19.1 二次根式及其性质（第1课时） 教案 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

19.1 二次根式及其性质 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念. 2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围. 3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题. 【过程与方法】二次根式及其性质教案 一、教学基本信息 学科：数学 学段：初中 年级：八年级 课时：1课时（45分钟） 授课类型：新授课 二、教学目标 1. 知识与技能：理解二次根式的定义，能准确判断一个式子是否为二次根式，掌握二次根式有意义的条件；熟练掌握二次根式的三个核心性质，并能运用性质进行二次根式的化简、求值。 2. 3. 过程与方法：通过观察具体实例、类比平方根的意义，经历二次根式定义的推导过程；通过猜想、验证、归纳，总结二次根式的性质，培养逻辑推理能力、抽象概括能力和运算能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受数学知识源于生活、用于生活，激发学习数学的兴趣；培养严谨的思维习惯和规范的书写格式，体会数学的严谨性和逻辑性，增强学习数学的自信心。 6. 三、教学重难点 · 重点：二次根式的定义及有意义的条件；二次根式的三个核心性质的理解与掌握；运用性质进行简单的化简与求值。 · · 难点：二次根式性质的推导过程理解；性质$$\sqrt{a^2}=|a|$$的灵活运用（区分a≥0与a<0的情况）；运用性质化简含字母的二次根式。 · 四、教学准备 多媒体课件（包含生活实例、复习题、例题、练习题、易错案例）、板书设计示意图、预习任务单（提前布置，预习平方根、算术平方根的相关知识）。 五、教学过程 （一）情境导入，引出新知（5分钟） 1. 情境提问：课件展示生活实例：① 一个正方形花坛的面积为a平方米，它的边长是多少米？② 一个直角三角形的一条直角边为3cm，另一条直角边为4cm，斜边的长度是多少cm？③ 要使代数式$$\sqrt{x-2}$$有意义，x需要满足什么条件？ 2. 3. 复习铺垫：引导学生回忆算术平方根的定义，明确“正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根”，结合实例列出式子：$$\sqrt{a}$$、$$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}$$、$$\sqrt{x-2}$$。 4. 5. 导入新课：观察列出的这些式子，它们有什么共同特点？今天我们就来学习这类特殊的式子——二次根式，以及它所具备的特殊性质，引出课题《二次根式及其性质》。 6. （二）探究新知，突破重点（18分钟） 1. 二次根式的定义 1. 观察分析：引导学生观察课件中的式子：$$\sqrt{2}$$、$$\sqrt{a}$$（a≥0）、$$\sqrt{25}$$、$$\sqrt{x-2}$$（x≥2），总结共同特征：① 含有二次根号“$$\sqrt{}$$”；② 被开方数是非负数（正数或0）。 2. 3. 归纳定义：引导学生自主归纳，得出二次根式的定义：一般地，我们把形如$$\sqrt{a}$$（其中a≥0）的式子叫做二次根式，“$$\sqrt{}$$”叫做二次根号，被开方数a必须是非负数（即a≥0），否则二次根式无意义。 4. 5. 即时练习：判断下列式子是否为二次根式，并说明理由（课件展示）：①$$\sqrt{5}$$ ②$$\sqrt{-3}$$ ③$$\sqrt{0}$$ ④$$-\sqrt{6}$$ ⑤$$\sqrt{x^2+1}$$，指名回答，重点强调“被开方数非负”这一关键条件。 6. 7. 拓展提问：当x取何值时，下列二次根式有意义？①$$\sqrt{x+3}$$ ②$$\sqrt{2x-5}$$ ③$$\sqrt{\frac{1}{x}}$$，引导学生列出不等式，求解x的取值范围，巩固“二次根式有意义的条件”。 8. 2. 二次根式的性质 1. 探究性质1：结合算术平方根的定义，引导学生思考：当a≥0时，$$\sqrt{a}$$表示a的算术平方根，那么$$(\sqrt{a})^2$$等于什么？举例验证：$$(\sqrt{2})^2=2$$、$$(\sqrt{5})^2=5$$、$$(\sqrt{0})^2=0$$，归纳得出性质1：$$(\sqrt{a})^2=a$$（a≥0），强调条件a≥0。 2. 3. 探究性质2：思考：$$\sqrt{a^2}$$与$$(\sqrt{a})^2$$是否一样？分情况讨论：① 当a≥0时，如a=3，$$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$$；② 当a<0时，如a=-3，$$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$$，归纳得出性质2：$$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a & (a\geq0) \\ -a & (a<0)\end{cases}$$，重点讲解a<0时的化简方法，突破难点。 4. 5. 探究性质3：结合乘法的意义，猜想并验证：$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$$（a≥0，b≥0），举例：$$\sqrt{4\times9}=\sqrt{36}=6$$，$$\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\times3=6$$，验证猜想成立；补充性质的逆用：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$（a≥0，b≥0），为后续化简铺垫。 6. 7. 例题讲解：课件展示例1（性质应用）：① 计算$$(\sqrt{7})^2$$、$$\sqrt{(-6)^2}$$；② 化简$$\sqrt{12}$$、$$\sqrt{x^2}$$（x为任意实数），示范解题步骤，强调性质的适用条件和化简规范。 8. （三）巩固练习，深化理解（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：课件展示8道基础题，涵盖二次根式判断、有意义的条件、性质的简单应用（化简、求值），学生独立完成，指名上台板书，教师巡视纠错，重点纠正“忽略被开方数非负”“误用性质$$\sqrt{a^2}=a$$”的错误。 2. 3. 提高题（小组合作）：设计3道提升题，如① 化简$$\sqrt{20}-\sqrt{5}$$（运用性质3逆用）；② 已知$$\sqrt{x-3}+\sqrt{y+2}=0$$，求x+y的值；③ 化简$$\sqrt{(a-1)^2}$$（分情况讨论），小组内讨论完成，教师引导学生突破难点。 4. 5. 纠错练习：展示学生常见错误案例（如$$\sqrt{(-5)^2}=-5$$、$$\sqrt{3\times2}=\sqrt{3}\times\sqrt{-2}$$），引导学生集体纠错，分析错误原因，加深对性质的理解和运用。 6. （四）课堂小结，梳理知识（5分钟） 1. 引导学生自主小结：本节课学习了哪些核心知识？二次根式的定义是什么？有意义的条件是什么？二次根式有哪三个性质？运用性质时需要注意什么？（指名回答，互相补充，完善知识点）。 2. 3. 教师总结：梳理本节课核心脉络——二次根式（定义+有意义条件）→ 二次根式的三个性质（重点掌握$$\sqrt{a^2}=|a|$$）→ 性质的应用（化简、求值），强调易错点，帮助学生构建完整的知识体系。 4. （五）布置作业，巩固提升（2分钟） 1. 基础作业：教材对应习题，完成二次根式判断、有意义条件求解、性质的简单化简与求值，确保熟练掌握核心知识点。 2. 3. 提升作业：补充4道含字母的二次根式化简题（分情况讨论），以及性质的综合应用题，提升灵活运用能力。 4. 5. 预习作业：预习二次根式的乘法运算，结合本节课性质3，尝试推导二次根式乘法法则。 6. 六、板书设计 二次根式及其性质 一、二次根式的定义 形如$$\sqrt{a}$$（a≥0）的式子叫做二次根式 关键：被开方数a≥0（二次根式有意义的条件） 二、二次根式的性质 1. $$(\sqrt{a})^2=a$$（a≥0） 例：$$(\sqrt{3})^2=3$$ 2. $$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a & (a\geq0) \\ -a & (a<0)\end{cases}$$ 例：$$\sqrt{(-4)^2}=4$$ 3. $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$$（a≥0，b≥0） 例：$$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$$ 三、易错点 1. 忽略被开方数非负；2. 误用$$\sqrt{a^2}=a$$（a<0时出错） 七、教学反思 1. 需重点关注学生对二次根式有意义条件的掌握，尤其是含字母、分式形式的二次根式，课后可增加针对性练习；2. 性质$$\sqrt{a^2}=|a|$$是难点，部分学生难以区分a的取值情况，课堂上可增加实例讲解，放慢节奏；3. 课堂练习的层次性可进一步优化，兼顾学困生和优等生需求，强化性质的灵活运用；4. 强调运算规范和书写步骤，及时纠正学生的错误思维，培养严谨的数学素养。 经历观察、比较,总结二次根式的概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力. 【情感态度与价值观】 经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 会根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围，掌握二次根式的双重非负性. 【教学难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题. 五、课前准备 教师：课件、平方根、立方根知识等. 学生：铅笔、平方根、立方根知识等. 六、教学过程 （一）导入新课（2） 广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广.实际上，广播电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系，其中R是地球半径，R≈6400 km.如果两个广播电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是. 教师问：式子表示什么?公式r=中的表示什么意义？ （二）探索新知 1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（4-7） 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点: （1）一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为_____m． （2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，那么t 为_____． 教师问：上边问题的答案是什么呢？ 学生独立思考后，教师找三名学生回答. 学生1答：（1）. 学生2答：（2） 学生3答：（3） 教师问： 这些式子分别表示什么意义？ 学生答：分别表示65，，的算术平方根． 教师问：这些式子有什么共同特征？ 学生答：①根指数都为2；②被开方数为非负数. 教师总结点拨：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.二次根式是代数式. 教师强调： （1）a可以是数，也可以是式. （2）两个必备特征：①外貌特征：含有“”； ②内在特征：被开方数a≥0. 教师出示问题： 当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义? 教师问：二次根式有意义的条件是什么？ 学生答：被开方数是非负数. 师生共同解答如下： 解：由，得. 当时，在实数范围内有意义. 教师问：当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 呢？ 学生答：因为，所以x可以为任意实数.因为，所以. 考点1：利用二次根式的定义识别二次根式 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（8） （1）； （2）81； （3）； （4）; （5）(m,n异号，)； （6）； （7）. 师生共同分析： 师生共同解答如下： 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 9，学生独立思考后口答，教师订正。 考点2：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（10） （1）；（2）. 教师问：分式的分母有何要求？ 学生答：分母不为0. 学生独立思考后，教师找两位学生解答. 学生1解：（1）由题意得，∴. 学生2解：（2）由题意得 ∴. 教师总结点拨： 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（11） （1）；（2）. 学生独立思考后，教师找两位学生解答. 学生1解：（1）∵无论x为任何实数， ， ∴当x=1时，在实数范围内有意义. 学生2解：（2）∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义. 教师总结点拨： 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 教师总结点拨：（12） 二次根式有意义的条件应用的不同类型： (1)单个二次根式如有意义的条件：； (2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：； (3)多个二次根式相加如有意义的条件： (4)二次根式与分式的和如有意义的条件： . 13，学生自主练习后口答，教师订正. 2.探究二次根式的双重非负性（14） 教师问：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？ 学生答：a的取值范围是非负数. 教师问：本身的取值范围又是什么？ 学生答：的取值范围是非负数. 师生共同总结如下：当a＞0时，表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说， 教师总结点拨：（15） 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知. 二次根式的双重非负性：①二次根式的被开方数非负；②二次根式的值非负. 考点1：利用二次根式的双重非负性求字母的值 若，求2a-b+3c的值.（16） 教师问：二次根式的值是什么数？ 学生答：是非负数. 教师问：绝对值的结果是什么数？ 学生答：是非负数. 教师问：一个数的平方是什么数？ 学生答：非负数. 教师提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 师生共同解答如下： 解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5. 17，学生自主练习，教师给出答案. 考点2：二次根式的双重非负性和不等式求字母的值 已知实数x、y满足等式，求的值.（18） 教师问：二次根式的被开方数（2-x）和（x-2）有何特点？ 学生答：（2-x）和（x-2）互为相反数. 师生共同解答如下： 解：由题意得 解得x=2. 把x=2代入得y=-5. 所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(2+5)2=49. 师生共同归纳：若，则根据被开方数0，可得a=0. 19，学生自主练习，教师给出答案。 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。 （三）课堂练习（20-26） 练习课件第20-26页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结（27） 二次根式的概念 一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. 二次根式有意义的条件 被开方数（式）为非负数 二次根式的双重非负性 （五）课前预习 预习下节课（19.1第2课时）的相关内容. 知道算术平方根的意义和=a，=a(a). 七、课后作业 1、教材第3页练习第1，2，3题. 2、培优练习19.1第1，6题. 八、板书设计 二次根式及其性质 第1课时 1．二次根式的定义和有意义的条件 考点1 考点2 2．二次根式的双重非负性 考点1 考点2 3.例题讲解 九、教学反思 成功之处： 我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课争取做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高. 不足之处：知识的掌握需要有一个内化的过程,不可能一蹴而就,由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,有部分学生不能灵活运用所学来解决相关的问题. 补救措施：在教学方案的实施上,要想方设法调动学生学习的积极性,尽量发挥学生的主体作用,团队作用. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $