10.4 三元一次方程组的解法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(人教版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦三元一次方程组的解法，通过足球联赛积分问题导入，引导学生列出含三个未知数的方程组，对比二元一次方程组，搭建从已知到未知的学习支架，梳理消元思想的延续与应用。 以类比二元一次方程组解法为核心，通过代入、加减消元将三元转化为二元再到一元，培养推理意识。结合三位数、植树等实际问题，强化模型意识与应用意识，助力学生掌握转化思想，提升教师教学效率与学生问题解决能力。

*10.4 三元一次方程组的解法 课题 三元一次方程组的解法 课型 新授课 教学内容 教材第107-111页的内容 教学目标 1.了解三元一次方程组，会解简单的三元一次方程组． 2.应用三元一次方程组解决简单的实际问题． 教学重难点 教学重点：会解简单的三元一次方程组，进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思路，灵活运用代入法，加减法等重要方法. 教学难点：根据方程组的特点，选择最合适的解法. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决．实际上，有不少问题含有更多未知数．我们看下面的问题： 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 自然的想法是，设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z， 根据题意，可以得到下面三个方程: x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2. 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢？又怎样求出这个方程组的解呢？(提示课题：三元一次方程组) 【师生活动】可引导学生分析题意，理清关系，让学生自己列出方程组，可能学生会列出二元或三元一次方程组，教师要引导学生比较，体会区别，合理选择． 2.类比探究，学习新知 【探究1】三元一次方程(组)有关概念 上例中得到方程组 【问题1】这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 【师生活动】①未知数的个数和方程都比二元一次方程组多一个； ②含有未知数的式子都是整式. ③含有未知数的项的次数都是1. 引出三元一次方程和三元一次方程组的概念： 【归纳】含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 【探究2】三元一次方程组的解法 引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法(代入消元、加减消元)，尝试对进行消元，从而解决问题． 解：把③分别代入①②，得 y+5z＝20，④ y+12z＝41.⑤ 解由④⑤组成的二元一次方程组，可以求出y和z，进而可求出x． 解上面的方程组时，你能先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？ (1)用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将③中x＝4z+2分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组； (2)用加减消元法：由于③式中没有含y，可以将①②两式联立相减，消掉y，再与③联立，从而得到关于x，z的二元一次方程组． 【问题2】上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系？解三元一次方程组的思路是什么？ 【师生活动】通过 “代入”或 “加减”进行消元，把 “三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 【归纳】解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数． (2)消元，得到一个二元一次方程组． (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值． (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解. 3.学以致用，应用新知 【例1】解三元一次方程组 解：②－①，得－2y＝4，解得y＝－2. 把y＝－2代入①，得x－2＋z＝4，即x＋z＝6.④ 把y＝－2代入③，得4x－4＋z＝17，即4x＋z＝21.⑤ 由④⑤组成一个二元一次方程组解得 所以原方程组的解是 【例2】一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数． 解：设原来的三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z， 根据题意，得解得 答：原来的三位数是287. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列四组数值中，为方程组的解的是( ) A. B. C. D. 答案：D （2）解方程组　 解：　 (3)解方程组 解： （4）某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组和的，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？ 解：设甲组植树x株，乙组植树y株，丙组植树z株． 由题意，得解得 答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株． 5.课堂小结，自我完善 回顾本节课的学习过程，并回答以下问题： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法； (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 6.布置作业 课本P109练习，P111练习1-2，习题10.4第1-5题． 通过生活中的实例，引导学生列出方程组，体会生活中还存在比两个未知量还多的情况．与二元一次方程(组)比较，体会三元一次方程(组)的概念． 结合实例，用类比法学习三元一次方程组的有关概念，由于内容比较容易理解，以谈话的方式解决即可. 类比二元一次方程组的解法，师生共同分析，得到三元一次方程组的解法，由学生独立尝试写出解答过程，结合板演规范并梳理解题步骤，让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”． 通过问题引导学生正确的思考方向，让学生理解其相同点,解法的一致性,鼓励学生总结归纳方法，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力. 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 体会三元一次方程组的不同解法之间的异同，增强思维的灵活性. 一个熟悉的数学场景，可以有效的激发学生的学习兴趣，感受生活中的数学，吸引他学生的求知欲. 让学生总结本节课的主要内容和思想方法． 板书设计 三元一次方程组的解法 1.三元一次方程组的概念 2.解三元一次方程组的一般步骤 提纲挈领，重点突出. 教后反思 通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $