寒假培优：分数的意义（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假培优讲义：分数的意义 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解分数产生的实际背景，掌握分数的意义，能正确说出一个分数表示把单位“1”平均分成几份，取其中的几份；认识单位“1”不仅可以是一个物体，也可以是一些物体组成的整体；能用分数表示部分与整体的关系。 2.预习方法：通过分苹果、分蛋糕、分小棒等实际操作活动理解“平均分”；借助画图、折纸等直观方式帮助理解；联系生活中的分物、分组等情境进行思考。 3.预习重点：理解分数的意义，特别是“单位‘1’”和“平均分”的含义。 4.温馨提示：“分数的意义”是分数学习的起点，非常重要。学习时要多动手、多举例，避免死记硬背。特别注意：分数必须建立在“平均分”的基础上，不平均分不能用分数表示。 知识梳理 1、分数的产生 （1）生活情境： 把一个蛋糕平均分给2个小朋友，每人分得多少？不能用整数表示，要用 表示。 把一条彩带平均分成3段，每段是全长的 。 分物时，如果不能正好分完，就需要用分数来表示。 （2）结论： 在进行测量、分物或计算时，往往不能得到整数的结果，这时就需要用一种新的数——分数来表示。 2、分数的意义 （1）单位“1” 一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常叫作单位“1”。 例如：一个苹果、一米长的绳子、一盒6个鸡蛋、全班40名同学，都可以看作单位“1”。 （2）平均分 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。 “平均分”是前提，不平均分不能用分数表示。 （3）分数的组成 分数由三部分组成：分子、分母、分数线。 分母：表示把单位“1”平均分成的份数； 分子：表示取了其中的几份； 分数线：表示“平均分”的意思。 （4）举例说明 ：表示把单位“1”平均分成4份，取了其中的3份。 ：表示把单位“1”平均分成5份，取了其中的2份。 3、分数的表示方法 （1）图形表示法：用圆形、长方形等图形平均分后涂色表示。 如：把一个圆平均分成4份，涂其中3份，表示 。 （2）实物表示法：用小棒、苹果、同学分组等表示。 如：把6根小棒平均分成3份，每份是 ，每份2根。 （3）单位“1”是多个物体的例子： 把12个苹果平均分成4份，每份是 ，每份3个苹果。 4、分数与除法的关系（初步感知） （1）把一个物体平均分，就是除法运算。 如：把1个蛋糕平均分给3人，每人分得 个，就是 。 （2）分数可以看作两个数相除的结果，但本讲义仅作简单渗透，不深入展开。 例题讲解 【典型例题1】 用分数表示下面各图中的涂色部分，并写出每个分数的含义。 （1）一个长方形平均分成5份，涂了2份。 （2）6个圆圈，圈出其中的2个，表示把这6个圆看作单位“1”。 解析： （1）长方形被平均分成5份，涂了2份，表示 。 含义：把一个长方形平均分成5份，取了其中的2份。 （2）6个圆圈看作单位“1”，平均分成3份（每份2个），圈出1份，表示 。 注意：虽然圈了2个，但关键是“平均分成几份”，这里平均分成3份，取了1份，所以是 。 答： （1） ，表示把长方形平均分成5份，取其中2份； （2） ，表示把6个圆圈看作单位“1”，平均分成3份，取其中1份。 【跟踪练习】 1. 一个圆平均分成8份，涂了3份，用分数表示是（ ），表示（      ）。 2. 把10个五角星看作单位“1”，平均分成5份，取其中2份，用分数表示是（ ），每份有（ ）个。 【典型例题2】 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）把一个西瓜分成3块，每块是它的 。 （2）把一筐苹果平均分成6份，取了2份，用 表示。 （3）分数的分母可以是任何数，包括0。 解析： （1）错误。没有说明“平均分”，如果不平均分，每块大小不同，就不能用 表示。 （2）正确。单位“1”是一筐苹果，平均分成6份，取2份，正好是 。 （3）错误。分母表示平均分的份数，份数不能为0，所以分母不能是0。 答： （1）错误，未平均分； （2）正确； （3）错误，分母不能为0。 【跟踪练习】 判断对错，并改正错误说法： 1.把一张纸分成4份，每份是它的 。 2.把8个面包平均分成4份，每份是 。 3. 表示把单位“1”分成7份，取了3份。 【典型例题3】 用分数表示下列情况中的“部分”： （1）把一条1米长的绳子平均分成10段，每段长多少米？ （2）五（1）班有45名同学，其中男生有23人，男生占全班人数的几分之几？ 解析： （1）1米平均分成10段，每段是 （米）。 所以每段长 米。 （2）全班45人是单位“1”，男生23人，就是把单位“1”平均分成45份，取了23份，所以男生占 。 答： （1）每段长 米； （2）男生占全班人数的 。 【跟踪练习】 1.把2千克大米平均分成8份，每份是多少千克？ 2.一个小组有6人，其中女生有4人，女生占小组人数的几分之几？ 答案及解析 【跟踪练习1】 1. ，表示把一个圆平均分成8份，取了其中的3份。 2. ，每份有2个。 解析：10个平均分成5份，每份2个；取2份，就是 。 【跟踪练习2】 1.错误。改正：把一张纸平均分成4份，每份是它的 。 2.正确。每份是 （因为平均分成4份，每份就是 ）。 3.错误。改正： 表示把单位“1”平均分成7份，取了3份。 强调“平均分”是关键。 【跟踪练习3】 1. （千克） 每份是 千克。 2. 女生占小组人数的 。 可以写成 ，后续学习中会化简为 ，但本讲义不要求化简。 培优练习 一、选择题 1．“女生人数的就是男生人数”这句话的单位“1”是（    ）。 A．女生人数 B．男生人数 C．全班人数 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”，进行解答即可。 【详解】“女生人数的就是男生人数”的意思就是：“男生人数是女生人数的”，所以这句话的单位“1”是女生人数。 故答案为：A。 2．（A、B都不为0），则A（    ）B。 A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定 【答案】B 【分析】分数的分子相当于被除数、分母相当于除数、分数值相当于商，如果A是1，则B是2，B是A的2倍，由此确定A和B的大小关系。 【详解】（A、B都不为0），根据分数与除法的关系，B是A的2倍，则A＜B。 故答案为：B 3．某班有男生40人，女生30人，算式30÷（40＋30）所表示的是（    ）的几分之几？ A．女生是男生 B．男生是女生 C．男生是全班 D．女生是全班 【答案】D 【分析】“谁是谁的几分之几”要用除法计算，在算式中被除数就是比较量，除数就是单位“1”的量。 【详解】算式，30是女生人数，是全班人数，这个算式表示的是女生人数是全班人数的几分之几。 故答案为：D 4．一根圆棒的是，这根圆棒的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；根据题意可知，一根圆棒的是，即把这根圆棒平均分成4份，其中1份是，就是的3个长度，据此解答。 【详解】 A．，表示这根圆棒的，不符合题意。 B．，表示这根圆棒的，不符合题意。 C．，表示这根圆棒的，符合题意。 D．，表示这根圆棒的，不符合题意。 一根圆棒的是，这根圆棒的是。 故答案为：C 5．把一段绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】将这段绳子看成单位“1”，根据第二段占全长的，那么第二段就是占7份中的1份，第一段就是占7份中的6份即，两者进行比较。 【详解】根据分析，第一段占全长的，第二段占全长的 ＞，即第一段长； 故答案为：A 二、填空题 6．看图按要求填一填。 每枝花是这盆花的。 每个苹果是这盘苹果的。 每个气球是这些气球的。 每天吃的药是这盒药的。 【答案】；； ； 【分析】这盆花共有4枝，将这盆花看作一个整体，平均分成4份，每枝花是其中的1份，所以每枝花是这盆花的； 这盘苹果共有6个，将这盘苹果看作一个整体，平均分成6份，每个苹果是其中的1份，所以每个苹果是这盘苹果的； 这些气球共有7个，将这些气球看作一个整体，平均分成7份，每个气球是其中的1份，所以每个气球是这些气球的； 这盒药共60片，每天吃2片，将这盒药看作一个整体，平均分成60份，每天吃的2片是其中的2份，所以每天吃的药是这盒药的。 【详解】根据分析可知填空如下： 每枝花是这盆花的；每个苹果是这盘苹果的； 每个气球是这些气球的；每天吃的药是这盒药的。 7．一副完整的扑克牌，去掉大小王一共有52张，混合后从中任意取出1张。按花色分，有4种可能的结果，抽中方片的可能性为( )。 【答案】 【分析】去掉大小王后总牌数52张，一共有4种花色，其中方片占其中的1种，求抽出方片的可能性，用1÷4解答。 【详解】1÷4＝ 一副完整的扑克牌，去掉大小王一共有52张，混合后从中任意取出1张。按花色分，有4种可能的结果，抽中方片的可能性为。 8．4个是( )，里有( )个。 【答案】 7 【分析】分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位，据此填空。 【详解】4个是，里有7个。 9．王奶奶家养鸭的只数比鸡的只数少，这里把( )看作单位“1”，鸭的只数相当于鸡的( )。 【答案】 鸡的只数 【分析】分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，分母是分成的份数，分子表示占其中的几份，这个整体就是单位“1”；据此解答。 【详解】表示把鸡的只数看作单位“1”，平均分成3份，鸭的只数比鸡的只数少1份，即鸭的只数是3－1＝2（份），所以鸭的只数相当于鸡的。 王奶奶家养鸭的只数比鸡的只数少，这里把鸡的只数看作单位“1”，鸭的只数相当于鸡的。 10．一张A4纸，连续对折三次，得到的图形是整张纸的( )。 【答案】 【分析】把一张A4纸对折1次，这张纸被平均分成了2份，每份是这张纸的；对折2次，这张纸被平均分成了4份，每份是这张纸的；对折3次，这张纸被平均分成了8份，每份是这张纸的；据此解答。 【详解】一张A4纸，连续对折三次，得到的图形是整张纸的。 三、判断题 11．甲比乙多米，也就是乙比甲少米。( ) 【答案】√ 【分析】分数后面带有单位“米”，表示具体的长度。甲比乙多米，说明两者的差值是固定的具体量，因此乙比甲少的量也应为米。 【详解】根据分析可知，米是具体的长度，甲比乙多米，也就是乙比甲少米，原题的说法正确。 故答案为：√ 12．鸭的孵化期比鸡的孵化期长，是把鸭的孵化期看作单位“1”。( ) 【答案】× 【分析】根据判断单位“1”的方法，在比较语句中，一般把“比”后面的量看作单位“1”。 【详解】鸭的孵化期比鸡的孵化期长，“比”后面是鸡的孵化期，因此是把鸡的孵化期看作单位“1”。原题说法错误。 故答案为：× 13．把10克盐放入100克水中，充分溶解后，这时盐的质量占盐水总质量的。( ) 【答案】× 【分析】先用10加100计算出盐水的总质量；再根据“求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算”，用盐的质量除以盐水总质量即可。 【详解】10÷（10＋100） ＝10÷110 ＝ 把10克盐放入100克水中，充分溶解后，这时盐的质量占盐水总质量的。原说法错误。 故答案为：× 14．一袋花生，已经吃了kg，还剩全部的没吃。已经吃的和剩下的相比，吃的多。( ) 【答案】× 【分析】将这袋花生的总质量看作单位“1”，剩下的占全部的，则已经吃的占总质量的。直接比较吃的分率与剩下的分率的大小即可。 【详解】 ＞，剩下的多，原题说法错误。 故答案为：× 15．合唱队男生人数比女生少，则女生人数是男生的。( ) 【答案】 × 【分析】“男生人数比女生少 ”表示把女生人数平均分成6份，男生是6－1＝5份，所以女生是男生的，因此，题干说法错误。 【详解】男生：（份） 女生人数是男生的： 因为 所以说法错误。 故答案为：× 四、解答题 16．烩面是一种荤、素、汤、菜、饭兼而有之的河南传统美食，味道鲜美，营养丰富，享誉中原，遍及全国。李师傅用3千克面团制作了25小碗烩面。 （1）平均每小碗烩面用面多少千克？ （2）如果改成大碗烩面，可以制作16碗，那么平均每大碗烩面用面多少千克？ 【答案】（1）千克    （2）千克 【分析】（1）已知李师傅用3千克面团制作了25小碗烩面，求平均每小碗烩面用面的重量，用总面团重量除以小碗数量，所得的结果用分数表示，据此解答。 （2）求平均每大碗烩面用面的重量，用总面团重量除以大碗数量，所得的结果用分数表示，据此解答。 【详解】（1）（千克） 答：平均每小碗烩面用面千克。 （2）（千克） 答：平均每大碗烩面用面千克。 17．工人师傅要修一条长120米的水渠，已经修了75米，未修的是已修的几分之几？ 【答案】 【分析】求未修的是已修的几分之几，用未修的长度除以已修的长度即可。用120减去75求出未修的长度，用45除以75，根据分数的基本性质：分子分母同时乘或除以一个数（0除外），分数大小不变，分子分母同时除以15化简即可，据此解答。 【详解】120－75＝45（米） 45÷75＝ 答：未修的是已修的。 18．学校科技节需要为嘉宾准备480把椅子，若六（1）班同学单独去搬，需要10分钟搬完，若六（2）班同学单独去搬，需要12分钟搬完。若两个班同时搬，6分钟能搬完吗？ 【答案】能 【分析】这是典型的工程问题，解题核心是先求出两个班的工作效率，再通过效率计算合作的工作量或工作时间，进而和6分钟做比较。具体思考过程：以480把椅子为具体工作总量，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别算出六（1）班和六（2）班每分钟搬椅子的数量，再求出两班合作6分钟搬的总数量，与480把对比。 【详解】六（1）班每分钟搬的数量：480÷10＝48（把/分钟）； 六（2）班每分钟搬的数量：480÷12＝40（把/分钟）； 两班合作每分钟搬的数量：48＋40＝88（把/分钟）； 两班6分钟搬的总数量：88×6＝528（把）； 因为528＞480，所以6分钟能搬完。 答：若两个班同时搬6分钟能搬完。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：分数的意义 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解分数产生的实际背景，掌握分数的意义，能正确说出一个分数表示把单位“1”平均分成几份，取其中的几份；认识单位“1”不仅可以是一个物体，也可以是一些物体组成的整体；能用分数表示部分与整体的关系。 2.预习方法：通过分苹果、分蛋糕、分小棒等实际操作活动理解“平均分”；借助画图、折纸等直观方式帮助理解；联系生活中的分物、分组等情境进行思考。 3.预习重点：理解分数的意义，特别是“单位‘1’”和“平均分”的含义。 4.温馨提示：“分数的意义”是分数学习的起点，非常重要。学习时要多动手、多举例，避免死记硬背。特别注意：分数必须建立在“平均分”的基础上，不平均分不能用分数表示。 知识梳理 1、分数的产生 （1）生活情境： 把一个蛋糕平均分给2个小朋友，每人分得多少？不能用整数表示，要用 表示。 把一条彩带平均分成3段，每段是全长的 。 分物时，如果不能正好分完，就需要用分数来表示。 （2）结论： 在进行测量、分物或计算时，往往不能得到整数的结果，这时就需要用一种新的数——分数来表示。 2、分数的意义 （1）单位“1” 一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常叫作单位“1”。 例如：一个苹果、一米长的绳子、一盒6个鸡蛋、全班40名同学，都可以看作单位“1”。 （2）平均分 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。 “平均分”是前提，不平均分不能用分数表示。 （3）分数的组成 分数由三部分组成：分子、分母、分数线。 分母：表示把单位“1”平均分成的份数； 分子：表示取了其中的几份； 分数线：表示“平均分”的意思。 （4）举例说明 ：表示把单位“1”平均分成4份，取了其中的3份。 ：表示把单位“1”平均分成5份，取了其中的2份。 3、分数的表示方法 （1）图形表示法：用圆形、长方形等图形平均分后涂色表示。 如：把一个圆平均分成4份，涂其中3份，表示 。 （2）实物表示法：用小棒、苹果、同学分组等表示。 如：把6根小棒平均分成3份，每份是 ，每份2根。 （3）单位“1”是多个物体的例子： 把12个苹果平均分成4份，每份是 ，每份3个苹果。 4、分数与除法的关系（初步感知） （1）把一个物体平均分，就是除法运算。 如：把1个蛋糕平均分给3人，每人分得 个，就是 。 （2）分数可以看作两个数相除的结果，但本讲义仅作简单渗透，不深入展开。 例题讲解 【典型例题1】 用分数表示下面各图中的涂色部分，并写出每个分数的含义。 （1）一个长方形平均分成5份，涂了2份。 （2）6个圆圈，圈出其中的2个，表示把这6个圆看作单位“1”。 解析： （1）长方形被平均分成5份，涂了2份，表示 。 含义：把一个长方形平均分成5份，取了其中的2份。 （2）6个圆圈看作单位“1”，平均分成3份（每份2个），圈出1份，表示 。 注意：虽然圈了2个，但关键是“平均分成几份”，这里平均分成3份，取了1份，所以是 。 答： （1） ，表示把长方形平均分成5份，取其中2份； （2） ，表示把6个圆圈看作单位“1”，平均分成3份，取其中1份。 【跟踪练习】 1. 一个圆平均分成8份，涂了3份，用分数表示是（ ），表示（      ）。 2. 把10个五角星看作单位“1”，平均分成5份，取其中2份，用分数表示是（ ），每份有（ ）个。 【典型例题2】 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）把一个西瓜分成3块，每块是它的 。 （2）把一筐苹果平均分成6份，取了2份，用 表示。 （3）分数的分母可以是任何数，包括0。 解析： （1）错误。没有说明“平均分”，如果不平均分，每块大小不同，就不能用 表示。 （2）正确。单位“1”是一筐苹果，平均分成6份，取2份，正好是 。 （3）错误。分母表示平均分的份数，份数不能为0，所以分母不能是0。 答： （1）错误，未平均分； （2）正确； （3）错误，分母不能为0。 【跟踪练习】 判断对错，并改正错误说法： 1.把一张纸分成4份，每份是它的 。 2.把8个面包平均分成4份，每份是 。 3. 表示把单位“1”分成7份，取了3份。 【典型例题3】 用分数表示下列情况中的“部分”： （1）把一条1米长的绳子平均分成10段，每段长多少米？ （2）五（1）班有45名同学，其中男生有23人，男生占全班人数的几分之几？ 解析： （1）1米平均分成10段，每段是 （米）。 所以每段长 米。 （2）全班45人是单位“1”，男生23人，就是把单位“1”平均分成45份，取了23份，所以男生占 。 答： （1）每段长 米； （2）男生占全班人数的 。 【跟踪练习】 1.把2千克大米平均分成8份，每份是多少千克？ 2.一个小组有6人，其中女生有4人，女生占小组人数的几分之几？ 培优练习 一、选择题 1．“女生人数的就是男生人数”这句话的单位“1”是（    ）。 A．女生人数 B．男生人数 C．全班人数 D．无法确定 2．（A、B都不为0），则A（    ）B。 A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定 3．某班有男生40人，女生30人，算式30÷（40＋30）所表示的是（    ）的几分之几？ A．女生是男生 B．男生是女生 C．男生是全班 D．女生是全班 4．一根圆棒的是，这根圆棒的是（    ）。 A． B． C． D． 5．把一段绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 D．无法确定 二、填空题 6．看图按要求填一填。 每枝花是这盆花的。 每个苹果是这盘苹果的。 每个气球是这些气球的。 每天吃的药是这盒药的。 7．一副完整的扑克牌，去掉大小王一共有52张，混合后从中任意取出1张。按花色分，有4种可能的结果，抽中方片的可能性为( )。 8．4个是( )，里有( )个。 9．王奶奶家养鸭的只数比鸡的只数少，这里把( )看作单位“1”，鸭的只数相当于鸡的( )。 10．一张A4纸，连续对折三次，得到的图形是整张纸的( )。 三、判断题 11．甲比乙多米，也就是乙比甲少米。( ) 12．鸭的孵化期比鸡的孵化期长，是把鸭的孵化期看作单位“1”。( ) 13．把10克盐放入100克水中，充分溶解后，这时盐的质量占盐水总质量的。( ) 14．一袋花生，已经吃了kg，还剩全部的没吃。已经吃的和剩下的相比，吃的多。( ) 15．合唱队男生人数比女生少，则女生人数是男生的。( ) 四、解答题 16．烩面是一种荤、素、汤、菜、饭兼而有之的河南传统美食，味道鲜美，营养丰富，享誉中原，遍及全国。李师傅用3千克面团制作了25小碗烩面。 （1）平均每小碗烩面用面多少千克？ （2）如果改成大碗烩面，可以制作16碗，那么平均每大碗烩面用面多少千克？ 17．工人师傅要修一条长120米的水渠，已经修了75米，未修的是已修的几分之几？ 18．学校科技节需要为嘉宾准备480把椅子，若六（1）班同学单独去搬，需要10分钟搬完，若六（2）班同学单独去搬，需要12分钟搬完。若两个班同时搬，6分钟能搬完吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $