河南信阳市2025-2026学年上学期高三期末考试数学试题

2025一2026学年度上期高三期末考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.C【解析】由题意可知，U={x∈NI0<x≤5}={1,2,3,4,5}，B={2,3,5},则CB= {1,4}.又A={1,2,4},所以A∩CB=1,4}.故选C 2B【解标由题意得-21-21所以：的虚鄙为-2故选见 3.B【解析】依题意，得a-2b=(x-4,-3).又(a-2b)b,所以x-4=-3×2.解得x= 2,则a=（-2,-1),则1al=5.故选B. 4.D【解析】对于A,芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55% ×37%,而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的40%，但不知道从事技术岗 位人数的比例，故无法确定两者人数的多少，所以选项A不一定正确.对于B,从饼 图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为55%，超过50%，所以选项B不 正确.对于C,芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为55%× (37%+13%)=27.5%,所以不超过从事这两个行业总人数的30%，所以选项C不 正确.对于D,芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%×14%= 7.7%,“80前”占比5%，所以选项D正确.故选D, 5.A【解析】双曲线C,的离心率子-，双曲线C,的离心率心。，其中c=aW, 则=1又≥2，所以e6,≥2，当且仅e,=6,即a=6时取等号.故选 el e, ee, A 6.C【解析】若千位数字是7，则共有C3A足=36（个）：若千位数字是8，则共有C2A= 24(个).故符合条件的四位数偶数共有36+24=60（个）.故选C. 7.D【解析】由题意可知，f(x,)的值域二g(x,)的值域因为内层函数u=x2-1在 [√2，W5)上为增函数，外层函数y=log2u为增函数，所以函数f(x)=log(x2-1)在 [2,W5)上为增函数.当x1∈[W2,5)时，x-1∈[1,4)，即fx)∈[0,2.当x2∈ [2,4]时，则g(x2)=(x-1)2+a-1,即g(x2)e[a,8+a].故 a≤0，所以得-6≤a 2≤8+a, ≤0，故选D. a1(1-g） 8.B【解析】设无穷等比数列a,的公比为q,则S,=1-g,g≠1S.= na1,q=1, 高三数学答案第1页（共8页） a,(1-g)_a(1-4）.（1+g）9≠1， 1-9 1-q 2na1,9=1. 法一：因为a1>0,所以当q=1时，Sn=na1为递增数列，但S2n=2na1=2Sn,不满足 “Hn∈N*,S2n>2Sn”;反之，若“HneN”,2>2Sn”,则必有Vn∈N°，S2-Sn>Sn,即 HneN*,Sn·g>Sn,则g>1,故q>1,所以“{Sn}为递增数列”.故选B. 法二：因为a,>0,所以若“{Sn}为递增数列”，则Sn+1-Sn=a+1=a19>0,所以g>0.若 “HneN,Sn>2Sn”,9=1,则S2=2na1=2Sn,不满足不等式.所以q≠1，则S.=a 代人及>2得4哥>2a高整理，得10，即 1-g 1-q -(1-g)°>0所以1-q<0,即g>1.所以“{5为递增数列”是“Yn∈N,S>2S,” 1-g 的必要不充分条件故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 111 9.BD【解析】对于A,A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=3×3gP(AU =a-Pa)-}-多A#误对于B因为， ,所以 6以)=4}-1，测5（站2》=38(-21，B正确对于C,若X统计量大于临界值 1=6.635,则在α=0.01的显著性水平下，可判断分类变量X与Y不独立，本题中 X=9.850>6.635,C错误对于D,由X~N(5,σ2)知，正态曲线关于x=5对称， P(X≥3)=P(X≤7)，结合P(X≥3)=4P(X≥7)，代入得P(X≤7)=4P(X≥7)，又 P(X≤7)+P(X≥7)=1，解得P(X≥7)=0.2，P(X≤3)=0.2，则P(3<X<7)=1-0.2 0.2=0.6,所以P(3<X<5)=2P(3<X<7)=2×0.6=0.3,D正确.故选BD. 10.AC【解析】因为正数a,B,构造函数g(x)=2x+sinx,x>0,则g'(x)=2+cosx>0 恒成立，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0对任意 之。1.，得2+sina>2B+sinB,即g()>g(B), e[0,+∞)恒成立.由28+inB2+sin 可得>B>0,对于A,由a>B,可得-B+1>1,所以1n(a-B+1)>0,A正确.对于B, 由>80，得2°>2°，则2”+>2+B,即2°6>2°-a,B错误对于C,(晨+月 (a+B) -2+B B 2+2 :.E=4,当且仅当x=B时等号成立，但。不等于B,故等号 B a 无达R到，则日日(8>4所以日8 aga8C正确.对于D,由a>B>0,不一 高三数学答案第2页（共8页） 定有sina>sinB,故D不正确.故选AC. 11.ACD【解析】对于A:由题意知，动点P(x,y)满足IPF,I·1PF2I=4,F,(-2, 0),F2(2,0),故[(x+2)2+y][(x-2)2+y]=16,即[(x+y+4)+4x][(x+y+ 4)-4x0]=16,即(x+y+4)2-16=16,故A正确；对于B,由=-x+4√+1-4 ≥0，得x+4≤4+1，则x≤8x,解得-22≤x。≤2√2，即P的横坐标最大值是 22,所以+y=4√+1-4≤8，双纽线C上任意一点到坐标原点0的距离d= √+y≤22，B错误对于C,当x=4时，y=-4+45-4<1,故曲线内包含整点 (±2,0)，当x=1时，y=-1+42-4<1,故曲线内包含整点（±1,0），而(0,0)在双 纽线C上，故双纽线C内（含边界）的整点个数为5，C正确；对于D:椭圆+=1 62 的焦点坐标恰好为F,(-2,0)与F2(2,0),则1F,Q1+|FQ1=26,由FQ⊥F2Q, 得1r,Q1+1F,01=16.则1F01·F01=E01+1E01)'-0FQ+E0)-4, 2 Q∈C,D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-260【解析】依题意可知，(1-2x)展开式中含x的项为C·(-2x)',含x3的 项为C·(-2x)3,因此(3+2x2)(1-2x)3的展开式中含x3的项为2x2·C;· (-2x)+3C·(-2x)3=-260x3,所以x3的系数为-260. 13.4【解析】由f(x)=e+2x+b,得f'(x)=e+2,设函数f(x)上的切点为(xo, f(x)),所以在此点处的切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-x).因为直线3x-y+5= 0为曲线y=f(x)的一条切线，所以 3=e0+2, 5=e0+2x+b-(e0+2)x, 解得x=0,b=4. 14、3 【解析】因为cos2a-cos2B=cos[(a+B)+(a-B)]-os[(ax+B)-(au-B)]= -2si(e4pan(ee)=号又因为om(e*e)-22,且a,Beo,引}，e8e0,m. 所以sn(at8)=},则sim(a-B)=-}又由于a,Beo,》aBe（2》,所 3 以cos(a-B)=5,则tan(a-B)=- 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(1)(方法1)由正弦定理，得sin Acos C+2inC=sinB, sin Acos C+sin C=sin(A+C), 高三数学答案第3页（共8页）》 1 sin Acos C+n C=sin Acos C+cos Asin C. 1 sin C=cos Asin C. C∈(0，T),∴.sinC>0,则cosA= 1 T A∈(0，T),∴A= 3 6分 (方法2)由余弦定理，得csC-+-c 2ab 1 代人acsC+2=b,得a· a2+b2-c21 2ab to-cos A=bit-a1 2be 21 :Ae(0,m),A=3 6分 (2)因为D是BC中点，所以d=(硒+C), D 两边平方，得亦-函+C(峦+℃+2.C。 所以6=(c2+b+2b6ccos∠BAC),即+c2+bc=24 又由均值不等式，得b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc, 当且仅当b=c=22时等号成立，所以bc≤8. 1 所以S6=26 esin A≤2,3，即△ABC面积的最大值为23， 13分 16.(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q≠0). 因为b,=2a1=2,所以a1=1.又b2=a2+2,b3=2a3+2, 所经1： 467222解和2 d=1, 所以an=1+(n-1)×1=n,bn=2×2-1=2. 6分 (2)由(1)，得cn=10g2b1-14=2n-15. 所以1c,1=15-2,n≤7， 9分 2n-15,n≥8. 高三数学答案第4页（共8页） 当n≤7时，7.-n(13+15-2m）-14n-.11分 2 当n≥8时，Tn=|c,l+lc2+…+lc,|+cg+c+…+cn=-C1-C2--C,+cg+g+…+cn, 因为T,=|c,|+|c2|+…+|c7|=-c1-c2-…-c,=49, 所以7.=n-13+2n-15）+27,=2-14n+98, …14分 14n-n2,n≤7， 综上T.--14n+98,n≥8. 15分 17.(1)记事件A1:抽到马”与到”，概率为P(A)=3×3g 111 111 事件A,:抽到“骏”与“驰”，概率为P(A:)=3×3g 事件毛#到龙与烤制率为风)写号 1,1,11 由于A,A,A互斥，故中奖概率为P(AUA,UA)=g+g+93 …4分 （2)(D设小明-家三口中奖的次数为X,则X-3,写》，PX=0=' PX=1)=Gx写1-号x=2=G日×》-号 P(X=3)=(日)7则x的分布列为 X 0 1 2 3 2 1 27 9 9 27 9分 27 (i)因为X-3,》.所以0X0=3x写1-）-号 根据切比雪夫不等式P(IY-E(1≥)≤Dn,得PIY-E(n1n)≥1DC少 02 即K1s1忌故1忌6，解得心管即a号 所以正实数a的最小值为号 15分 18.(1)由题意，得f'(x)=(1+ax)e(x∈). 当a=0时f'(x)=1>0,函数f(x)在R上单调递增，不符合题意，舍去； 高三数学答案第5页（共8页） 当a≠0时，令f'(x)=0,解得x= 要使函数)在0,2]上不单满则0.2.解得0< 所以要使x)在[0,2]上不单调，则a的取值范围为-0，》 …5分 (2)f'(x)=(xe“)'=(1+ax)e“,x∈[0,2]， 当a≥0时，则1+ax≥0对任意xe[0,2]恒成立，即f'(x)≥0恒成立 所以f(x)在x∈[0,2]上单调递增，则f(x)的最大值为f2)=2e2“; 当00时令1=0，即=。 当日e0,2,即a<时. 当0，时f(x>0)在0，》上苹调递增。 当xe行2时(<0，)在日2上单调道减…日)= 当。e[2,+x),即号≤a<0时，1+as≥0对任意xe[0,2]恒成立， 即∫'(x)≥0恒成立，所以f(x)在x∈[0,2]上单调递增 则f(x)的最大值为f(2)=2e2. 综上所述：当a时-2c:当a时刘 ed …10分 (3)根据题意关于x的不等式x2e“≤e在[a,+o)上有解，即x2≤ea)在[a, +o)上有解， 设g(x)=x2,x∈[a,+o),h(x)=ea),x∈[a,+∞). 由于a>0,g(x)=x2在[a,+∞）上单调递增，∴g(x)min=a2. h(x)=e()在[a,+o)上单调递减.h(x)m=h(a)=1,故a2≤1，解得0<a≤1. 实数a的取值范围为(0,1].…17分 19.(1)由题意，得2b=25,则b=√3，b2=3. 由P(x0yo）,x≠±a,A(-a,0),B(a,0), 61 b23 xota xo-a xo-a 0a2 解得a2=4. 所以椭圆的方程为=1. 4分 43 高三数学答案第6页（共8页） (2)(1)由椭圆对称性知，四边形PFQF为平行四边形， 则5=5w即F4=p1d, d IPF'I 2a-IPFI 4 即有元IPFIPFPE -1. 。。。。g6分 因为P(x,3o)为轨迹C在第一象限的点，所以5+=1， 431 则1-1y+3子=2=2 3 又e(0,2),则PFe(1,2),所以1KPF1<3,即元，e(1,3). …9分 d (i)由题意知l的斜率存在，可设斜率为k,则l:y-yo=k(x-x). y-yo=k(x-x0), 消y得到(3+42)x2+8k(y。-kxo)x+4(y。-kxo)2-12=0, 所以4=[8(y。-kx]2-4(3+42)[4(y。-kx)2-12]=0. 整理得到(。-kx)2-(3+42)=0,即y-2kx+x-3-42=0. 营号1断以s-子动-2a+4-3--0 整理得162y7+24yox+9x=0, 即(4+3，)2=0，所以k=4 x0 又设过点P与l垂直的直线交x轴于点N, 则直线PN的方程为y=3 e(x-x)+yo 1 令y=0,可得点N的坐标为 44-x0 …12分 1+ 4 又由(i)知，PF1=2 2,同理可得PF1=2+2, xo 2 则有 2_4-x_IWF1 14分 。x04+x1NF'1 高三数学答案第7页（共8页） 1PF'1PNIsin∠F'pN 1 APFN= 又 IPF'IsinLFPN_IFNI APFN PFIPNVIsin∠FPN IPFIsin∠FPW-IFWT· 2 所以sin∠F'PN=sin∠FPW, 又∠FPpN,∠-rPN0.则∠FpN=∠FPN 故PN平分∠FPF'. 又PN⊥l,则∠TPF=∠F'PE. 又PF'∥QF,则∠F'PE=∠FTP,所以∠FTP=∠TPF.…17分 B 高三数学答案第8页（共8页）2025一2026学年度上期高三期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.若集合U={x∈N10<x≤5}，A={1,2,4},B={2,3,5},则A∩(CB)= A.{1} B.4 C.{1,4} D.{1,2,4} 2设复数：=，则复数：的崖部为 A.2 B.-2 C.2i D.-2i 3.已知a=(x,-1),b=(2,1),若(a-2b)%,则1al= A.2 B.5 C.3 D.5 4.某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图 (图1)和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是 技术 7% “80前” “80后” 5% “90后1 其他 设计 40% 运营) 市场 芯片、软件行业 “90后”从事芯片、软件 从业者年龄分布 行业岗位的分布 图1 图2 A.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B.芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% C.芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的30% D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 高三数学试题·第1页（共4页） 5.已双曲线C21a>0,b>0)与双曲线C,:名(a>0,b>0)互为共轭双曲线，设它们的商 心率分别为e,和e2,则e,·e2的最小值为 A.2 B.22 C.3 D.25 6.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1 个数字相乘时，乘积仍然由1,4,2,8,5,7这6个数字组成.若从1,4,2,8,5,7这6个数字中任选4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是 A.75 B.66 C.60 D.36 7.已知函数f(x)=log,(x2-1),g(x)=x2-2x+a,若对于任意x1∈[2,5)，存在x2∈[2,4]，使得f(x1) =g(x2),则实数a的取值范围是 A.(-6,0] B.(-6,1] C.[-6,1] D.[-6,0] 8.设无穷等比数列{an{的首项a>0,记数列{an{的前n项和为Sn,则“{Sn}为递增数列”是“Vn∈ N,S2n>2Sn”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 2 A在一个有限样本空间中，假设P(A)=P(B)=了，且A与B相互独立，则P(AUB)= B.已知随机变量专-B4,),则E(3g-2)=1 C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到X2=9.850,依据α=0.01的独立性检验(X1= 6.635),可判断X与Y独立 D.若随机变量X-N(5,02),且P(X≥3)=4P(X≥7)，则P(3<X<5)=0 10.已知正数a,B满足。。 1 ，则 2B+sin B 2a+sin a 114 A.ln(-B+1)>0 B.2-B<2-a C. a"B atB D.sin a>sin B 11.中国结是一种传统的民间手工艺术，它有着复杂奇妙的 曲线，带有浓厚的中华民族文化特色。用数学的眼光思考 可以还原成单纯的二维线条，其中“∞”对应着数学曲线 中的双纽线.在xOy平面上，把到两个定点F,(-a,0), F,(,0)距离之积等于a2(a>0)的动点轨迹称为双纽线， 已知两定点F,(-2,0),F,(2,0),动点P(o)满足1PF,1·1PFI=4,设P的轨迹为双纽线C,则下 高三数学试题第2页（共4页） 列结论正确的是 A.双纽线C的方程为(x6+y6+4)2-16x=16 B.双纽线C上任意一点到坐标原点O的距离最大值为3 C.双纽线C内（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为5个 D.点Q在椭圆号=1上，若F,Q1F,Q,则QeC 62 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在(3+2x2)(1-2x)的展开式中，x3的系数为 13.已知函数f(x)=e+2x+b,若直线3x-y+5=0为曲线y=f代x)的一条切线，则b= a已知a8e0引om2a8=号om(ae)-22则an(a-8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acos C+ 2c=6 (1)求角A的大小： (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为6，求△ABC面积的最大值： 16.(15分) 设数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列.已知b1=2a1=2,b2=a2+2,b3=2a3+2. (1)求{an}和{b.}的通项公式； (2)设cn=logb2-1-14,求数列{1cn1}的前n项的和T 17.（15分) 在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下： 1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字 样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上 的字怡好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能 抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立已知顾客从任一盒中抽到每个球的既率均为了 高三数学试题第3页（共4页） (1)求一名顾客中奖的概率。 (2)若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X, ()求X的分布列及数学期望； (i)已知对任意随机变量Y,若其数学期望E(Y)、方差D(Y)均存在，则对任意正实数a,有P(1Y- ≤D(”,该不等式称为切比雪夫不等式若要求有不低于76%的把握使1X-11<4,求 E(Y)1≥a)≤a2 正实数a的最小值 18.（17分) 已知函数f(x)=x·e“ (1)若函数f代x)在[0,2]上不单调，求a的取值范围； (2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值； (3)若a>0,关于x的不等式fx)≤e在[a,+o)上有解，求实数a的取值范围. 19.(17分) 知椭圆C@心b少0的左右顶点分别为A8,P,F为其左，右焦点.且短轴长为2.B 点P(xo,)为椭圆C在第一象限的点，满足直线PA、PB的斜率之积为- 3 (1)求椭圆C的方程 (2)若点P(xo,y)关于原点的对称点为Q. ()设点Q到直线PF,PF的距离分别为4,4，求二的取值范围； d, (ii)设椭圆C在P(xo,yo)处的切线为l,射线QF交l于点T求证：∠FTP=∠TPF 高三数学试题 第4页（共4页）