专题 8.2（3） 特殊平行四边形——正方形（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.2（2） 特殊平行四边形——正方形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】正方形定义 1 ★【题型 1】利用正方形的定义进行证明或求值 2 【知识点二】正方形的性质 4 ★【题型2】利用正方形的性质求值证明 4 ★★【题型3】利用正方形的性质求值证明 9 【知识点三】正方形的判定 15 ★【题型 4】正方形性质与判定理解 15 ★【题型 5】正方形的判定 17 ★★【题型 6】正方形的判定综合 20 ★★【题型 7】正方形的性质与判定综合 24 ★★【题型 8】特殊平行四边形性质与判定综合理解 27 ★★【题型 9】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 34 ★★★【题型 10】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 43 二.中考真题 50 （一）单选题（6题） 50 （二）填空题（6题） 58 （三）解答题（4题） 66 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】正方形定义 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如下图所示： ★【题型 1】利用正方形的定义进行证明或求值 【例题1】（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（    ） A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等 C．③对角线相等 D．④有一个角是直角 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握各个的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理进行求解． 解：解：A、有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法不正确，符合题意； D、有一个角为直角的菱形是正方形，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江西萍乡·月考）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合： ．（填序号） 【答案】①③④或②③④ 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解． 解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形； 由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形． 故能得到正方形的组合有①③④或②③④． 故答案为：①③④或②③④． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键． 解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 【知识点二】正方形的性质 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.即：正方形的四条边相等，四个角都是直角；正方形的对角线相等，且互相垂直平分. ★【题型2】利用正方形的性质求值证明 【例题2】（25-26九年级上·广东河源·月考）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． （1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本题的关键． 根据题意可证是等腰直角三角形，则即可求出的度数，再根据菱形的性质即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 利用正方形的性质证明，得到，进而得到，再利用正方形的面积公式计算即可． 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点是正方形边上一点（不与点，重合），连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）在上取一点F，使，连接，由正方形的性质就可以得出，就可以得出，根据就可以得出的值，就可以求出的值． （1）解：补全图形如下图： （2）解：在上取一点F，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ★★【题型3】利用正方形的性质求值证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在正方形中，，，将一块足够大的正方形纸板的直角顶点放在对角线的中点处，将纸板绕点旋转，纸板的两边分别交，于，两点． (1)当与不垂直时，求证：； (2)若，两点分别在线段和上移动，设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，中位线的判定与性质，函数解析式求解，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，证明，即可解答； （2）根据全等的性质可得，进而可表示出，过点作交于，证明是的中位线，可得，进而根据表示即可． （1）证明：如图，连接， ，， 是等腰直角三角形，， 点是的中点， ，，， ，即． ， ， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， 如图，过点作交于， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 即． 【变式1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，正方形ABCD的面积为4，分别取AB，BC，CD，DA的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．以此类推，正方形．的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由勾股定理求得，即可求得正方形与正方形的面积，然后得规律：正方形的面积为． 解：正方形的面积为4， ． 又分别是AB，BC，CD，DA的中点， ． 同理可得，， ， 四边形是边长为的正方形，其面积为． 同理可得，的面积为， 四边形的面积为． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质以及勾股定理，属于规律性题目，得到规律求正方形的面积是解题的关键． 【变式2】（2026·山东潍坊·二模）如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握正方形的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，与交于点，延长、交于点． (1)①依据题意补全图形； ②求的度数； (2)连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若，，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①根据要求画出图形； ②连接，过点A作于点，证明可得结论； （2）结论：利用等腰直角三角形，等腰三角形的性质证明即可； （3）如图2中，由题意，当点是的中点时，是的中位线，求出可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）解：①图形如图1所示： ②连接，过点A作于点 四边形是正方形， ，， ，P关于对称， 垂直平分线段， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）结论： 理由：如图1中，，P关于对称， ， ， ， ， ，， ， ； （3）如图2中，由题意，当点是的中点时，是的中位线， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 【知识点三】正方形的判定 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相等的平行四边形是正方形. ★【题型 4】正方形性质与判定理解 【例题4】（25-26九年级上·全国·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键． 解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】（2024八年级下·湖南怀化·竞赛）如图，已知四边形是平行四边形，要使它成为正方形，那么需要添加的条件可以是（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，根据平行四边形的性质结合正方形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 解：四边形是平行四边形， A. 则四边形是菱形， 再加上条件，四边形仍是菱形，故该选项不符合题意；     B. 则四边形是矩形 再加上条件，四边形仍是矩形，故该选项不符合题意； C. ，四边形是菱形，故该选项不符合题意；     D. 则四边形是菱形， 加上条件则四边形是正方形， 故选：D． ★【题型 5】正方形的判定 【例题5】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，对角线，相交于点，．不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查了正方形的判定．已知四边形是平行四边形且，根据已知条件判断四边形是菱形，再结合正方形的判定定理添加合适的条件． 因为四边形是平行四边形，，所以四边形是菱形， 由于正方形是特殊的菱形，当菱形满足有一个角是直角或对角线相等时，菱形即为正方形， 故添加的条件是：， 故答案为：（答案不唯一，正确即可）． 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 【变式3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． （1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． ★★【题型 6】正方形的判定综合 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证． （1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【答案】B 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法是关键． 根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形，再结合垂直可得菱形，最后对角线相等可得正方形． 解：∵ 四边形的对角线互相平分，   ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 平行四边形的对角线互相垂直， ∴ 该平行四边形是菱形， ∵ 菱形的对角线相等，   ∴ 该菱形是正方形． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，则下列说法中正确的是 ． ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是正方形； ③如果，则的最小值为； ④如果是的平分线，那么四边形是菱形． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答． 解：①∵， ∴四边形是平行四边形；故①正确； ②若，则平行四边形是矩形，不能得出四边形是正方形；故②错误； ③∵， ∴， ∵平行四边形是矩形， ∴， 当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确， ④若平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 则； 所以平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①③④． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 【答案】(1)见解析(2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形 (3)，详见解析 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键： （1）根据角平分线+平行线模型容易证明，根据等角对等边可得，同理可得，由此即可得出； （2）当O为中点时，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形． （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴. （2）解：当点O在边上运动到边中点时，四边形是矩形，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形， 故答案为：边中点． （3）解：当的，且O在中点时，四边形是正方形，理由如下， 由（2）得，四边形是矩形， ∵，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ★★【题型 7】正方形的性质与判定综合 【例题7】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）下列说法中，不正确的是（　　） A．菱形的对角线互相垂直 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形和正方形的性质与判定．菱形的对角线互相垂直，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，矩形的对角线相等，这些均正确．但有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，据此选出不正确的选项． 解：∵菱形的对角线互相垂直，∴A正确； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴B正确； ∵矩形的对角线相等，∴C正确； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴D不正确， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）下列说法中正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定定理， 根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐项判断正误即可． A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误； B．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误； C．有一组邻边相等的四边形不一定是正方形，如菱形、筝形等，故C错误； D．有三个角是直角的四边形，由于四边形内角和为360°，则第四个角也是直角，因此是矩形，故D正确； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西汉中·月考）已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，以及结合菱形的性质逐一判断即可． 解：如图，    A、由菱形可得，那么，则A选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； B、由菱形可得，则B选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； C、不能判定菱形是正方形，故不符合题意； D、由菱形可得，而，则，因为菱形对角线平分一组对角，则，故菱形是正方形，故符合题意； 故选：D． 【变式3】（23-24）八年级下·四川绵阳·期末）对课本中下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的个数有（    ） ①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形． ③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． ①平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形； ③首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则重叠部分为菱形； ④根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片． 解：①由题意得：，， ∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，故正确； ②∵两组对边的长度相等， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线相等， ∴此平行四边形是矩形， 对角线相等的四边形不一定是矩形，故错误； ③∵四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点D分别作，边上的高为，．如图所示： 则（两纸条相同，纸条宽度相同）； ∵平行四边形的面积， ∴． ∴平行四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故正确； ④根据折叠原理，对折后可得： 所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等， 所以可以裁出正方形纸片，故正确． 综上①③④正确， 故答案为：C． ★★【题型 8】特殊平行四边形性质与判定综合理解 【例题8】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形、正方形的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）如图：连接，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，正方形的性质作图即可． （1）解：如图：连接， 根据勾股定理得，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：如图所示，取格点四边形或四边形， 或 四边形：根据格点可得四边形是平行四边形， ∴对角线相互平分，交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； 四边形，连接， ∵， ∴， ∴即为所求； 根据格点图示，可得点到的高为， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若点在线段上，，则的最小值为________． 【答案】(1)正方形，见解析 (2) 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识． （1）根据旋转的性质得到，．证明四边形是平行四边形．由即可证明四边形是正方形； （2）作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值，根据勾股定理进行解答即可． （1）解：四边形是正方形， 理由：由旋转得，． ． ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． ， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：. 【变式3】（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． （1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． ★★【题型 9】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题9】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． （1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明四边形是正方形是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为 （2）当点P运动的路程为 时，三角形的面积为． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的实际运用，以及三角形的面积计算公式来研究动点问题． （1）的长度为x，则，根据的面积正方形的面积的面积的面积的面积即可求出； （2）根据第（1）问，令求解即可． 解：（1）∵正方形的边长为1，E为的中点， ∴，， ∵的长度为x， ∴， ∴的面积＝正方形的面积的面积的面积的面积 ， 即； （2）∵的面积为， ∴， 解得， 当点P运动的路程为时，的面积为． 故答案为：，． 【变式3】（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2)平分；见解析 (3) 【分析】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． （1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． ★★★【题型 10】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题10】（25-26九年级上·广西贺州·期末）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 【答案】(1)； (2)四边形的形状是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，； （2）根据折叠的性质得，，，再根据矩形的性质得，则，进而推出，证明四边形是平行四边形，再由可得四边形是菱形； （3）如图，连接，，先根据折叠的性质得，，证明四边形是正方形，得，再根据折叠的性质和矩形的性质推出，然后证明得，即，即可得出结论． （1）解：∵把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处， ∴，， 故答案为：；； （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 根据折叠的性质得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）证明：如图，连接，， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处， ∴，， ∵是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，含度角的直角三角形的性质，作角平分线勾股定理．根据四边形是矩形，和，可得是等边三角形，由作图过程可得，是的平分线，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而证明，根据，建立方程，解方程，即可求解． 解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由作图过程可知： 是的平分线， ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点和点分别在正方形纸片的边和上，连接，，沿所在直线折叠该纸片，点恰好落在线段上的点处．若正方形纸片的边长为12，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证明，得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，最后通过线段的和差关系得到的长． 解：设与的交点为，如图． 四边形为正方形， ，． 由折叠的性质可知，，垂直平分， ，， ． 又， ． 在和中， ， ，． 在中，． ， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）已知四边形是正方形，点在直线上，连接．将沿所在直线折叠，点的对应点是，连接并延长交直线于点． (1)当点与点重合时，如图①，求证： (2)当点在的延长线上（如图②）或点在的延长线上（如图③）时，线段，，各有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)①当点在的延长线上时，． ②当点在的延长线上时，．证明见解析． 【分析】（1）由折叠可得，，，再根据四边形是正方形，可证，即可证明； （2）当点在的延长线上时：；延长到点，使，连接，需证，根据，得，即可得出，则，则，即可得出答案．当点在的延长线上时：，证法类似． （1）证明：由折叠的性质，得，，． 四边形是正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）解：①当点在的延长线上时，． 证明：延长到点，使，连接，如图①． 在和中， ， ，． ， ． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ． ②当点在的延长线上时，． 证明：在上取点，使，连接，如图②． 在和中， ， ，． 由折叠的性质可知，， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质以及翻折变换，是一道综合型的题目，证明三角形的全等是解题的关键． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质可求出，根据轴对称的性质可得，则，再求出，，即可求出答案． 解：正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：A． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹，由正方形的性质得，求出，，求出，根据图形得，根据得，可得点的运动轨迹是中平行于的一条线段，取的中点，连接交于点，根据三角形面积公式求出，得到，从而求出． 解：如图， 在正方形中，，， ； ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴由勾股定理得，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又 而， ∴， ∵动点P在内部及边界上运动， ∴点的运动轨迹是内部及边界上平行于的一条线段，则是等腰直角三角形，如图， 取的中点，连接交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P组成的图形长度为2， 故选：A． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． （二）填空题（6题） 7．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 9．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 11．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． （三）解答题（4题） 13．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 15．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． （1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由四边形 是正方形， 得，由 是等边三角形，得，得，进而即可得证； （2）先由等边三角形的性质，三角形的内角和及等角对等边证得，，再由，平分证得，得出，，，证得，进而即可得解． （1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， 为对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.2（2） 特殊平行四边形——正方形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】正方形定义 1 ★【题型 1】利用正方形的定义进行证明或求值 2 【知识点二】正方形的性质 3 ★【题型2】利用正方形的性质求值证明 3 ★★【题型3】利用正方形的性质求值证明 4 【知识点三】正方形的判定 5 ★【题型 4】正方形性质与判定理解 5 ★【题型 5】正方形的判定 6 ★★【题型 6】正方形的判定综合 7 ★★【题型 7】正方形的性质与判定综合 8 ★★【题型 8】特殊平行四边形性质与判定综合理解 9 ★★【题型 9】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 11 ★★★【题型 10】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 12 二.中考真题 14 （一）单选题（6题） 14 （二）填空题（6题） 15 （三）解答题（4题） 17 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】正方形定义 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如下图所示： ★【题型 1】利用正方形的定义进行证明或求值 【例题1】（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（    ） A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等 C．③对角线相等 D．④有一个角是直角 【变式1】（25-26九年级上·江西萍乡·月考）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合： ．（填序号） 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【变式3】（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【知识点二】正方形的性质 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.即：正方形的四条边相等，四个角都是直角；正方形的对角线相等，且互相垂直平分. ★【题型2】利用正方形的性质求值证明 【例题2】（25-26九年级上·广东河源·月考）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点是正方形边上一点（不与点，重合），连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形． (2)求的度数． ★★【题型3】利用正方形的性质求值证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在正方形中，，，将一块足够大的正方形纸板的直角顶点放在对角线的中点处，将纸板绕点旋转，纸板的两边分别交，于，两点． (1)当与不垂直时，求证：； (2)若，两点分别在线段和上移动，设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式． 【变式1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，正方形ABCD的面积为4，分别取AB，BC，CD，DA的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．以此类推，正方形．的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东潍坊·二模）如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．    【变式3】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，与交于点，延长、交于点． (1)①依据题意补全图形； ②求的度数； (2)连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若，，直接写出的长． 【知识点三】正方形的判定 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相等的平行四边形是正方形. ★【题型 4】正方形性质与判定理解 【例题4】（25-26九年级上·全国·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【变式3】（2024八年级下·湖南怀化·竞赛）如图，已知四边形是平行四边形，要使它成为正方形，那么需要添加的条件可以是（   ） A．且 B．且 C． D．且 ★【题型 5】正方形的判定 【例题5】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，对角线，相交于点，．不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是 ．（写出一个即可） 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ ★★【题型 6】正方形的判定综合 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，则下列说法中正确的是 ． ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是正方形； ③如果，则的最小值为； ④如果是的平分线，那么四边形是菱形． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ ★★【题型 7】正方形的性质与判定综合 【例题7】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）下列说法中，不正确的是（　　） A．菱形的对角线互相垂直 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）下列说法中正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【变式2】（25-26九年级上·陕西汉中·月考）已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24）八年级下·四川绵阳·期末）对课本中下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的个数有（    ） ①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形． ③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ★★【题型 8】特殊平行四边形性质与判定综合理解 【例题8】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若点在线段上，，则的最小值为________． 【变式3】（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． ★★【题型 9】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题9】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为 （2）当点P运动的路程为 时，三角形的面积为． 【变式3】（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． ★★★【题型 10】特殊平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题10】（25-26九年级上·广西贺州·期末）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点和点分别在正方形纸片的边和上，连接，，沿所在直线折叠该纸片，点恰好落在线段上的点处．若正方形纸片的边长为12，，则的长为 ． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）已知四边形是正方形，点在直线上，连接．将沿所在直线折叠，点的对应点是，连接并延长交直线于点． (1)当点与点重合时，如图①，求证： (2)当点在的延长线上（如图②）或点在的延长线上（如图③）时，线段，，各有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 2．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 （二）填空题（6题） 7．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 9．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 11．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 14．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 15．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 16．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $