第六章 平面向量及其应用（单元测评卷）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用向量是既有大小又有方向的量，但零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量是共线的，所以在概念辨析时要充分考虑零向量是否也满足，从而可作出判断. 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误； 故选：D. 2．已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设单位向量与的夹角为，由，根据向量数量积的定义与计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 3．中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 4．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 5．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得，从而根据投影向量的定义运算得答案. 【详解】因为， 所以，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C. 6．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 7．在四边形ABCD中， ．若P为线段上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，表示出，利用二次函数求最值求出最大值. 【详解】因为，以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图， ，，，，设， ，， 所以， 因为，所以当时取得最大值. 故选：B. 8．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算法则，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定成立，故A错误； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以， 又，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】由余弦定理化简得，再结合即可对A判断，由正弦定理可得，再结合，可得，当，时满足，即可对B判断；由，则可得，即可对C判断；若，可得，再结合化简得，即可对D判断. 【详解】A：由，化简得，即， 又，则，则为等腰直角三角形，故，故A正确. B：由，可得，因，即， 当，时满足，但此时，故B错误； C：由，则可化简为，即， 即，故C错误； D：若，则，则，则 代入得，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：AD. 11．如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（   ）    A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的基本定理，用和表示出可判断选项A；根据三点共线的向量表示和平面向量的线性运算，得出，进而得出，再结合平面向量共线的基本定理，即可判断选项B；根据M为线段BC的中点，，可得出、、面积之间的关系，可判断选项C；根据题目条件得出，，再利用平面向量的基本定理得出，进而可求出最大值，可判断选项D. 【详解】因为在梯形ABCD中，，， 所以, 则. 对于选项A：因为M为线段BC的中点， 所以，即, 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得. 又因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得, 又因为, 所以，解得，故， 所以, 则向量与不共线，故选项B错误； 对于选项C：因为M为线段BC的中点， 所以. 由选项B可得：， 所以；；， 所以，故选项C正确； 对于选项D：因为P为线段CD上的一个动点, 所以设，. 又因为，， 所以，则最大值，故选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 13．在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 14．如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度 ． 【答案】米 【分析】设米，由此表示出、、，在、中利用余弦定理表示出、，即可得到方程，解得即可. 【详解】依题意，，，，设米， 在中，米，在中，米， 在中，米， 在中，由余弦定理得， 即，即， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 因此，而，解得， 所以清风楼的高度为米. 故答案为：米 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积的坐标运算计算即可； （2）根据题意结合向量垂直的坐标运算求解； （3）根据向量共线的坐标表示求得，再结合向量夹角公式运算求解. 【详解】（1），， 则； （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的值为； （3）因为， 若，则，解得， 可得，，则， 且，所以向量与的夹角. 16．（15分） 在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值； (2)若，求 （i）的值； （ii）的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值； （ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）因为，可得，即， 由余弦定理可得. （2）（i）因为，故为锐角，所以， 因为，由正弦定理可得，故； （ii）因为，则，即，故为锐角， 所以， 所以， ， 因此，. 17．（15分） 如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 18．（17分） 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值； （2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解. （Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以， 所以，， ， 在中，由正弦定理可得 ； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． 19．（17分） 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.    (1)－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】(1)①成立②不成立； (2)； (3) 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立. 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得， 则，因此不成立，即②不成立 （2）由，得，且， 所以， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得； （3）依题意设，且，    因为为BC的中点，则， 因为为BD中点，同理可得 所以 由题意可知，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 7．在四边形ABCD中， ．若P为线段上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（   ）    A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，内角的对边分别为，若，则 ． 13．在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 14．如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求向量与的夹角. 16．（15分） 在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值； (2)若，求 （i）的值； （ii）的值. 17．（15分） 如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 18．（17分） 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 19．（17分） 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.    (1)－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $