19.1 二次根式及其性质（分层题型专练，4夯基题型+6进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 （分层题型专练） 题型一 二次根式的判断 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 3．下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 4．请任意写一个二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 5．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 题型二 根据二次根式有意义的条件求字母的值或取值范围 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2．能使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此，即可作答． 【详解】解：∵要使成立， ∴， 解得， 故选：A． 3．若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：若是二次根式，则被开方数需满足， 选项A、B、D均满足，此时属于二次根式，不符合题意； 选项C为负数，不满足，此时没有意义，不属于二次根式． 故选：C． 4．请任意写出一个能使有意义的m值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得． 因此，任意取的一个值即可，例如． 故答案为：（答案不唯一）． 5．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 题型三 根据条件求二次根式的值 1．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 4．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 5．当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 6．当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】直接把的值代入进而得出答案． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 7．若二次根式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 8．当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 9．若的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 题型四 化简简单的二次根式 1．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 2．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键． 先计算根号内的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵先计算根号内的式子：， ∴原式． ∵算术平方根的结果是非负的， ∴． 故选：B． 3．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：、无意义，故 错误； 、，故 正确； 、，故 错误； 、，故 错误； 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简二次根式即可． 【详解】， 故答案为：． 6．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 7．化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，利用二次根式性质进行化简，即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型一 二次根式中的最值问题 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 2．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 3．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 4．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 5．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 题型二 利用二次根式的性质求参数的取值范围 1．如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 2．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把式子化为，再根据二次根式的性质得出，求出即可． 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，，当时， 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 题型三 利用二次根式的性质进行较复杂的化简 1．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 2．化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 3．已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键． 根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 原式． 故选：C． 4．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．已知，则简化的结果是（    ） A．-3 B．3 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简；由，再结合x的范围化简绝对值，最后进行合并计算即可. 【详解】解： ∵ ∴，， ∴. 故选：C. 6．当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．化简：________． A．3 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意得，，则，据此即可化简二次根式． 【详解】解：由题意得，，则， ， 故选：A． 题型四 二次根式中的代数式求值 1．已知，则的平方根为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的被开方数要大于等于0，代数式求值，正确求出x、y的值是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出 x 的值，进而得到 y 的值，然后计算 并求其平方根． 【详解】∵ 使 和 有意义，需 且 ， ∴ 且 ， ∴ ． 当 时，． ∴ ． ∴ 的平方根为 ． 故选D． 2．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算． 3．若，则的值是（   ） A．5 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出的值，是解答本题的关键． 利用二次根式有意义的条件，得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定，代入原方程求出，最后计算的值． 【详解】解：∵和在实数范围内有定义， ∴且， ∴且， ∴． 代入原方程： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 5．设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 6．已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【详解】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键． 7．已知有理数满足，则的值是 . 【答案】 【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为有理数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键． 8．已知a，b都是实数，，则ab的值为 ． 【答案】-1 【分析】先根据二次根式的定义求解a，从而确定出b，代入求解即可． 【详解】根据二次根式的定义：，解得：， ∴， 代入原式得：， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查二次根式的定义，理解被开方数为非负数是解题关键． 9．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练二次根式有意义的条件：被开方数非负． 二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，再求解，即可求解的值． 【详解】解：由题意得， ， 解得， 代入原式，， 因此， 故答案为：． 10．若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解： 中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 11．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y的值，最后计算． 【详解】解：由二次根式的定义有意义的条件得且， 解得， 代入原式，得， 所以． 故答案为：4． 题型五 “0+0=0”模型中的求值问题（非负性问题） 1．若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性，二次根式的非负性求出a和b的值，再计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 2．等腰三角形的两边a，b满足，则它的周长是（   ） A．17 B．13或17 C．13 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键． 根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可； 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵a，b是等腰三角形的两边， ∴当为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系， 此时三角形的周长； 当为腰时，三边为3，3，7，由于，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17． 故选：A． 3．若实数x、y满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式及绝对值的非负性，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性是解决本题的关键． 根据二次根式及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得． 【详解】解：实数x、y满足， ，， 且， 解得且， 当，时，， 当，时，， 故的值为0或， 故选：D． 4．若，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键． 5．已知，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质和算术平方根的计算． 根据算术平方根和平方的非负性，它们的和为零时，每个都必须为零，从而求出x和y的值，再计算，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 题型六 二次根式与数轴结合进行化简 1．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 【详解】解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 2．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式， 先根据数轴的定义得出，，再根据绝对值的意义，二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：，，， 故． 故答案为：． 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 5．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简．由数轴可得，则，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，数轴，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据、、在数轴上对应点的位置，确定相关算式的正负，利用立方根，算术平方根，绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵有理数、、在数轴上的对应点如图， ∴， ∴ ． 故答案为：． 1．化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合完全平方公式化简二次根式． 【详解】解： 由有意义，得，即 ， ∵， ∴． 又∵， ∴原式． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子． 2．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键． ，然后根据与2的大小关系分两种情况讨论：当 时，计算 值并求和；当 时， 为常数，直接计算总和．最后将两部分总和相加． 【详解】解：∵ ， 分两种情况： 1．当 时，， ∴ ， 取1和2： 时，， 时，， ∴ 总和为 ； 2．当时，， ∴ ； 从3到，共个值，每个， ∴ 和为， 综上，． 故选：D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4．对一切实数，有成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， 所以， 设， 则， 由于， 所以，即， 因此，的最小值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 5．若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二次根式的性质，解二元一次方程组．根据二次根式的性质，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 即，， 则， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ， ∴，，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 （分层题型专练） 题型一 二次根式的判断 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．请任意写一个二次根式： ． 5．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 题型二 根据二次根式有意义的条件求字母的值或取值范围 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．能使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 4．请任意写出一个能使有意义的m值： ． 5．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 题型三 根据条件求二次根式的值 1．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．当时，二次根式的值是 ． 5．当时，二次根式的值是 ． 6．当时，二次根式的值是 ． 7．若二次根式的值为0，则的值为 ． 8．当 时，二次根式的值为0． 9．若的值为零，则的值是 ． 题型四 化简简单的二次根式 1．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 2．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 3．化简：（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．化简： ． 6．化简： ． 7．化简 ． 题型一 二次根式中的最值问题 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 3．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 5．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 题型二 利用二次根式的性质求参数的取值范围 1．如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型三 利用二次根式的性质进行较复杂的化简 1．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 2．化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 3．已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 5．已知，则简化的结果是（    ） A．-3 B．3 C．2 D．3 6．当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．化简：________． A．3 B． C． D．7 题型四 二次根式中的代数式求值 1．已知，则的平方根为（   ） A． B．8 C． D． 2．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 3．若，则的值是（   ） A．5 B．1 C． D．2 4．若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 5．设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 6．已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 7．已知有理数满足，则的值是 . 8．已知a，b都是实数，，则ab的值为 ． 9．若，则 ． 10．若为实数，且，则的值为 ． 11．若，则的值为 ． 题型五 “0+0=0”模型中的求值问题（非负性问题） 1．若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 2．等腰三角形的两边a，b满足，则它的周长是（   ） A．17 B．13或17 C．13 D．15 3．若实数x、y满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D．0或 4．若，则的立方根是 ． 5．已知，则的算术平方根为 ． 题型六 二次根式与数轴结合进行化简 1．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 5．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 6．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 1．化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 2．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 4．对一切实数，有成立，则的最大值为 ． 5．若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $