8.1 平行四边形的性质和判定的综合运用 学案 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

盐城市北蒋实验学校八年级数学导学活动单 八年级数学·下册· 第8章 · 四边形 8.1 平行四边形的性质和判定的综合运用 【学习目标】 1、能熟练地运用平行四边形的性质与判定方法进行计算或推理． 2、进一步体会平行四边形性质与判定方法之间的相互关系． 3、进一步熟悉几何推理过程中说理的一般方法．． 【学习重点】平行四边形的性质与判定的综合运用. 【学习难点】综合运用平行四边形的性质定理与判定定理解决实际问题. 【学习过程】 一、旧知复习 1、怎样的四边形是平行四边形？ 2、平行四边形有哪些性质？ 3、怎样判定一个四边形是平行四边形？ 4、尝试练习： (1)（2024秋•泰安期末）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； B．平行四边形的对角互补； C．有两组对角相等的四边形是平行四边形 ； D．平行四边形的对角线平分每一组对角. 第2题图 第4题图 第5题图 第6题图 (2)（2025秋•哈尔滨期中）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（　　） A．8 B． C．6 D．9 (3)（2025春•廊坊期末）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（1，2），B（4，0）是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A．（﹣2，2） B．（4，2） C．（2，﹣3） D．（5，2） (4)（2025春•临县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足　 　 的条件时，四边形DEBF是平行四边形． (5)（2025春•江阴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，E为AD上一点，CF⊥BE，垂足为F，如果四边形ABCD的面积为48，BE＝7，那么CF＝ 　 　 ． (6)（2024秋•莱芜区期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　 时，四边形PDCQ是平行四边形． 二、新课讲解 1、活动一：操作思考：（2022春•汉阳区校级月考）△ABD，△ACE，△BCF，是分别以△ABC的AB、AC、BC边为一边的等边三角形． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形． （2）若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，求四边形的面积． （3）试讨论△ABC的角满足什么条件时，四边形ADFE不存在． 2、活动二：师生互动 (1)例题1（2024春•恩施市校级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G． （1）求证：AD∥BC； （2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数； （3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE， 直接写出∠CAE的度数　 ． (2)尝试练习：（2020春•昂昂溪区期末）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点． （1）直接写出点C，D的坐标； （2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． (3)例题2．（2021春•滕州市期末）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E． （1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为 ． （2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由． （3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论． (4)尝试练习：（2023春•龙华区期末）已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合． （1）请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：　 　 ，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由； （2）如图2，已知AC＝BC＝6，∠ABC＝30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM＝6，则MC的长度为　 　 ． 8.1 平行四边形的判定（3）(答案) 【学习目标】 1、能熟练地运用平行四边形的性质与判定方法进行计算或推理． 2、进一步体会平行四边形性质与判定方法之间的相互关系． 3、进一步熟悉几何推理过程中说理的一般方法．． 【学习重点】平行四边形的性质与判定的综合运用. 【学习难点】综合运用平行四边形的性质定理与判定定理解决实际问题. 【学习过程】 一、旧知复习 1、怎样的四边形是平行四边形？ 2、平行四边形有哪些性质？ 3、怎样判定一个四边形是平行四边形？ 4、尝试练习： (1)（2024秋•泰安期末）下列说法正确的是（　C　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； B．平行四边形的对角互补； C．有两组对角相等的四边形是平行四边形 ； D．平行四边形的对角线平分每一组对角. 第2题图 第4题图 第5题图 第6题图 (2)（2025秋•哈尔滨期中）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（　C　） A．8 B． C．6 D．9 (3)（2025春•廊坊期末）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（1，2），B（4，0）是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　D　） A．（﹣2，2） B．（4，2） C．（2，﹣3） D．（5，2） (4)（2025春•临县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足　AE=CF　 的条件时，四边形DEBF是平行四边形． (5)（2025春•江阴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，E为AD上一点，CF⊥BE，垂足为F，如果四边形ABCD的面积为48，BE＝7，那么CF＝ 　 ． (6)（2024秋•莱芜区期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　3或5 时，四边形PDCQ是平行四边形． 二、新课讲解 1、活动一：操作思考：（2022春•汉阳区校级月考）△ABD，△ACE，△BCF，是分别以△ABC的AB、AC、BC边为一边的等边三角形． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形． （2）若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，求四边形的面积． （3）试讨论△ABC的角满足什么条件时，四边形ADFE不存在． （1）证明：四边形ADEF是平行四边形． ∵等边三角形BCF和等边三角形ABD，∴BE＝BC，BD＝BA． 又∵∠DBE＝60°﹣∠ABF，∠ABC＝60°﹣∠ABF，∴∠DBE＝∠ABC． 在△BDF和△BCA中，，∴△BDF≌△BCA（SAS）．∴DF＝AC． ∵在等边三角形ACF中，AC＝AE，∴DF＝AE．同理DA＝EF． ∴四边形ADEF是平行四边形； （2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5， ∵∠BAC＝90°，又∵∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，∴∠FDA＝30°， 如图，过F作FM⊥AD于点M， 则可知FMFDAEAC＝1.5，且AD＝AB＝4， ∴S四边形ADEF＝AD•FM＝4×1.5＝6． （3）当D，A，E三点共线时，四边形ADFE不存在， 当∠BAC＝60°时，四边形ADFE不存在， 此时，∠DAE＝360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAE＝360°﹣60°﹣60°﹣60°＝180°， 此时D，A，E三点共线， 当△ABC中∠BAC＝60°时，四边形ADFE不存在． 2、活动二：师生互动 (1)例题1（2024春•恩施市校级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G． （1）求证：AD∥BC； （2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数； （3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE， 直接写出∠CAE的度数　 ． （1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE， ∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠DCE，∴AD∥BC； （2）解：设∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y， 则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝2∠CAE＝2x， ∵AB∥CD，∴∠AHD＝∠BAH＝x+y，∠ACD＝∠BAC＝y， △AHD中，x+2y+2z＝180°①，△ACG中，x+2x+y+z＝180°，即3x+y+z＝180°，∴6x+2y+2z＝360°②， ②﹣①得：5x＝180°，解得：x＝36°，∴∠CAE＝36°； （3）解：设∠CAE＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y， 则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝3∠CAE＝3x， ∵AB∥CD，∴∠AHD＝∠BAH＝x+y，∠ACD＝∠BAC＝y， △AHD中，x+2y+2z＝180°①，△ACG中，x+3x+y+z＝180°，∴4x+y+z＝180°，∴8x+2y+2z＝360°②， ②﹣①得：7x＝180°，解得：x，∴∠CAE；故答案为：． (2)尝试练习：（2020春•昂昂溪区期末）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点． （1）直接写出点C，D的坐标； （2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC， ∵B、点C都在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，∴D（6，4）， ∵OB＝3，∴OC＝BC﹣OB＝3，∴C（3，0）； （2）存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵D（6，4），E为线段OD的中点，∴E（3，2），且A（0，4）， 设点N的坐标为（x，y）， 如图，分情况讨论： ①当AE为对角线时，，，解得：x＝﹣3，y＝2，∴N（﹣3，2）； ②当DE为对角线时，，，解得：x＝9，y＝2，∴N'（9，2）； ③当AD为对角线时，，4，解得：x＝3，y＝6，∴N''（3，6）； 综上所述，平面内存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为（﹣3，2）或（9，2）或（3，6）． (3)例题2．（2021春•滕州市期末）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E． （1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为 PE+PF＝AB ． （2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由． （3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论． 解：（1）答：PE+PF＝AB． 证明如下：∵点P在BC上，∴PD＝0， ∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PF＝AE， ∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠B＝∠BPE，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+AE＝AB， ∵PD＝0，∴PE+PF＝AB；故答案为：PE+PF＝AB （2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∵PE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝PD+PE， ∵PF∥AC，PE∥AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PE＝AF， ∴PD+PE+PF＝AC，∴PD+PE+PF＝AB； （3）证明：同（2）可证DE＝CE，PE＝AF， ∵AE+CE＝AC，∴PF+PE﹣PD＝AC，∴PE+PF﹣PD＝AB． (4)尝试练习：（2023春•龙华区期末）已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合． （1）请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：　 　 ，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由； （2）如图2，已知AC＝BC＝6，∠ABC＝30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM＝6，则MC的长度为　 　 ． 解：（1）如图1，可以添加AM＝CN， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DM＝BN， ∴四边形MBND是平行四边形， 故答案为：AM＝CN（答案不唯一）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AMCN为平行四边形， ∴AM∥BM，∴∠MAB＝∠ABC， ∵AC＝BC＝6，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∴∠MAB＝∠CBA＝30°，∴∠MAC＝60°， ∵AC＝AM＝6，∴△ACM是等边三角形，∴MC＝6． 故答案为：6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $