第5卷 充要条件-重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》，依据《2026年重庆市高等职业教育分类考试文化素质测试考试说明》及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》的第5卷。 重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，，，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，r是s的充要条件，则p是s的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“是等边三角形”是“是等腰三角形”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知p：，q：，则p是q的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知p：a是3的倍数，q：a是6的倍数，则p是q的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知：整数能被2整除，：是偶数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知四边形是有一个角为直角的平行四边形，四边形是矩形，则p是q的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、解答题（本大题共3小题，共40分） 11．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 12． 函数的图像关于直线对称的充要条件是什么？ 13．设，则“”是“”的什么条件？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》，依据《2026年重庆市高等职业教育分类考试文化素质测试考试说明》及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》的第5卷。 重庆市高职分类考试《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求得方程的根，再根据充分条件和必要条件的定义分析求解即可. 【详解】对于，解得：或， 所以当时，能推出，故充分性成立； 但当时，不一定能推出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．若，，，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据条件链，推导与的关系.​ 【详解】由和得与无必然推导关系， 且因和仅能说明和同指向，但无法反向推导， 故与无必然关系，故是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，r是s的充要条件，则p是s的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件及必要条件的定义即可得解. 【详解】根据题意可知，，，， 则无法推出，故充分性不成立； 无法推出，故必要性不成立， 所以p是s的既不充分也不必要条件， 故选：. 4．“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.​ 【详解】方程的解为：或. 若，则或，不一定有，充分性不成立； 若，则必有，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可.​ 【详解】若“”，则不一定有“”， 故充分性不成立， 若“”，则一定有“”， 必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．“是等边三角形”是“是等腰三角形”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据“等边三角形”与“等腰三角形”的关系，结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】等边三角形一定是等腰三角形， 所以“是等边三角形”能推出“是等腰三角形”，充分性成立， 但等腰三角形不一定是等边三角形， 所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”，必要性不成立， 故“是等边三角形”是“是等腰三角形”的充分不必要条件， 故选：A. 7．已知p：，q：，则p是q的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断．​ 【详解】，充分性成立； 但（可能，如），必要性不成立， 故p是q的充分不必要条件． 故选：A． 8．已知p：a是3的倍数，q：a是6的倍数，则p是q的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可.​ 【详解】3的倍数不一定是6倍数， P不能推出q，充分性不成立， 6的倍数一定是3的倍数， 能推出，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 9．已知：整数能被2整除，：是偶数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据偶数定义，判断“能被2整除”与“是偶数”的等价性，结合充要条件定义求解.​ 【详解】偶数的定义为“能被2整除的整数”，即“整数能被2整除”“是偶数”，故是的充要条件. 故选：C. 10．已知四边形是有一个角为直角的平行四边形，四边形是矩形，则p是q的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可.​ 【详解】根据矩形定义，可知四边形是有一个角为直角的平行四边形为矩形， 所以，， 故是的充要条件， 故选：C. 二、解答题（本大题共3小题，共40分） 11．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据充分不必要条件定义易得答案. 【详解】∵p是q的充分不必要条件， 且q：， ∴，∴， 故实数a的取值范围为. 12．函数的图像关于直线对称的充要条件是什么？ 【答案】 【分析】利用充要条件的概念及二次函数的性质求解. 【详解】∵函数的图像的对称轴为， ∴函数的图像关于直线对称的充要条件是，即. 经检验，当时，函数关于关于直线对称，充分性成立； 函数的图像关于直线对称，可得，必要性成立， 故函数的图像关于直线对称的充要条件是. 13．设，则“”是“”的什么条件？ 【答案】必要不充分条件 【分析】利用充要条件性质解题即可； 【详解】由，但，充分性不满足， 当时，，必要性满足， 则“”是“”的必要不充分条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $