第13卷 函数的基本性质-重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》，依据《2026年重庆市高等职业教育分类考试文化素质测试考试说明》及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》的第13卷。 重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》 第13卷 函数的基本性质 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1．已知是定义在上的奇函数，若，且对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质以及函数的周期性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 所以有，，又， 令，则， 又令，则， 所以. 故选：A. 2．已知函数，则＂且＂是＂函数为偶函数＂的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义与函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】易知的定义域为，关于原点对称， 若且，则函数， ，所以函数为偶函数，故充分性成立， 反之，若要使二次函数为偶函数， 则要使其对称轴为轴，即，即， 当时，函数也为偶函数，故必要性不成立. 所以＂且＂是＂函数为偶函数＂的充分不必要条件. 故选：A. 3．下列各个函数中，在其定义域内是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的单调性即可求出. 【详解】选项A.函数的定义域为，且，所以函数在上单调递增，符合； 选项B.函数的定义域为，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不符； 选项C.函数的定义域为，且，所以函数在上单调递减，不符； 选项D.的定义域为，其在上单调递减，不符. 故选：A. 4．下列函数中，既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性的定义和常见的几种函数的单调性逐项分析即可. 【详解】已知的定义域为， 则， 故不是偶函数，故A错误， 已知的定义域为， 则， 故不是偶函数，故B错误， 已知的定义域为， 则， 故是偶函数，图象开口向下， 在上是减函数，故C正确， 已知的定义域为， 则， 故是偶函数， 当时，，是增函数，故D错误， 故选：C. 5．下列函数在定义域上是增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的单调性逐项分析即可. 【详解】中，，则其在上为减函数，故A错误， 中，底数，则其在上为增函数，故B正确， 中，底数，则其在上为减函数，故C错误， 在上为单调递减，在上单调递增，故D错误， 故选：B. 6．已知奇函数在上是增函数，且在上有最大值4，最小值，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】利用单调性确定和的值，再根据奇函数的性质求解即可. 【详解】已知在上是增函数，且在此区间内最大值为4，最小值为. 因此：，. 因为函数是奇函数，所以，. 因此. 故选：A. 7．已知二次函数满足，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质确定二次函数的单调性，再由函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】由可知二次函数的对称轴为，且图象开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 故选：C. 8．是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，再将代入中求值即可. 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴， 又∵当时，， ∴， ∴. 故选：D. 9．已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性求出最大、最小值即可. 【详解】函数在上单调递增， 当时，，， 所以最大值与最小值之和为. 故选：B. 10．设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质以及函数图象确定不等式的解集. 【详解】因为 是偶函数，所以其图象关于 轴对称，如图，    从图象可知，当 时， 取值范围是：或 . ∴不等式 的解集为. 故选：A. 二、解答题（本大题共3小题，共40分） 11．已知函数. (1)求的值； (2)判断该函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)奇函数，理由见解析 【分析】（1）将代入函数解析式求值即可； （2）根据函数奇偶性的定义判断. 【详解】（1）由已知得 （2）函数为奇函数，理由如下： 由已知得的定义域为，关于原点对称， ， 为奇函数. 12．定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 (1)证明：函数在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明； （2）先利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行化简，然后通过换元法将问题转化为关于新变量的不等式恒成立问题，最后根据二次函数的性质求解实数的取值范围. 【详解】（1）设，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 令，，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）因为是奇函数，所以， 已知，则， 又因为在上单调递增，所以， 令，则不等式可化为对任意恒成立， 令，其对称轴为， 当，即时，，此时在上恒大于，符合题意； 当，即时，在上的最小值为， 要使对任意恒成立，则需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 13．如图所示，定义在的函数，其图像由一条线段和某个二次函数图像的一部分组成.    (1)求该函数的解析式； (2)根据图像，写出该函数的值域和单调减区间． 【答案】(1). (2)值域为，单调减区间为和. 【分析】（）根据图像结合待定系数法求出函数解析式即可得解. （）分析图像得出函数值域及单调减区间即可得解. 【详解】（1）当时，图像为二次函数图像的一部分， 顶点为，设， 将点代入可得，即， 当时，图像为一次函数图像的一部分，设， 将点，代入，解得， 即， 综上，函数的解析式为. （2）观察图像，函数的值域为，单调减区间为和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》，依据《2026年重庆市高等职业教育分类考试文化素质测试考试说明》及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》的第13卷。 重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》 第13卷 函数的基本性质 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1．已知是定义在上的奇函数，若，且对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则＂且＂是＂函数为偶函数＂的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 3．下列各个函数中，在其定义域内是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数在定义域上是增函数的是（     ） A． B． C． D． 6．已知奇函数在上是增函数，且在上有最大值4，最小值，则（    ） A． B．2 C． D．5 7．已知二次函数满足，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A． B． C． D． 10．设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（   ）．    A． B． C． D． 二、解答题（本大题共3小题，共40分） 11．已知函数. (1)求的值； (2)判断该函数的奇偶性，并说明理由. 12．定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 (1)证明：函数在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 13．如图所示，定义在的函数，其图像由一条线段和某个二次函数图像的一部分组成.    (1)求该函数的解析式； (2)根据图像，写出该函数的值域和单调减区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $