专题01 平行线中的拐点模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版七年级下册

该初中数学讲义以“平行线中的拐点模型”为核心，通过分类框架图系统梳理猪蹄、铅笔头、锯齿、牛角四大模型，从基本结构、核心性质到辅助线技巧层层递进，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于融合数学史与生活案例，如克莱因拐点发现、隈研吾建筑设计应用，真题与模型结合，例题如滑雪杖角度计算，培养几何直观与推理能力，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

专题01 平行线中的拐点模型 平行线中的拐点模型（也称为“铅笔头模型”或“M型模型”）是几何中常见的辅助线构造方法，主要用于解决平行线间角度的转换问题。 基本结构 两条平行线（如AB∥CD）被一条折线（如EFG）所截，在折线转折处形成“拐点”（如点F）。 核心性质 角度和关系：拐点处两侧的角互补，即同侧内角之和为180°。 辅助线技巧：通过拐点作平行线的平行线（即“拆解拐点”），可将复杂角度关系转化为“三线八角”基本模型。 常见结论 若拐点朝左（如“Z”型），则∠BEF + ∠DFG = ∠EFG； 若拐点朝右（如“反Z”型），则∠BEF - ∠DFG = ∠EFG（具体符号需结合图形方向）。 应用场景 用于证明角度关系、求解未知角或线段长度，尤其在复杂图形中能简化问题。 示例辅助线作法：过拐点F作AB的平行线FH，则∠EFH = ∠BEF，∠GFH = ∠DFG，从而建立角度联系。 掌握这一模型的关键是灵活添加辅助线，将拐点问题转化为平行线的基本性质应用。 3 模型趣事 3 真题现模型 4 提炼模型 6 模型扩展 8 模型应用 9 模型1.“猪蹄”模型 9 模型2.“铅笔头”模型 13 模型3.“锯齿”模型 17 模型4.“牛角”模型 20 26 【数学史上的巧合发现】 1896年，德国数学家克莱因在观察铁轨分叉时，偶然发现当两条平行铁轨被第三根斜向铁轨连接时，形成的几何关系具有特殊性质。他在咖啡厅用方糖搭建模型时，邻桌的工程师惊呼："这正是我们道岔设计的数学原理！"这个意外发现后来被称作"克莱因拐点"，成为铁路工程与几何学的跨界经典。 【生活中的智慧应用】 2015年，日本建筑师隈研吾在设计"长城脚下的公社"时，巧妙运用拐点模型解决了一个难题：如何让两排平行建筑的走廊自然衔接。他受折纸启发，在模型中加入15度转折角，既保持视觉连贯性又满足消防规范。施工队起初质疑这个设计，直到模型演示时，工头看着阳光透过转折处形成的光斑轨迹，感叹道："数学原来可以这么美！" 【课堂上的思维火花】 北京四中李老师曾用这个模型设计过一堂经典几何课。她让学生用吸管制作拐点模型时，小明突然发现："老师，这像不像地铁换乘通道？"这个意外联想让全班展开了激烈讨论，从建筑结构谈到城市交通规划。最有趣的是，课后学生们自发用模型解释校园小路为什么要设计成"之"字形，校长听后当即采纳建议改造了教学楼通道。 1．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 2．（2025·江西九江·模拟预测）如图①是一个笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图可以抽象成图②，点处可转动，点固定在支架上，且分别是的中点，点可分别在上滑动，支撑架．证明之间的数量关系． 1. “猪蹄”模型 2. “铅笔头”模型 3.“锯齿”模型 4.“牛角”模型 模型1.“猪蹄”模型 例1如图，直线，，，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 例2在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 例3将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件： ，； ； ； ； ．能判断直线的有 （填序号）． 例4【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 模型2.“铅笔头”模型 例1如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 例3【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 模型3.“锯齿”模型 例1（如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 例2根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 例3如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 模型4.“牛角”模型 例1如图，，，，则 ． 例2【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 例3已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 1．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 2．某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于 ． 3．如图，分别平分，则 ． 4．如图，已知，，． (1)尺规作图：在内部（其中）作一条射线，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问作图的基础上求的度数，请完成以下推理过程． 解：，（已知） （等量代换） ∴①（内错角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴（②） ∴（两直线平行，同旁内角互补） （已知） ∴③（等式的性质） ∴④ 5．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 6．【感知】（1）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．如图①，当点在过点和点的直线的左侧时，求与的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作． （      ） ∵（      ）， ∴（      ） （      ）． 【探究】（2）如图③，当点在过点和点的直线的右侧时，其它条件不变，求与的和． 【拓展】（3）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．若的角平分线所在的直线交直线于点，且点在点左边，请借助图①和图③，直接写出的度数． 7．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 8．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 9．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 10．推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 11．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 12．综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴，（___________） ∵， ∴，（___________） ∴， ∴（___________） ∴． (2)方法运用：如图，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，、的角平分线相交于点， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 13．问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 14．（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 15．已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 16．如图1，点在直线上，点在直线上，过点作，点在与之间，连接． (1)若． ①求证：； ②如图2，若，，与交于点，，求的度数． (2)如图3，延长交于点，作的平分线，交于点，作的平分线，交于点，过点作，交于点．若，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 17．【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 18．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 19．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 20．已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 21．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 22．【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 23．如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 24．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线中的拐点模型 平行线中的拐点模型（也称为“铅笔头模型”或“M型模型”）是几何中常见的辅助线构造方法，主要用于解决平行线间角度的转换问题。 基本结构 两条平行线（如AB∥CD）被一条折线（如EFG）所截，在折线转折处形成“拐点”（如点F）。 核心性质 角度和关系：拐点处两侧的角互补，即同侧内角之和为180°。 辅助线技巧：通过拐点作平行线的平行线（即“拆解拐点”），可将复杂角度关系转化为“三线八角”基本模型。 常见结论 若拐点朝左（如“Z”型），则∠BEF + ∠DFG = ∠EFG； 若拐点朝右（如“反Z”型），则∠BEF - ∠DFG = ∠EFG（具体符号需结合图形方向）。 应用场景 用于证明角度关系、求解未知角或线段长度，尤其在复杂图形中能简化问题。 示例辅助线作法：过拐点F作AB的平行线FH，则∠EFH = ∠BEF，∠GFH = ∠DFG，从而建立角度联系。 掌握这一模型的关键是灵活添加辅助线，将拐点问题转化为平行线的基本性质应用。 3 模型趣事 3 真题现模型 4 提炼模型 6 模型扩展 8 模型应用 9 模型1.“猪蹄”模型 9 模型2.“铅笔头”模型 13 模型3.“锯齿”模型 17 模型4.“牛角”模型 20 26 【数学史上的巧合发现】 1896年，德国数学家克莱因在观察铁轨分叉时，偶然发现当两条平行铁轨被第三根斜向铁轨连接时，形成的几何关系具有特殊性质。他在咖啡厅用方糖搭建模型时，邻桌的工程师惊呼："这正是我们道岔设计的数学原理！"这个意外发现后来被称作"克莱因拐点"，成为铁路工程与几何学的跨界经典。 【生活中的智慧应用】 2015年，日本建筑师隈研吾在设计"长城脚下的公社"时，巧妙运用拐点模型解决了一个难题：如何让两排平行建筑的走廊自然衔接。他受折纸启发，在模型中加入15度转折角，既保持视觉连贯性又满足消防规范。施工队起初质疑这个设计，直到模型演示时，工头看着阳光透过转折处形成的光斑轨迹，感叹道："数学原来可以这么美！" 【课堂上的思维火花】 北京四中李老师曾用这个模型设计过一堂经典几何课。她让学生用吸管制作拐点模型时，小明突然发现："老师，这像不像地铁换乘通道？"这个意外联想让全班展开了激烈讨论，从建筑结构谈到城市交通规划。最有趣的是，课后学生们自发用模型解释校园小路为什么要设计成"之"字形，校长听后当即采纳建议改造了教学楼通道。 1．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过作直线，如图所示， ， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 2．（2025·江西九江·模拟预测）如图①是一个笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图可以抽象成图②，点处可转动，点固定在支架上，且分别是的中点，点可分别在上滑动，支撑架．证明之间的数量关系． 【答案】 【分析】分别过点作，则，利用平行线的性质推出，，即可得出结论； 【详解】解：如图，分别过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 1. “猪蹄”模型 2. “铅笔头”模型 3. “锯齿”模型 4.“牛角”模型 模型1.“猪蹄”模型 例1如图，直线，，，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等；过点作，由平行线的判定及性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：过点作，如图： 则， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 例2在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 例3将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件： ，； ； ； ； ．能判断直线的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意； 故答案为：． 例4【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 【答案】(1)，理由见解析 (2)58 【分析】（1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键． 模型2.“铅笔头”模型 例1如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 例2转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 例3【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 模型3.“锯齿”模型 例1（如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ， ， 即， ， ， 平分，平分， ，， ． 过点作， ， ， ，， ． 故答案为：142． 例2根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律． 例3如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 模型4.“牛角”模型 例1如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的概念，三角形外角的性质，解二元一次方程组．延长交于点，由平行线的性质，内错角相等，再根据邻补角和三角形外角的性质，结合已知条件，构造二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】如图：延长交于点 ∵， ， ， ，， ， 即， 解得：， 故答案为：． 例2【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 例3已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，即得，，由（）得，再根据已知得 ，即得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，可得，即得，，又根据角平分线的定义得，根据已知得，即得，进而得到，解之即可求解； 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， 由（）知，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键． 过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作， 直线， ， ， 等边三角形， ， ， ， ， 故选：B． 2．某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 根据题意，结合图形，得到，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到，则，最后． 【详解】解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 3．如图，分别平分，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 过点O作，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知，，． (1)尺规作图：在内部（其中）作一条射线，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问作图的基础上求的度数，请完成以下推理过程． 解：，（已知） （等量代换） ∴①（内错角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴（②） ∴（两直线平行，同旁内角互补） （已知） ∴③（等式的性质） ∴④ 【答案】(1)见解析； (2)①；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点E为圆心，任意长为半径画弧，交于M，交于N；以点为圆心，长为半径画弧，交于L；以点为圆心，长为半径画弧，交前弧于H，作射线即为所求； （2）根据内错角相等，两直线平行得到，然后根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得到，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：，（已知） （等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） （已知） ∴（等式的性质） ∴ 故答案为：①；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；③；④． 5．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线． （1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； （3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 6．【感知】（1）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．如图①，当点在过点和点的直线的左侧时，求与的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作． （      ） ∵（      ）， ∴（      ） （      ）． 【探究】（2）如图③，当点在过点和点的直线的右侧时，其它条件不变，求与的和． 【拓展】（3）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．若的角平分线所在的直线交直线于点，且点在点左边，请借助图①和图③，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点作平行线，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，已知条件，平行公理，进行作答即可； （2）过点作，根据平行线的性质，角的和差关系进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图②，过点作． （两直线平行，内错角相等） ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ． （2）如图③，过点作． ， ∵， ∴， ， ． （3）当点在过点和点的直线的左侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在过点和点的直线的右侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 7．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 8．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 9．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 10．推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 11．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得 ，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得 ， ， ． 12．综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴，（___________） ∵， ∴，（___________） ∴， ∴（___________） ∴． (2)方法运用：如图，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，、的角平分线相交于点， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换 (2)猜想，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照①求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 13．问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点E作，可得，从而得到，，即可解答； （3）分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图1，过点E作， ， ， ，， ； （3）解：如图2所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 如图3所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 综上所述，与α，β之间的数量关系为或． 14．（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又 的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 15．已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 16．如图1，点在直线上，点在直线上，过点作，点在与之间，连接． (1)若． ①求证：； ②如图2，若，，与交于点，，求的度数． (2)如图3，延长交于点，作的平分线，交于点，作的平分线，交于点，过点作，交于点．若，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线段最短，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则，所以，，又，则，所以，从而求证； 由①，知，所以，，则，，又，，所以，同知，从而求解； （）由平分，则设，，因为，所以，又，所以，由，得，即：，所以，根据平分，得，最后根据“垂线段最短”即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ， ，， ， 又， ， ， 即； ②由①，知， ，， ，， ， ，， 同①，知， ； （2），理由如下： 平分， 设，， ， ， ， ， ， ，即：， ， 平分， ， 根据“垂线段最短”， ． 17．【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 18．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，，理由见解析 （4），证明见解析 【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键． （1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度； （2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为； （3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值； （4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，，理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， 即； （4）设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，,， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴x． ∵， ∴． ∴x． ∴． 19．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． (1)过点作，根据平行线的性质可知求出结果； (2)根据旋转的速度和时间可知，根据平行线的性质可得，根据同位角相等，两直线平行可知； (3)当时，要分射线绕点旋转小于和大于两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ； （2）， 理由如下， 射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）如图所示，当射线绕点旋转小于时， ，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得：， 如图所示，当射线绕点旋转大于时， ，，，， ，， ，， ∴， 又， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 20．已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 22．【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判定填空作答即可． （2）因为平分，平分，所以，，根据（1）的，，进行角的等量代换，即可作答． （3）先根据平分，平分，所以，，因为，得，再结合以及（1）的结论进行角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）证明：过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，平行于同一直线的两直线平行，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴由（1）可得，， ∴； ∴的度数为． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴由（1）可得． ∴ ． ∴， ∴． 23．如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴； ②由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 24．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $