【选择题专项】10基本不等式求最值-2026年江苏省职教高考《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年江苏省职教高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十）基本不等式求最值 1．下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】对A：当时，，故A项错误； 对B：当时，，故B项错误； 对C：当时，，故C项错误； 对D：恒成立，所以， 当且仅当时取等号，故D项正确. 故选：D. 2．若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据基本不等式凑系数法易得答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，时， 所以当且仅当时，的最大值为. 故选：A. 3．已知函数（，），若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据求出函数解析式，再根据基本不等式即可求的最大值. 【详解】函数（，）， 由可得， 因为，，根据基本不等式， 即，，当且仅当时，等号成立， 故最大值为； 故选：. 4．已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质和基本不等式求最值即可. 【详解】已知函数， 则，， 由得， 即， 所以， 根据基本不等式可知， 所以的最小值为. 故选：B. 5．已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．9 D．16 【答案】C 【分析】先根据对数函数的性质求解点A的坐标，再由基本不等式即可求解最小值. 【详解】函数的图象恒过定点， 所以令，即， 因为点在直线上， 所以，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. 6．已知函数（且）恒过定点P，且点P在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】由函数恒过定点，求出点的坐标，再将点代入直线方程，利用基本不等式求的最小值即可. 【详解】函数（且）， 当时，， 所以函数恒过定点， 又点P在直线上， 所以，又因为， 由基本不等式可得， ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．已知满足，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时， 有最小值. 故选：B . 8．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的化简运算和基本不等式即可解得. 【详解】由题，满足， 可化为， 则，即， 则，由基本不等式可得， 解得，故的最小值为，当且仅当时取等号. 故选：A 9．已知，直线，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据直线平行的条件得到关于的等式，再结合均值不等式求解即可； 【详解】因为直线，且， 所以，解得； 所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号； 故选：B 10．设实数，满足，则的最小值为（    ） A．13 B．15 C．18 D．22 【答案】D 【分析】先根据对数运算性质，得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】∵， 可化为，. ∴， 当且仅当时，等号成立. 所以最小值为22. 故选：D. 11．若两个正数满足，则的最小值是（   ）. A．1 B．2 C． D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， ， 当且仅当时取等号，此时最小值为， 故选：D. 12．设x，，，，若，，则的最大值为（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由得，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】由，得， 由，，可知，， 所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，此时， 则的最大值为2. 故选：A. 13．已知二次函数的值域为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的性质可得，，，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】∵二次函数的值域为， ∴且， ∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 14．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（   ） A． B．4 C．2 D．8 【答案】D 【分析】等式两边同时除以，结合基本不等式公式即可得解. 【详解】因为x，y为正实数，且，两边同时除以得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 15．已知，其中，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由已知，将看作为，再利用基本不等式可求解. 【详解】因为， ，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 即的最小值为4. 故选：B 16．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A．4 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式求得，然后利用基本不等式求解. 【详解】由题得，， 所以. 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 17．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据基本不等式求最值即可. 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 18．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求出的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】， 当且仅当等号成立. 因为对任意正数恒成立， 所以，即，解得. 则实数的取值范围是. 故选：A. 19．若实数满足，其中，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【分析】令，结合题意将变形成，利用均值不等式即可得解. 【详解】实数满足，其中， 令，则， 已知， 将变形为， 展开可得：， 对于，有， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值是5， 故选：. 20．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由对数的换底公式得到，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为， 所以由，得，且， 故，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 21．若正实数x，y满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意结合基本不等式即可得解. 【详解】正实数x，y满足， 令，则， ， 则， 由基本不等式可知，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，即的最小值是， 故选：. 22．已知直线：与直线：，且，则的最小值为（   ）. A．15 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】先根据两直线垂直的性质得出与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解. 【详解】已知直线与直线，且， 可得，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 23．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值等于（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】采用参数与变量分离，转化为最值问题，利用基本不等式可求解. 【详解】由，，不等式可化为 ， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 要使不等式恒成立，则有， 即m的最大值为. 故选：B 24．已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于0，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数函数恒过定点求得点，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，令，解得，则函数恒过点. 因为点在直线上，所以，即. 所以. 因为均大于，所以 . 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江苏省职教高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十）基本不等式求最值 1．下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 2．若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．已知函数（，），若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 5．已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．9 D．16 6．已知函数（且）恒过定点P，且点P在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 7．已知满足，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 9．已知，直线，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 10．设实数，满足，则的最小值为（    ） A．13 B．15 C．18 D．22 11．若两个正数满足，则的最小值是（   ）. A．1 B．2 C． D．9 12．设x，，，，若，，则的最大值为（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．已知二次函数的值域为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 14．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（   ） A． B．4 C．2 D．8 15．已知，其中，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A．4 B．9 C． D． 17．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 18．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．若实数满足，其中，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D．25 20．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 21．若正实数x，y满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 22．已知直线：与直线：，且，则的最小值为（   ）. A．15 B． C．12 D． 23．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值等于（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 24．已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于0，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $