28.2解直角三角形及其应用（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦解直角三角形及其应用核心知识点，系统梳理定义及锐角互余、勾股定理、三角函数等关系，延伸至坡度坡角、仰角俯角、方向角等实际应用，构建从基础理论到实践问题的学习支架。 资料通过多样化题型（如测量桥塔高度、水渠横断面计算）培养数学眼光（抽象实际问题为直角三角形）、数学思维（推理计算）、数学语言（建立模型），课中辅助教师教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

28.2解直角三角形及其应用（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册 【知识精讲】 1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【题型演练】 一、选择题 1．如图，某地修建一座高为5m 的天桥，如果斜坡AB 的坡比为1： ，那么斜坡AB 的长为(　　) A．10m B． C．5m D． 2．如图，小明在时测得某树的影长为10m，在时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A． B．8m C．6m D． 3．—配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，BC=6m，∠ABC=α，则房顶A 离地面EF 的高度为(　　) A．(4+3sinα)m B．(4+3tanα)m C． D． 4．如图，某水渠的横断面是梯形，其斜坡AD 的坡比为1：1.2，斜坡 BC 的坡比为1： 0.8，现测得放水前的水面宽 EF 为 3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为6米，则放水后水面上升的高度是(　　) A．1.2 米 B．1.1 米 C．0.8米 D．2.2 米 5．上午9 时，一艘船从点 A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达点B 处(如图).从点 A，B两处分别测得小岛M 在东北和北偏东15°方向，那么这艘船在点 B 处时与小岛M 的距离为(　　) A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里 6．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AB=3，则△AEC的面积为（　　） A．3 B．1.5 C．2 D． 7．如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为（　　） A． B． C． D． 8．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这时测到建筑物屋顶的仰角为，在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：，，） A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米 二、填空题 9．如图，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C处，这时测得小岛A在北偏东方向上，则小岛A到航线的距离为　 　 10．如图，测量船以每小时20海里的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在点 A处测得海岛上观测点D 位于北偏东 方向上，观测点C 位于北偏东 方向上.航行半个小时到达点B，这时测得海岛上观测点 C 位于北偏西 方向上，若CD 与AB 平行，则(CD=　 　海里(计算结果不取近似值). 11．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为　 　． 12． 如图，河堤AB 的坡比为1：2.4，AB 的长为5.2米，钓竿AC 与水平线的夹角为 60°，其长为 6 米，若钓 竿AC 与钓鱼线CD 的夹角也是 60°，则浮漂 D与河堤下端B 之间的距离约为　 　(结果精确到0.01米，参考数据： 13．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点之一，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的点 C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45°，底端 B 的俯角为 63°，则黄鹤楼 AB 的高度约为　 　m(参考数据：t 14．如图，在中，，，任取一点O．使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，交于点D．若的长为3，则的长为　 　． 15．物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是　 　．（参考数据：，，． 三、解答题 16．在综合与实践活动中，老师要求用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度(如图①).某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE=36m，EC⊥AB，垂足为C.在点 D 处测得桥塔顶部B的仰角( 为 ，测得桥塔底部A 的俯角(∠CDA)为6°，又在点 E 处测得桥塔顶部B 的仰角.求（参考数据： ）： （1）线段CD 的长. （2）桥塔AB 的高度(结果精确到1m). 17．图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知. （1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）. （2）如图3，当活动杆AD绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）. 18．有一水果摊，其侧面示意图如图所示，AB，CD分别是水果摊前挡板，后挡板，AB，CD均与水平地面BC 垂直，AB=50cm，CD=140cm，坡面 AD 是水果放置区，坡比为1：2，在后挡板CD的正上方点E 处安装顶棚EF，DE=60cm，且 ，此时顶棚的另一端点 F 到前挡板AB 的水平距离GB=60cm. 求： （1）水果放置区的水平宽度 BC. （2）顶棚端点 F 离地面的高度 FG(结果精确到1cm，参考数据： 19．小红和爸爸绕着小区广场锻炼.如图，在矩形广场ABCD 的边AB 的中点M 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 P 处，爸爸到达点Q 处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向.若小红到雕塑的距离 PM=30m，求小红与爸爸的距离(结果精确到 1m ，参考数据： 1.73， ≈2.45). 20．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，． 21．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米． （参考数据：，，，） 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵斜面AB的坡度，BC=5m， ∴，解得， 则. 故答案为：A. 【分析】根据坡度计算水平边AC的长度，然后利用勾股定理计算斜边AB的长度. 2．【答案】D 【解析】【解答】解： 设树高为 h ，A时树的影长为 ，B时树的影长为， 则有和 ，其中和分别是A时和B时太阳光与地面的夹角。 由两次日照的光线互相垂直，即 和互补，即， 从而 由题意，，代入得 ， 化简得， 从而 所以树的高度为米 故答案为：D 【分析】本题考查相似三角形的应用，锐角三角函数的应用. 设树高为 h ，A时树的影长为 ，B时树的影长为，利用正切的定义可得：和 ，再根据两次日照的光线互相垂直，可得 和互补，进而可得，据此可列出方程，解方程可求出h的值，求出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点D，交EF 于点 H.∵ 它是一个轴对称图形，易得 3m，∠ADB =90°.在Rt△ADB 中，∵tan∠ABC= tanα，∴AD=3tanα m.∵ 易得四边形 EGDH 为矩形，∴DH=GE=4m.∴ AH=DH+AD=(4+3tanα)m，即房顶A 离地面EF 的高度为(4+3tanα)m. 故答案为：B． 【分析】先利用轴对称图形的性质，确定BD的长度；再在直角三角形中根据正切函数的定义，求出AD的长度；最后结合矩形对边相等的性质，即求出房顶A离地面EF的总高度． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点 E 作 EM⊥GH 于点 M，过点 F 作 FN⊥GH 于点N， 易得四边形 EFNM 为矩形，则MN=EF=3.8米. 设ME=FN=x米. 在 Rt△GME中， ∵斜坡AD的坡比为 1： 1.2， ∴ ME ：GM=1 ：1.2. ∴GM=1.2x 米. 在 Rt△NHF中， ∵ 斜坡 BC 的坡比为 1 ： 0.8， ∴ NF： NH =1 ： 0.8. ∴ NH =0.8x 米. ∴ GH =(1.2x+0.8x+3.8)米. 又∵GH=6米， ∴ 1.2x+0.8x+3.8=6，解得x=1.1. ∴ 放水后水面上升的高度是1.1米. 故答案为：B. 【分析】过点 E 作 EM⊥GH 于点 M，过点 F 作 FN⊥GH 于点N，根据等腰梯形的性质计算水面宽度增加量，然后利用斜坡坡度的定义计算水面上升的高度. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：过点B 作BN⊥AM 于点N. 根据题意，得 AB=40×1=40(海里)，∠MAB=45°，∠ABM=105°. 在 Rt△ABN 中，BN =AB · (海里). 在 Rt△BNM 中， 易 得 ∠MBN = 则∠M=30°， ∴ BM= 海里. 故答案为：D . 【分析】过点B作BN⊥AM于点N，根据三角函数求BN的长，从而求BM的长. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC'=AC， ∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°， 即∠DAC=60°， ∴∠DAD'=60°， ∴∠DAE=30°， ∴∠EAC=∠ACD=30°， ∴AE=CE， 在Rt△ADE中，设AE=EC=x， 则DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD=AB·tan30°=×3=， 根据勾股定理得：， 解得：x=2， ∴EC=2， 则S△AEC=EC•AD=． 故选：D． 【分析】本题综合考查矩形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理.关键是通过旋转的性质得出线段关系，进而确定角的度数，再结合勾股定理求解线段长度，最终计算面积. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，，，， ， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为点， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 故答案为：． 【分析】由方位角补全图形，过B作BE⊥AC于点E，利用二直线平行，内错角相等得∠ACN=∠DAC=15°，∠BAD=∠ABQ=45°，由角的和差得出∠ACB=45°，∠BAC=30°，从而得到△BEC是等腰直角三角形，设BE=CE=xkm，用含x的式子表示出AE，在Rt△AEB中，利用∠BAE的正切函数及特殊锐角三角函数求得x的值；在Rt△BEC中，利用∠BCE的余弦函数及特殊锐角三角函数值求得BC的长. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：设米，延长交于，作于，于， ， 在中，米，， 米，米， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 在中，， 米， 米，米， 在中，， ， ， 米， 米， 故答案为：D． 【分析】设米，延长交于，作于，于，根据边之间的关系可得米，米，再根据矩形性质可得米，根据等腰直角三角形性质可得米，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案. 9．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：过点A作交的延长线于点E， 由题意得：海里，， ∴， ∴， ∴海里， 在中，， ∴（海里）， 即小岛A到航线的距离是海里， 故答案为：． 【分析】要求A到BC的距离，则过点A作交的延长线于点E，即求AE的长度，由三角形的外角性质得，根据等角对等边可知，再由锐角三角函数定义求出的长即可． 10．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点 D作DE⊥AC，垂足为E. 由题意，得 (海里)，∠FAD= ∠FAC-∠FAD = 30°，∠CAB =∠FAB-∠FAC=45°. ∴ ∠ACB=180°-∠CAB - ∠CBA = 90°. 在Rt△ACB 中， (海里). 设DE=x海里，在 Rt△ADE 中， (海里). ∵ DC∥AB， ∴∠DCA=∠CAB = 45°. 在 Rt△DEC 中，CE = 海里， (海里). ∵AE+EC=AC， ∴ 海里. 故答案为：． 【分析】先通过作辅助线构造直角三角形，利用方位角和角度关系，求出相关角的度数；再结合三角函数的定义和线段的和差关系建立方程，求解出DE的长度；最后根据三角函数，即可求出CD的长度． 11．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【分析】解直角三角形可得AB，AD，再根据边之间的关系即可求出答案. 12．【答案】2.35米 【解析】【解答】解：如图，延长CA，交DB 的延长线于点E，过点A 作AF⊥BE 于点F. ∵ AB 的坡比为1：2.4， 设AF=5x米，则BF=12x米. 在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 即 解得x=0.4(负值舍去). ∴AF=2米，BF=4.8米. 由题意，得 AC = 6 米，∠CAG =∠C=60°，AG∥ED， ∴∠AEF=60°. ∴ △CDE 是等边三角形. ∴ EF = 米，AE = 米. ∴ DE=CE= 米. ∴BD= 4.8≈2.35(米)， 即浮漂 D 与河堤下端B 之间的距离约为2.35米. 故答案为：2.35米. 【分析】延长CA，交DB 的延长线于点E，过点A 作AF⊥BE 于点F，利用正切的概念求出AE、EF、BF，再证△CDE为等边三角形，求出DE，即可求解. 13．【答案】51 【解析】【解答】解：如图，延长BA交CH 于点 H， 由题意，得∠ABD=∠CDB= ∴ 四边形 BDCH 是矩形. ∴ BH=CD=102m. 在 Rt△BCH 中，∠BCH= 在Rt△ACH 中，∠ACH= CH=51m. ∴ AB=BH-AH=51m. ∴ 黄鹤楼AB 的高度约为51m. 故答案为：51. 【分析】延长BA交CH于H，在Rt△BCH中和Rt△ACH中，解直角三角形求出CH，AH，即可求出答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：由作图可知， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】根据等腰直角三角形和30°的直角三角形的性质求出，，然后根据线段的和差解答即可． 15．【答案】 【解析】【解答】解：过点作于点， 由折射率的定义得， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， 根据勾股定理，， 即， 解得， 故答案为：3.75。 【分析】过点作于点，根据折射率的定义得，，代入数据，求出，设，在中，根据勾股定理： ，代入数据即可求解。 16．【答案】（1）解：设CD=xm. ∵ DE=36m， ∴CE=CD+DE=(x+36)m. ∵EC⊥AB， ∴∠BCE=∠ACD=90°. ∴BC=CD·tan∠CDB=x m. ∴ BC=CE·tan∠CEB= 解得x=54. ∴ 线段CD 的长约为54m. （2）解： ∴ AB=AC+BC=5.4+54≈59(m). ∴ 桥塔AB 的高度约为59m. 【解析】【分析】（1）先通过设未知数，结合直角三角形中三角函数的定义建立方程；解方程即可求出线段CD的长度； （2）再在直角三形中，利用正切函数的定义，即可求出桥塔AB的高度． 17．【答案】（1）过点作，垂足为， 由题意，得， ， . 在Rt中，， 可伸缩支撑杆CD的长度为. （2）过点作，交BC的延长线于点，交于点， 由题意，得. 在Rt中，， 设，则， . ， ， 解得， ， ， . ， ， 在Rt中，， 此时可伸缩支撑杆CD的长度为. 【解析】【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数的应用. (1)过点作，垂足为，根据题意可得，利用线段的运算可求出ED，利用勾股定理可得：，代入数据可求出CD进而可求出答案； (2)过点作，交BC的延长线于点，交于点，利用正切的定义可得： ，设，则，利用勾股定理可求出AD，再根据，可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出AG，DG，利用线段的运算可求出DF和CF，利用勾股定理可得：，代入数据可求出CD，进而可求出答案. 18．【答案】（1）解：如图，过点A 作AM⊥CD 于点M. ∵AB⊥CG，CD⊥CG， ∴∠AMC=∠ABC=∠C=90°. ∴ 四边形 ABCM 是矩形. ∴CM=AB=50cm，BC=AM. ∵CD=140cm， ∴ DM=CD-CM=90cm. ∵坡比为1：2， ∴ AM=2DM=180cm. ∴ BC=AM=180cm. ∴水果放置区的水平宽度 BC 为180 cm （2）解：如图，过点 E 作 EN⊥FG 于点N，则易得四边形CENG 是矩形. ∴ NG=CE=CD+DE=200 cm，∠CEN=90°，EN=CG=BC+BG=180+60=240(cm). ∵∠CEF=108°， ∴∠FEN=18°. 76.8(cm). ∴ FG=FN+GN =76.8+200≈277(cm). ∴ 顶棚端点 F 离地面的高度 FG 约为277 cm 【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥CD 于点M，然后得到四边形ABCM是矩形，然后得到DM的长，根据坡比为1：2，即可得到BC的长； （2）过点 E 作 EN⊥FG 于点N，则易得四边形CENG 是矩形，然后得到NG和EN的长，然后得到∠FEN的度数，然后在直角三角形EFN中，由三角函数即可计算FG的高度. 19．【答案】解：如图，过点 Q 作QE⊥AD 于点E，则∠QEA=90°. ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=90°. 在 Rt△PAM 中， AM = PM · ∵ M 是边AB 的中点， ∵∠A=∠B=∠QEA=90°， ∴ 四边形ABQE 为矩形. 在 Rt△QEP 中， 20×2.45=49(m). ∴ 小红与爸爸的距离约为49 m 【解析】【分析】过点 Q 作QE⊥AD 于点E，则四边形ABQE是矩形，由解直角三角形求出AM的长度，再根据M 是边AB 的中点的性质，进而可求出，然后求出PQ即可. 20．【答案】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方， ∴是直角三角形， ∴， ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°， 在Rt△ACD中，，CD=90米， ∴（米）， ∵， ∴ ∴， ∴ 即是直角三角形， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：A，B两点间的距离为96米． 【解析】【分析】根据题意先求出是直角三角形，再求出是直角三角形，最后利用锐角三角函数计算求解即可. 21．【答案】解：如图，延长EF交AG于点H，则， 过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形， ∴，． 由，可设，则， 由可得， 解得或（舍去）， ∴，， 设米，米， 在中， 即，则① 在中，， 即② 由①②得，． 答：塔顶到地面的高度EF约为47米 【解析】【分析】延长EF交AG于点H，过点B作于点P，易证四边形BFHP为矩形，利用矩形的性质可证得FB=HP，FH=BP，利用坡比的定义，设，利用勾股定理求出x的值，可得到BP、AP的长；设米，米，再利用解直角三角形求出a与b的数量关系，同时可得到关于b的方程，解方程求出a、b的值，可得到a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $