8.1 基本立体图形（第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章　立体几何初步 8.1　基本立体图形 第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 学习目标 1.了解空间几何体的分类及其相关概念. 2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体. 3.理解直棱柱、正棱柱、平行六面体、正棱锥、正棱台的结构特征. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　空间几何体的定义、分类与相关概念 1.空间几何体:如果只考虑物体的　　　　和　　　　　,而不考虑其他因素,那么由这些  物体抽象出来的　　　　　　　就叫做空间几何体.  2.分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类. 形状 大小 空间图形 3.多面体和旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体  多面体至少由四个面围成 ④一条　　　　　　(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的　　　　　叫做旋转面.  ⑤　　　　的旋转面围成的几何体叫做旋转体  多边形 公共边 公共点 类别 多面体 旋转体 相关 概念 ①面:围成多面体的各个　　　　　叫做多面体的面.   　　　多面体有几个面一般称为几面体 ②棱:两个面的　　　　　叫做多面体的棱.  ③顶点:棱与棱的　　　　　叫做多面体的顶点  ⑥轴:形成旋转面所绕的 　　 　叫做旋转体的轴  图形     平面曲线 曲面 封闭 定直线 思考辨析 圆柱是多面体还是旋转体? 提示 旋转体. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)长方体是多面体.(　　) (2)圆柱、球是旋转体.(　　) (3)长方体有6个面,8个顶点,12条棱.(　　) √ √ √ 2.观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体: (1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形? (2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形? (3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形? 提示 ②④. 提示 ①③⑤. 提示 ⑥. (4)哪些能近似看作多面体,哪些能近似看作旋转体? 提示 ②④能近似看作多面体;①③⑤⑥能近似看作旋转体. 知识点2　棱柱的结构特征 1. 定义 一般地,有两个面　　　　　　,其余各面都是　　　　　,并且相邻两个四边形的公共边都 　　　　　,由这些面所围成的多面体叫做棱柱  用表示底面各顶点的字母表示.   如图棱柱可记作: 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 互相平行 四边形 互相平行 相关概念 底面:两个互相　　　的面叫做棱柱的底面;  侧面:　　　　　　叫做棱柱的侧面;  侧棱:相邻侧面的　　　　叫做棱柱的侧棱;  顶点:　　　　　　的公共顶点叫做棱柱的顶点    分类 ①依据:底面多边形的边数; ②举例:　　　　　(底面是三角形)、　　　　　(底面是四边形)……  平行 其余各面 公共边 侧面与底面 三棱柱 四棱柱 2.棱柱的分类 3.常见的几种四棱柱之间的转化关系 名师点睛 棱柱的结构特征包括两个方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行且全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.它的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边. 思考辨析 1.平行六面体有几个面是平行四边形?   2.斜棱柱的侧面可能是矩形吗? 提示 6个. 提示 可能. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)棱柱的底面互相平行.(　　) (2)棱柱的各个侧面是平行四边形.(　　) (3)平行六面体是四棱柱.(　　) √ √ √ 2.下面的图形经过折叠不能围成棱柱的是(　　) D 解析 观察所给的图形,A,B,C选项均可围成棱柱,D选项缺少一个面,无法围成棱柱.故选D. 知识点3　棱锥的结构特征 1. 棱锥 图形及表示 定义 一般地,有一个面是　　　　　　,其余各面都是　　　　　　　　　的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥  用表示顶点和底面各顶点的字母表示.   如图棱锥可记作:棱锥S-ABCD 多边形 有一个公共顶点 棱锥 图形及表示 相关概念 底面:　　　　　面叫做棱锥的底面;  侧面:有　　　　　　　的各个三角形面叫做棱锥的侧面;  侧棱:相邻侧面的　　　　　叫做棱锥的侧棱;  顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点   分类 ①依据:底面多边形的边数; ②举例:　　　　　(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……  2.正棱锥:底面是　　　　　　,并且顶点与底面中心的连线　　　　　于底面的棱锥叫做正棱锥.  多边形 公共顶点 公共边 三棱锥 正多边形 垂直 思考辨析 有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗? 提示 不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)棱锥的侧面都是三角形.(　　) (2)正棱锥顶点与底面中心的连线垂直于底面.(　　) √ √ 2.下面各图形所表示的几何体中,不是棱锥的为(　　) A 解析 A不符合棱锥定义,不是棱锥,B为四棱锥,C,D均为五棱锥. 3.(2025河南焦作高一期中)关于正九棱锥,下列判断错误的是(　　) A.正九棱锥有18条棱 B.正九棱锥的侧棱都相等 C.正九棱锥有18个面 D.正九棱锥的底面是正九边形 C 解析 正九棱锥有18条棱、10个面,正九棱锥的侧棱都相等,正九棱锥的底面是正九边形.故选C. 知识点4　棱台的结构特征 棱台 图形及表示 定义 用一个　　　　　棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台  用表示底面各顶点的字母表示.   如图棱台可记作:棱台ABCD-A'B'C'D' 平行于 棱台 图形及表示 相关 概念 上底面:原棱锥的截面叫做棱台的上底面; 下底面:原棱锥的底面叫做棱台的下底面; 侧面:其余各面叫做棱台的侧面; 侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点叫做棱台的顶点   分类 ①依据:由几棱锥截得; ②举例:三棱台(由三棱锥所截得)、　　　　　(由四棱锥所截得)……  四棱台 名师点睛 1.棱台上、下底面互相平行,且是两个相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方. 2.棱台的侧面均为梯形. 思考辨析 延长棱台的各条侧棱是否一定相交? 提示 一定相交,交点即为截得棱台的棱锥的顶点. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的多面体.(　　) (2)用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台.(　　) (3)有两个面平行,且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台.(　　) √ × × 2.(多选题)棱台具备的特点是(　　)　　　　　　　　　　 A.两底面平行 B.侧面都是梯形 C.侧棱都平行 D.两底面相似 ABD 解析 由棱台的定义和结构特征知C为棱台不具备的特点. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 角度1.棱柱的结构特征 【例1】 (2025河南安阳高一期中)下列说法正确的是(　　) A.棱柱的所有面都是四边形 B.棱柱的侧面一定是平行四边形 C.棱柱的侧棱不全相等 D.各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 B 解析 对于A,三棱柱的两底面是三角形,故A错误;对于B,由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形,故B正确;对于C,由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形,因为平行四边形的对边相等,所以棱柱的侧棱全相等,故C错误;对于D,各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱(如正六棱柱),但底面不一定是正方形,故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体,故D错误.故选B. 规律方法　关于棱柱的辨析 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析. ①两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除. 特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征. 变式训练1关于棱柱,下列说法正确的有　　　　　.(填序号)  ①被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱; ②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. ①② 解析 ①正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱; ②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形; ③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体. 角度2.棱锥、棱台的结构特征 【例2】 (1)下面图形中,为棱锥的是(　　) A.①③ B.①③④ C.①②④ D.①② C 解析 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体称为棱锥,显然①②④满足棱锥定义,③不满足棱锥定义,所以①②④是棱锥,③不是棱锥. (2)有下列几个命题: ①底面是正多边形的棱锥,一定是正棱锥;②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥;③正棱锥的棱都相等;④侧棱长相等,且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥,一定是正棱锥. 其中真命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 由正棱锥的定义可知:①缺少“棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面”这个条件,故不一定是正棱锥,所以①是假命题;侧棱都相等时,底面可以不是正多边形,比如一个三棱锥,侧棱都相等,但侧棱的夹角不相等,因此底面边长不相等,不是正三棱锥,所以②是假命题;棱锥的棱包括侧棱和底棱,正棱锥的侧棱都相等,底棱也相等,但侧棱和底棱可能不相等,所以③是假命题;④符合正棱锥的定义,所以④是真命题. 规律方法　棱锥、棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法 类别 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形,此面即底面 两个互相平行的面,即上、下底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 变式训练2有下列三个命题: ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A 解析 ①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A. 探究点二　空间几何体的平面展开图 【例3】 (1)(2025福建福州高一期末)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,高为5,一质点从点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线长为(　　) A. B.10 C.5 D.13 D 解析 由已知,质点绕三棱柱的侧面两周,则将三棱柱沿AA1展开,并沿底边扩大为原来的2倍,如图所示,则展开图是以2×3×2=12为底,5为高的矩形,则最短路径即为其对角线长,为=13.故选D. (2)如图是两个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体? ① ② 解 根据平面展开图,可知①为五棱柱,②为三棱台. ① ② 规律方法　1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图. 2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图. 变式训练3(2025云南曲靖高一期末)已知正三棱锥P-ABC侧棱长PA=3, ∠APB=30°.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到点A,则小蚂蚁爬行的最短距离是(　　) A.2 B.2 C.3 D.3 D 解析 将三棱锥三个侧面沿着PA剪开展开置于同一平面内,如图所示,则∠APA1=90°,所求最短距离为线段AA1的长度,而PA=3, 所以AA1=3,所以小蚂蚁爬行的最短距离为3. 故选D. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)多面体、旋转体的定义. (2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.方法归纳:举反例法,定义法. 3.常见误区:棱台的结构特征认识不清. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.下面四个几何体中,是棱台的是(　　) C 解析 A项中的几何体是棱柱; B项中的几何体是棱锥; D项中的几何体的棱AA',BB',CC',DD'没有交于一点,则D项中的几何体不是棱台; C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分,符合棱台的定义,是棱台.故选C. 1 2 3 4 1 2 3 4 2.某人用如图所示的纸片,沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①②③处应依次写上(　　) A.快、新、乐 B.乐、新、快 C.新、乐、快 D.乐、快、新 A 解析 根据四棱锥图形,正好看到“新年快乐”的字样,可知③处一定是“乐”字,故选A. 1 2 3 4 3.(多选题)(2025四川乐山高一期末)下列命题正确的有(　　) A.长方体是平行六面体 B.正四棱柱是正方体 C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D.棱台的侧面是梯形 ACD 1 2 3 4 解析 对于A,长方体是四棱柱,长方体的每个面都是矩形(属于平行四边形),因此长方体是特殊的平行六面体,故A正确. 对于B,正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直,但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等,则为正方体,否则仅为长方体.因此,正四棱柱不一定是正方体,故B错误. 对于C,若某棱锥有一个面为平行四边形,由棱锥的定义可知,该面一定为棱锥的底面,因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥,故C正确. 对于D,棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到,原棱锥的侧面为三角形,截后变为梯形,故D正确. 故选ACD. 1 2 3 4 4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为　　　　　.  解析 将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长即所求.如图,AC1=2 . 棱柱 2 $