1.4 线段的垂直平分线（分层题型专练，3夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.4 线段的垂直平分线 （分层题型专练） 题型一 线段垂直平分线的概念与 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ）． A．三角形两边垂直平分线交点 B．三角形两个内角平分线交点 C．三角形两条中线交点 D．三角形两条高线所在直线的交点 2．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D、E，连接，交于点P，连接．则与的长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 5．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 6．在学习三角形一章时，老师这样说：“学习一个几何图形我们最先研究它的基本元素，如边和角，然后要研究一些隐含的线段，这些隐含的线段在哪里呢？我们可以用运动的观点去寻找，比如图中，点是边上一个动点，与点连接构成线段，当点从点移动到点的过程中，你会发现在某一时刻会与三角形的边和角存在特殊的关系，这个时候我们就得到了这些隐含的线段”通过老师的这段话，你认为线段不可能是（    ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．边的垂直平分线 7．如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 题型二 线段垂直平分线的判定 1．到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（     ）的交点． A．三边中垂线 B．三条中线 C．三条高 D．三条内角平分线 2．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 3．如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 题型三 尺规作线段的垂直平分线 1．观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 2．如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．在中，，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心为半径画弧，交于点D；②分别以C，D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（    ） A．E是中点 B． C． D． 4．如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5．观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 6．如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 7．“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线．则直线．这样作图的理由是 ． 题型一 根据线段垂直平分线的性质求周长 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 3．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知在中，，垂直平分边，交边于点D，交边于点E．若，，的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．14 5．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（    ） A．28 B．22 C．19 D．15 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的周长为 ． 8．如图，是线段的垂直平分线．若，，则四边形的周长为 ． 题型二 角度问题 1．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 3．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于为半径画弧，分别交于点； ②作直线，与边交于点； ③连接． 若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 题型三 求线段的长 1．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 2．如图，是边的垂直平分线，若，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 3．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 题型四 线段垂直平分线在求面积中的应用 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点、；②作直线交于点． 若，，，则的面积等于（   ） A．15 B．12 C．14 D．28 2．如图，在中，，于点D，E是上的点，且在的垂直平分线上．若的周长为b，．则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：    ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，与交于点F； ④连接． 若，，则面积为（   ） A． B． C．2 D． 4．如图，在中，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长，，求的面积． 题型五 最值问题 1．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则周长的最小值是（    ） A．6 B．13 C．12 D．11 2．如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 3．如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 4．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在中，，，，点D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D． 1． 如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，若点是的中点，点为直线上一个动点，连接、，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 2．如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在等腰中，，，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．其中，若点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为 ． 4．如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则 °；若，，则的长为 ． 5．如图，OF是的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB． (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，求线段AB与PB的数量关系． (2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 1.4 线段的垂直平分线 （分层题型专练） 题型一 线段垂直平分线的概念与 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ）． A．三角形两边垂直平分线交点 B．三角形两个内角平分线交点 C．三角形两条中线交点 D．三角形两条高线所在直线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行判断即可． 【详解】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：A． 2．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 3．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，根据垂线的性质可得出结论．根据尺规作图的痕迹可知：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质即可解答． 【详解】解：∵由作图可知：是的垂直平分线， ∴，，， ∴，故D选项符合题意； 根据已知无法确定A、B、C项； 故选：D． 4．如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D、E，连接，交于点P，连接．则与的长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 故选：D． 5．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 6．在学习三角形一章时，老师这样说：“学习一个几何图形我们最先研究它的基本元素，如边和角，然后要研究一些隐含的线段，这些隐含的线段在哪里呢？我们可以用运动的观点去寻找，比如图中，点是边上一个动点，与点连接构成线段，当点从点移动到点的过程中，你会发现在某一时刻会与三角形的边和角存在特殊的关系，这个时候我们就得到了这些隐含的线段”通过老师的这段话，你认为线段不可能是（    ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．边的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线、三角形的角平分线、中线和高，熟记相关的概念是解题的关键．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、线段垂直平分线的概念判断． 【详解】解：当时，线段是高线； 当时，线段是中线； 当时，线段是角平分线； ∵线段垂直平分线是直线， ∴线段不可能是垂直平分线； 故选：D． 7．如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得到结论． 本题考查了作图-基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小明完成的是的垂直平分线， 故选：B． 题型二 线段垂直平分线的判定 1．到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（     ）的交点． A．三边中垂线 B．三条中线 C．三条高 D．三条内角平分线 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵到线段两端点距离都相等的点在这条线段的中垂线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形三边的中垂线 故选∶ A． 2．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 3．如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 题型三 尺规作线段的垂直平分线 1．观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 2．如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，先由线段的和差关系得到，由作图方法可知垂直平分，则． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴， 故选：C． 3．在中，，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心为半径画弧，交于点D；②分别以C，D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（    ） A．E是中点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作垂线的方法是解题的关键．根据尺规作图即可解答． 【详解】解：由作图可得，是的垂线， ． 故选：C． 4．如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【分析】利用基本作图得到m＞AB，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得m＞AB， 即b＞2， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 5．观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【答案】C 【分析】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【详解】由作图痕迹可知，该作法为过直线外一点作已知直线的垂线． 故选：C． 6．如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角与已知角相等，作三角形的高，熟练掌握作图方法是解题关键； 分析两个作图方法，然后判断即可． 【详解】解：甲的作法：由作图痕迹可知， ， ， ， 即是上的高， 乙的作法由作图痕迹即为的高， 故两名同学作法都对； 故选：D． 7．“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线．则直线．这样作图的理由是 ． 【答案】三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）或垂直平分线的定义即可得出结论． 【详解】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 故答案为：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 【点睛】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的定义和性质等知识，解题的关键是理解题意，熟记等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义和性质． 题型一 根据线段垂直平分线的性质求周长 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， ． 故选：． 3．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键． 由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得的周长． 【详解】解： 与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为5． 故选：C． 4．如图，已知在中，，垂直平分边，交边于点D，交边于点E．若，，的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质可得，然后根据“的周长”即可得解． 【详解】解：垂直平分边， ， 的周长 ， 故选：． 5．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，再计算的周长即可． 【详解】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故选：A． 6．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（    ） A．28 B．22 C．19 D．15 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 故选：B． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】26 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，进而得到的周长等于，据此解答即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为 ， 故答案为：26． 8．如图，是线段的垂直平分线．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：是线段的垂直平分线， ，， 四边形的周长 ， 故答案为：． 题型二 角度问题 1．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，再另一条角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出，再根据，可设出，再根据直角三角形的性质列出方程，求出的度数即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 即， 故选：B． 5．如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于为半径画弧，分别交于点； ②作直线，与边交于点； ③连接． 若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，由作图知：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由作图知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 题型三 求线段的长 1．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，先由的周长求出，再根据垂直平分线的性质即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴． 故选：D． 2．如图，是边的垂直平分线，若，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，且， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质．根据是边的垂直平分线得，再根据的周长是即可得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为（）， 故答案为：． 题型四 线段垂直平分线在求面积中的应用 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点、；②作直线交于点． 若，，，则的面积等于（   ） A．15 B．12 C．14 D．28 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法与性质，等腰三角形与直角三角形的判定，三角形面积公式，判断出为的垂直平分线是解题关键． 根据题意可知为的垂直平分线，可得，由等边对等角和可得，根据勾股定理求出、，再根据三角形面积公式可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 根据题意可知垂直平分， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 2．如图，在中，，于点D，E是上的点，且在的垂直平分线上．若的周长为b，．则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可得，再结合已知条件求出的长，进而求出的长，最后根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵E是上的点，且在的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为b， ∴， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：    ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，与交于点F； ④连接． 若，，则面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知：平分，是的垂直平分线，结合等腰三角形的性质得，设，则，在中，可根据勾股定理求得x的值，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， ∵， ∴，， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∵， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键． 4．如图，在中，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图与性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图与性质、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解； （2）过点作于点，由题意易得，则有，然后可得，则根据勾股定理可得，进而根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：如图，直线为所求的垂直平分线； （2）解：过点作于点，则， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． 题型五 最值问题 1．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则周长的最小值是（    ） A．6 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质，周长的知识，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意，连接，由垂直平分线的性质可得，再根据周长，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， ∵， ∴周长， ∴周长的最小值是， 故选：D． 2．如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 3．如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，由题意可得，根据“三角形两边之和大于第三边”，可得，可得当点是与直线的交点时，的值最小，即的周长的最小，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 直线是的垂直平分线，是直线上任意一点， ， ， 当点是与直线的交点时，，即的值最小， ，， 的周长的最小值为：． 故选：D． 4．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，再结合垂线段最短确定最小值． 由直线垂直平分得，则；当、、共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可． 【详解】解：连接，如图 直线垂直平分， ， 当、、共线且时，取得最小值，即的长． 由的面积，，得，解得， 故的最小值为5． 故选：B． 5．如图，在中，，，，点D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 延长到点，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，于是，根据点到直线的距离垂线段最短，得到的最小值就是的高，过点作于点，求即可． 【详解】解：延长到点，使得， ， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ， ， 根据点到直线的距离垂线段最短，得到的最小值就是的高， 过点作于点， ， ， ， ， ， 故选： B． 1．如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，若点是的中点，点为直线上一个动点，连接、，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，求得，再利用三角形的面积公式求得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，最后根据两点之间线段最短可得当点A、E、D共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，点D为边的中点， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴的周长为， 当点A、E、D共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题．熟练掌握等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，面积法求三角形的高，三角形周长公式，两点之间线段最短，是解题关键． 2．如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论． 【详解】解：平分 ， ， ， 又， ， ，， 垂直平分，①结论正确； 在中，，，， ， ， ，， ， 的周长，②结论正确； 设，则 在中，， ， 解得：， 的长是，③结论正确； 在中，，，， ， 和是等高三角形， ， ，④结论正确， 故选：D． 3．如图，在等腰中，，，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．其中，若点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，根据作图可知，平分，三线合一，得到垂直平分，连接，则：，，得到当三点共线时，的值最小，再根据垂线段最短，得到当 最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：根据作图可知，平分， ∵， ∴， ∴垂直平分， ，连接，则：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵N是线段上的动点， ∴当时，最小， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 4．如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则 °；若，，则的长为 ． 【答案】 45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理． 连接并延长，作，交的延长线于点F，则，由，得到，由旋转得出，则，，可证明垂直平分，则，，推导出，进而证明，证明出，得，则，求得，由，，求得，，则，利用勾股定理得到，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，作，交的延长线于点F，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵将边绕点C旋转至处， ∴， ∴，， ∵经过的中点E， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，． 5．如图，OF是的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB． (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，求线段AB与PB的数量关系． (2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．理由见解析 【分析】（1）要证AB=PB，可通过角平分线性质 + 垂直平分线性质，证明； （2）同理，仍利用角平分线、垂直平分线的性质，证明三角形全等，进而推导． 【详解】（1）解：如图①，连接． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：如图②，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是通过连接，构造全等三角形，利用 “边 - 角 - 边” 证明全等，进而推导边的关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $