1.3.1 等比数列基本知识（课件）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

1.3.1 等比数列 基本知识 第一章 数列 ·劳保版第8版 下册· 学习目标 1、能准确表述等比数列的定义，明确公比q≠0的限制，判断数列是否为等比数列； 2、掌握等比数列的通项公式，能进行知三求一的计算； 3、理解等比中项的概念，能求两个数的等比中项，明确同号两数才有等比中项的限制； 4、能解决等比数列的实际应用问题，构建数学模型。 5、借助生活实例感受等比数列的实用价值，激发数学学习兴趣。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 1.3.1 等比数列基本知识 新课导入 新课导入 四个实例 （1）汽车折旧：20万元的汽车，每年折旧10%，8年内汽车价值依次为0, 20×0.9, 20×0.92,…, 20×0.97 （2）短信传播：3分钟传给3人，3人再各传3人，1小时内收到短信的人数依次为1, 3, 32,…, 320 （3）倍数数列：从5开始，每次乘5，得5, 52, 53,… （4）常数列：无穷多个常数a(a≠0)组成数列a, a, a,… 新课导入 四个实例 （1）汽车折旧：0, 20×0.9, 20×0.92,…, 20×0.97 （2）短信传播：1, 3, 32,…, 320 （3）倍数数列：5, 52, 53,… （4）常数列：a, a, a,…(a≠0) 提问：计算这4个数列的相邻项比（后项÷前项）， 有什么发现？ 答：（1）20×0.9÷20=0.9，20×0.92÷(20×0.9)=0.9，… （2）3÷1=3，32÷3=3，…（3）52÷5=5，53÷52=5，… （4）a÷a=1，… 相邻项的比都是同一个常数。 探索新知 1.3.1 等比数列基本知识 等比数列的定义 定义：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数的数列，叫做等比数列；这个常数叫做公比，用q表示（q≠0）； 举例：数列（1）~（4）均为等比数列，公比依次为 0.9，3，5，1. （1）汽车折旧：0, 20×0.9, 20×0.92,…, 20×0.97 （2）短信传播：1, 3, 32,…, 320 （3）倍数数列：5, 52, 53,… （4）常数列：a, a, a,…(a≠0) 等比数列的定义 提示：{an}是等比数列等价于=q（q≠0，常数） 易错点：等比数列的各项及公比q都不能为0，否则比值无意义。 （1）汽车折旧：0, 20×0.9, 20×0.92,…, 20×0.97 （2）短信传播：1, 3, 32,…, 320 （3）倍数数列：5, 52, 53,… （4）常数列：a, a, a,…(a≠0) 等比中项的概念 定义：若a,G,b成等比数列，则，即，G叫做a与b的等比中项； 强调：只有当a和b同号时，才存在等比中项，且； 举例：2和8的等比中项即G2=2×8=16，故G=±4； 补充：等比数列中，从第2项起（末项除外），每一项都是前一项与后一项的等比中项。 等比数列的通项公式 验证：汽车折旧数列a1=20，q=0.9，则a3=20×0.92=16.2，与实例一致； 提示：通项公式中包含a1,q,n,an共4个量，已知3个可求第4个（知三求一）。 推导：由定义得：=q，=q，…，=q 将这n−1个式子相乘可得 ：⋅⋅⋯⋅=qn−1 左边约分后得：=qn−1 整理得通项公式：an=a1qn−1 例题解析 解：（1）计算相邻项比：=−3，=−3， =−3，…， 比为-3（非零常数），故是等比数列，a1=1,q=−3； （2）计算相邻项比：=2，=2，=1.25，比不是常数，故不是等比数列。 例1 下列数列是否为等比数列？若是，写出首项和公比。 （1）1,−3,9,−27,81,−243； （2）2,4,8,10 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：首项a1=2，公比q==−3， 代入通项公式得an=2×(−3)n−1 求第6项：代入n=6，得a6=2×(−3)6−1=2×(−243)=−486 例3 求等比数列2,−6,18,…的通项公式和第6项。 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：（1）代入通项公式：324=4×3n−1，化简得3n−1=81=34， 解得n−1=4，n=5 （2）代入通项公式：48=a1×25−1=a1×16，解得a1=3， 通项公式为an=3×2n−1 例4 在等比数列{an}中： （1）a1=4,q=3,an=324，求项数n； （2）q=2,a5=48，求a1和通项公式。 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：种子数列为等比数列，a1=100,q=100,n=5， 代入通项公式得a5=100×1005−1=100×1004=1010（粒） 例5 培育一种稻谷新品种，第1代得种子100粒，如果以后由每粒新种又可得100粒下一代种子，到第5代可以得到新品种的种子多少粒？ 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：营业额数列为等比数列， 第二年营业额是100和900的等比中项，即a2=100×900=90000，解得a=±300； 因营业额增加，故a=300， 增加额为300−100=200（万元） 例6 某公司正在拓展业务，营业额不断增加，若公司的营业额从第一年开始成等比数列增长，第一年的营业额为100万元，第三年要达到900万元，那么第二年的营业额比第一年增加多少万元？ 知识记忆 1.3.1 等比数列基本知识 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 1.等比数列定义：从第2项起，相邻项比为非零常数（公比q≠0）； 2.等比中项：G2=ab（a,b同号时存在，G=±）； 3.通项公式：an=a1qn−1（4个量知三求一）； 4.判断方法：计算相邻项比是否为非零常数； 5.实际应用：构建等比数列模型，识别首项、公比与项数。 师生互动 1.3.1 等比数列基本知识 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1、概念辨析：常数列是等比数列吗？为什么？ 答：非零常数列是等比数列（q=1），零常数列不是（q=0不符合定义） 2. 计算抢答：（1）等比数列a1=3,q=2，求a4；（2）求-4和-9的等比中项；（3）等比数列a2=6,a4=24，求公比q 答：（1）a4=3×23=24 （2）G=±=±6 （3）q=±2 当堂检测 1.3.1 等比数列基本知识 练习 例1 判断数列−2,−2,−2,…是否为等比数列，若是等比数列，则求首项和公比。 解：相邻项比为=1（非零常数），故是等比数列； 首项a1=−2，公比 q=1。 练习 例2 求等比数列3,a,12中的未知项a。 解：由等比中项得a2=3×12=36， 解得a=6或a=−6。 练习 例3 等比数列a1=5,q=−2，求通项公式和第5项。 解：通项公式an=5×(−2)n−1； 第5项a5=5×(−2)4=5×16=80。 练习 例4 等比数列a1=4,q=3,an=324，求项数n。 解：代入通项公式得324=4×3n−1， 化简得3n−1=81=34， 解得n=5。 练习 例5 某手机原价3000元，每月降价5%，求3个月后的价格（列出通项公式并计算）。 解：价格数列为等比数列，a1=3000,q=0.95,n=4（第3个月后对应第4项）， 通项公式an=3000×0.95n−1； 3个月后价格a4=3000×0.953≈2572.13（元）。 答：通项公式an=3000×0.95n−1；3个月后价格约2572.13元 练习 例6 某工厂去年产值为500万元，计划每年增产10%，求今年和明年的产值（列出通项公式）。 解：产值数列为等比数列，a1=500，q=1.1， 通项公式an=500×1.1n−1； 今年产值a2=500×1.1=550（万）， 明年产值a3=500×1.12=605（万）。 答：通项公式an=500×1.1n−1；今年产值550万元，明年产值605万元。 课堂小结 1.3.1 等比数列基本知识 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1、核心概念 等比数列：相邻项比为非零常数（q≠0）； 等比中项：G2=ab（a,b同号时存在，G=±）。 2.核心公式 通项公式：an=a1qn−1（4个量知三求一）。 3.核心能力 判断等比数列：计算相邻项比是否为非零常数； 实际应用：构建等比数列模型，求指数增长/衰减问题。 课后作业 1.3.1 等比数列基本知识 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) ① 课本P27知识巩固1 第1~5题 ②《同步练习》基础巩固、能力进阶 谢谢 THANKS $