1.3.2 等比数列的前n项和（课件）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

1.3.2 等比数列的 前n项和 第一章 数列 ·劳保版第8版 下册· 学习目标 1、理解错位相减法的推导逻辑，掌握等比数列前n项和的公式（区分q=1与q≠1）； 2、能根据已知条件选择合适的公式求前n项和，实现知三求二； 3、能将求和型问题、生活实际问题转化为等比数列求和模型，求解总量； 4、通过推导过程，体会错位相减法的数学思想，提升逻辑推理能力； 5、借助经典案例感受数学方法的巧妙性，通过实际应用题体会等比数列求和的实用价值，消除对复杂公式的畏难心理，提升数学学习的兴趣与信心。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 1.3.2 等比数列的前n项和 新课导入 新课导入 经典案例：国际象棋发明者向国王索要麦粒，要求在棋盘的第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……每格都是前一格的2倍，直到第64格。国王觉得很简单，答应了请求，但最终发现无法满足要求。 新课导入 计算：这个数列是等比数列，首项a1=1，公比q=2，求前64项和S64=1+2+22+⋯+263。 思考：如果逐个数相加，计算量太大，有没有简便方法？ 探索新知 1.3.2 等比数列的前n项和 等比数列前n项和 定义：Sn=a1+a2+a3+⋯+an−1+an，Sn表示数列前n项的和。 等比数列前n项和：Sn=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−1； 两边乘公比q：qSn=a1q+a1q2+⋯+a1qn−1+a1qn； 两式相减： Sn−qSn=a1−a1qn，即(1−q)Sn=a1(1−qn)； 整理得（q≠1）：Sn=； 补充：当q=1时，数列为常数列，Sn=na1； 等差数列前n项和 说明：q≠1时，代入an=a1qn−1可得Sn ； 总结：q≠1时，Sn ； q=1时，Sn=na1 验证经典案例：代入a1=1,q=2,n=64，得S64= 例题解析 例1 求等比数列−3,6,−12,…的前8项之和。 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例3 某企业第一年的产值是1500万元，计划每年递增15%，这五年的总产值是多少万元（保留两位小数）？ 例题解析 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例题解析 解：收入数列为等比数列，设年增长率为x，则q=1+x，a1=30000； 列方程： 30000+30000(1+x)+30000(1+x)2= 50000+50000(1+3×5.6%)； 化简方程： x2+3x−=0，解得x≈19.2%（舍去负根）。 例4 某人投资10万元办了一个养鸡场，其中有5万元是向银行贷款的，贷款年利率为5.6%（只计本金带来的利息）。预计每出售一只肉鸡可盈利1元，投资当年就能出售30000只。他准备在3年内收回全部投资，并偿还银行的利息，为此，他必须以怎样的年增长率发展肉鸡养殖（假设年增长率不变，精确到0.1%）？ 知识记忆 1.3.2 等比数列的前n项和 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 1.推导方法：错位相减法； 2.前n项和公式： q≠1时，Sn ； q=1时，Sn=na1 3.核心逻辑：等比数列的5个量（n,a1,q,an,Sn）知三求二； 4.求和步骤：判公比→选公式→代入计算→验证结果。 师生互动 1.3.2 等比数列的前n项和 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1、概念辨析：等比数列前n项和公式为什么要分q=1与q≠1？ 答：当q=1时，公式Sn=的分母为0，无意义，因此需要分类讨论； 2、计算抢答：（1）等比数列a1=2,q=3,n=4，求S4； （2）等比数列a1=1,q=1,n=5，求S5。 答：（1）S4===80； （2）S5=5×1=5。 当堂检测 1.3.2 等比数列的前n项和 练习 练习 练习 例3 求和：2+4+8+⋯+64。 解：数列为等比数列，a1=5000,q=1.1,n=3， 用公式S3=5000(1−1.13)1−1.1≈16550（台）。 练习 例4 某商场第一年销售计算机5000台，每年销售量增长10%，求前3年的总销售量。 练习 练习 例6 一条消息1小时传给2人，2人再各传2人，经过4小时可传遍多少人？ 课堂小结 1.3.2 等比数列的前n项和 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1.核心方法：错位相减法（推导等比数列前n项和公式）； 2.核心公式： q≠1时，Sn ； q=1时，Sn=na1 3.核心技能： 公式选择：依公比是否为1选择对应公式； 知三求二：列方程组求解； 实际建模：分析变量→确定数列→求和。 课后作业 1.3.2 等比数列的前n项和 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) ① 课本P30知识巩固2 第1~4题 ②《同步练习》基础巩固、能力进阶 谢谢 THANKS $