19.2 二次根式的乘法与除法（分层题型专练，5夯基题型+4进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 （分层题型专练） 题型一 利用二次根式的乘法法则计算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 2．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数分别开方后相乘即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法等知识点，解题关键是掌握二次根式的乘法． 根据二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 题型二 利用二次根式的除法法则计算 1．计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的除法计算．熟悉二次根式的除法计算法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则：，进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 答案为． 故选：． 2．化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 3． ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，直接根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 5．计算：÷． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 6．计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 2．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 4．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 5．计算：． 【答案】 【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键． 题型四 判断是否是最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含平方因子，由此求解即可． 【详解】解：最简二次根式定义要求被开方数不含分母且不含平方因子； 选项A：，11为质数，无平方因子； 选项B：，，无平方因子； 选项C：，被开方数含分母； 选项D：，2为质数，无平方因子； 不是最简二次根式的是C． 故选：C． 3．任意写出一个最简二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：一个最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．在，，，，中最简二次根式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解： ， 不是最简二次根式， ， 不是最简二次根式， 最简二次根式有：，，，共个， 故答案为：． 题型五 将二次根式化为最简二次根式 1．把下列根式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． （1）把24写成，然后化简； （2）把40写成，然后化简； （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，再化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 2．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以，然后化简． （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以，然后化简； （4）分子分母都乘以，然后化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型一 二次根式乘除法的应用 1．已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：． 2．已知长方体的体积，高，求它的底面积S． 【答案】 【分析】长方体底面积等于体积除以高． 【详解】 【点睛】本题考查二次根式除法在计算长方体底面积中的应用，掌握二次根式除法、分母有理化是本题解题关键． 3．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D；再以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的除法，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再设，然后用分别表示出与，再求出的值． 【详解】解：由题意得，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 4．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为10，则△ADM与△CDM的面积之差为（    ） A．5 B．4 C． D．不确定 【答案】A 【分析】由赵爽弦图可知，正方形EFGH的边长为，即AH-AE=，AE=CG，可得AH-CG=，再表示出S△ADM-S△CDM，代入计算即可． 【详解】解：由赵爽弦图可知： 正方形EFGH的边长为， AH=DG=CF=BE，AE=DH=CG=BF， ∵DM=GH， ∴EH=AH-AE=AH-CG=， ∴S△ADM-S△CDM =DM•AH- DM•CG =DM•（AH-CG） ， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角形的面积，二次根式的乘法运算，熟练掌握赵爽弦图中包含的等量关系是解题的关键． 5．如图，在中，，平分与相交于点，若，，则的长是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过作于H， 则，证明再证明 可得 再利用勾股定理求解再利用勾股定理解方程即可． 【详解】解：如图，过作于H， 则， ∵平分， 设 则 由勾股定理可得： 解得： 即 故选A 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，“作出辅助线构建直角三角形，以便于利用角平分线的性质定理与勾股定理”是解本题的关键． 6．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（    ）． A．3 B．2张 C．1张 D．0张 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式、有理数的定义等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，5是有理数； ，不是有理数；，是有理数． 综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有2张． 故选：B． 7．已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 8.小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 【答案】11 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出有用的信息是解题的关键．作于点H，先求出，由图可得出，化简代入数值即可． 【详解】解：作于点H， 在等边中，， ， ， ， 同理，， 在中，， ， ∵，，， ， 故答案为：11． 9．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【详解】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 题型二 二次根式中的新定义问题 1．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 2．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型三 二次根式的估算 1．估算的运算结果应在（    ） A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间 【答案】C 【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算． 【详解】解：∵4，而45， ∴原式运算的结果在8到9之间； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 2．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】先用二次根式乘法进行计算，再估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的计算和估算，解题关键是熟练进行二次根式计算和估算． 3．估计的值为（     ） A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4 【答案】A 【分析】先计算二次根式的乘法运算，再化简，再利用不等式的基本性质判断结果的范围即可得到答案． 【详解】解： ＜＜ ＜＜ ＜＜ 故选： 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键． 4．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．估算的运算结果应在（   ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的除法运算法则计算，然后通过估算其取值范围即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即2和3之间． 故选B． 6．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，无理数的估算，理解算术平方根的意义，首先计算再根据算术平方根的意义得进而得由此可得的值在4和5之间，据此可得出答案，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解决问题的关键． 【详解】解： 即 的值在4和5之间， 的值在4和5之间， 故选：B． 7．判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 【答案】在24和25之间，见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算，进一步得出即可求解． 【详解】解：， ，， ， ． 题型四 二次根式乘除法中的代数式求值 1．若a＝2+，b＝2-，则ab＝（    ）． A．1 B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】根据平方差公式、二次根式乘法性质计算，即可得出答案． 【详解】∵a＝2+，b＝2-， ∴ab＝ ＝4-3 ＝1 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式、二次根式乘法的性质，从而完成求解． 2．若与互为相反数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用相反数的含义可得，再利用非负数的性质求解、 从而可得答案. 【详解】解： 与互为相反数， 且 解得：，， 故选：A 【点睛】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，二次根式的除法运算，利用非负数的性质求解，，是解本题的关键. 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先利用平方差公式进行因式分解，然后把，代入即可求解； （）先提取公因式进行分解，然后把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合完全平方公式化简二次根式． 【详解】解： 由有意义，得，即 ， ∵， ∴． 又∵， ∴原式． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子． 2．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键． ，然后根据与2的大小关系分两种情况讨论：当 时，计算 值并求和；当 时， 为常数，直接计算总和．最后将两部分总和相加． 【详解】解：∵ ， 分两种情况： 1．当 时，， ∴ ， 取1和2： 时，， 时，， ∴ 总和为 ； 2．当时，， ∴ ； 从3到，共个值，每个， ∴ 和为， 综上，． 故选：D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4．对一切实数，有成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， 所以， 设， 则， 由于， 所以，即， 因此，的最小值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 5．若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二次根式的性质，解二元一次方程组．根据二次根式的性质，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 即，， 则， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ， ∴，，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 （分层题型专练） 题型一 利用二次根式的乘法法则计算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 3． ． 4．计算： ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 利用二次根式的除法法则计算 1．计算：（   ）. A． B． C． D． 2．化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3． ． 4．计算： ． 5．计算：÷． 6．计算： (1)． (2)（）． 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 2．计算结果为（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．计算：． 5．计算：． 题型四 判断是否是最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．任意写出一个最简二次根式 ． 4．在，，，，中最简二次根式有 个． 题型五 将二次根式化为最简二次根式 1．把下列根式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 2．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 题型一 二次根式乘除法的应用 1．已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 2．已知长方体的体积，高，求它的底面积S． 3．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D；再以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为10，则△ADM与△CDM的面积之差为（    ） A．5 B．4 C． D．不确定 5．如图，在中，，平分与相交于点，若，，则的长是(        ) A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（    ）． A．3 B．2张 C．1张 D．0张 7．已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 8.小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 9．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 题型二 二次根式中的新定义问题 1．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型三 二次根式的估算 1．估算的运算结果应在（    ） A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间 2．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．估计的值为（     ） A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4 4．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．估算的运算结果应在（   ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 6．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 题型四 二次根式乘除法中的代数式求值 1．若a＝2+，b＝2-，则ab＝（    ）． A．1 B．2 C． D．2 2．若与互为相反数，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 1．化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 2．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 4．对一切实数，有成立，则的最大值为 ． 5．若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $