少？ 答：等差数列，a1=1,d=1,a100=100。 总结：这种配对求和的方法，推广到一般等差数列，就是我们今天要学习的等差数列的前n项和。 探索新知 1.2.2 等差数列的前n项和 等差数列前n项和 定义：Sn=a1+a2+a3+⋯+an−1+an，Sn表示数列前n项的和。 倒序形式：Sn=an+an−1+an−2+⋯+a2+a1。 两式相加：将上述两个式子左右两边分别相加，得2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+⋯+(an−1+a2)+(an+a1) 思考：根据等差数列的性质，a1+an 和 a2+an−1 相等吗？ 验证：a2+an−1=(a1+d)+(an−d)=a1+an。 等差数列前n项和 公式一 2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+⋯+(an−1+a2)+(an+a1) 一共有n组相等的和，因此2Sn=n(a1+an)。 即 Sn= （首末项公式） 适用条件：已知首项a1、末项an、项数n。 等差数列前n项和 公式二 等差数列通项公式an=a1+(n−1)d。 将an代入公式一，Sn==。 Sn==na1+（首项公差公式） 适用条件：已知首项a1、公差d、项数n。 等差数列前n项和 验证高斯求和 已知 n=100,a1=1,a100=100，可选择公式一 代入公式一，Sn =5050 和高斯计算结果一致。 例题解析 解：（1）已知首项、末项、项数，用公式Sn， 代入得S20=10×60=600； （2）已知首项、公差、项数，用公式Sn=na1， 代入得S10=10×4+=40+135=175。 总结：已知首末项用公式1，已知首项公差用公式2 例1：在等差数列{an}中： （1）若a1=−3，a20=63，求S20；（2）若a1=4，d=3，求S10； 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：数列相邻项差为3，是等差数列，a1=1,d=3； 由an=a1+(n−1)d，得298=1+(n−1)×3，解得n=100； 已知首项、末项、项数，用公式Sn， 代入得S100==14950。 总结：求和型问题的步骤：判类型→求项数→代公式 例2：求和：1+4+7+10+…+298； 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：列方程组： 代入得 由第一个方程得a1=−n+2，代入第二个方程得n2−7n−30=0 解得n=10（n=−3舍去），再得a1=−3。 综上，a1=−3，n=10。 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：贷款本金：12万元， 每月还贷款本金：=2000元； 第一个月利息为120000×0.5%=600(元). 第二个月利息为 (120000-2000)×0.5% =120000×0.5%-2000×0.5% = 590(元). 例4：某人购买一辆20万元的汽车，首付8万元，其余车款按等额本金还款法分期付款，5年付清．如果贷款按月利率为0.5%计算，那么此人共应付多少利息？ （提示：等额本金还款法是指在贷款期间每月等额归还本金，每月利息按照剩余本金乘以月利率计算） 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 第三个月利息为 (120000-2×2000)×0.5% =120000×0.5%-2×2000×0.5%= 580(元). … 由此可见，5年中每月所付利息是以600为首项，-10为公差的等差数列。因为贷款5年付清，所以 n=5×12=60. 例4：某人购买一辆20万元的汽车，首付8万元，其余车款按等额本金还款法分期付款，5年付清．如果贷款按月利率为0.5%计算，那么此人共应付多少利息？ （提示：等额本金还款法是指在贷款期间每月等额归还本金，每月利息按照剩余本金乘以月利率计算） 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 用Sn=na1，得S60=60×600+×(−10) = 18300(元)。 总结：实际问题建模步骤：分析变量→确定数列→代公式求和 例4：某人购买一辆20万元的汽车，首付8万元，其余车款按等额本金还款法分期付款，5年付清．如果贷款按月利率为0.5%计算，那么此人共应付多少利息？ （提示：等额本金还款法是指在贷款期间每月等额归还本金，每月利息按照剩余本金乘以月利率计算） 知识记忆 1.2.2 等差数列的前n项和 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 1.推导方法：倒序相加法（首末项配对求和）； 2.前n项和公式： 公式1（首末项和）：Sn（已知a1,an,n）； 公式2（首项公差）：Sn=na1（已知a1,d,n）； 3.核心逻辑：等差数列的5个量（n,a1,d,an,Sn）知三求二； 求和步骤：判类型→求项数→选公式→计算。 师生互动 1.2.2 等差数列的前n项和 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1、提问：等差数列的两个求和公式，本质上是相通的吗？为什么？ 答：是相通的。公式二是将通项公式an=a1+(n−1)d代入公式一推导而来，已知条件不同，选择更简便的公式即可。 2、提问：知三求二时，求出的项数n=−5，这个结果可以使用吗？ 答：不可以。项数n代表数列的项的个数，必须是正整数，负数、分数、零都要舍去。 当堂检测 1.2.2 等差数列的前n项和 练习 练习 练习 例3 求和：3+7+11+⋯+103。 练习 练习 例5 某电影院有23排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，求电影院总座位数。 练习 课堂小结 1.2.2 等差数列的前n项和 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1.核心方法：倒序相加法（推导前n项和公式）； 2.两个公式： Sn（首末项和）； Sn=na1（首项公差）； 3.核心技能： 公式选择：依已知条件选对应公式； 知三求二：列方程组求解； 课后作业 1.2.2 等差数列的前n项和 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) ① 课本P21知识巩固2 第1~4题 ②《同步练习》基础巩固、能力进阶 谢谢 THANKS $