专题 8.2（2） 特殊平行四边形——菱形（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.2（2） 特殊平行四边形——菱形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】菱形定义 1 ★【题型 1】利用菱形的定义进行证明或求值 2 【知识点二】菱形的性质 3 ★【题型2】利用菱形的性质求值证明 3 ★★【题型3】利用菱形的性质求值证明 6 【知识点三】菱形的判定 11 ★【题型 4】菱形性质与判定理解 11 ★【题型 5】菱形的判定 13 ★【题型 6】菱形的性质与判定综合 16 ★★【题型 7】菱形的性质与判定综合 20 ★★【题型 8】菱形、矩形性质与判定综合理解 24 ★★【题型 9】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 29 ★★★【题型 10】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 35 二.中考真题 46 （一）单选题（6题） 46 （二）填空题（6题） 49 （三）解答题（4题） 53 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】菱形定义 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ★【题型 1】利用菱形的定义进行证明或求值 【例题1】（2024·陕西咸阳·一模）如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式1】（24-25九年级上·全国·月考）如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中线，过点、分别作，，与交于点．求证：四边形是菱形． 【分析】本题考查了菱形的判定、直角三角形斜边中线性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得出，然后根据菱形的判定即可得出结论． 证明：∵，，  ∴四边形为平行四边形， ∵中，，为斜边边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形． 【知识点二】菱形的性质 菱形的四条边相等，对角线互相垂直. ★【题型2】利用菱形的性质求值证明 【例题2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质以及平行线的性质．通过作图条件得到边的关系从而判定菱形，再利用菱形性质和平行线性质求解角度是解题的关键． （1）根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，通过作图条件得出四条边相等来证明； （2）利用菱形的性质，先得出，再根据平行线的性质求出． （1）证明：由作图过程可知，， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， 【变式1】（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）如图所示，在菱形中，于点C．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，根据菱形的性质和三角形的内角和以及平行线的性质解答即可． 解：∵是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 【变式3】（2024·北京海淀·一模）如图，在中，O为的中点，点E，F分别在上，经过点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，．结合线段中点，得出，得证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． （2）先得出，结合菱形性质，在中，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． （1）证明：四边形为平行四边形， ． ，． 为的中点， ． ． ． ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． （2）解：为的中点，， ． 四边形为菱形， ． ． 在中，由勾股定理得． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ★★【题型3】利用菱形的性质求值证明 【例题3】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，四边形是菱形，，交于点，于点． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）由菱形的性质及勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式可得出答案； （2）根据菱形的对角线互相平分可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角得到，根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据等角的余角相等证明即可． （1）解：四边形是菱形， ，，， ∵，， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 又， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质． 根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案． 解：菱形沿折叠，落在边上的点处， ，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，可证，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，，为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． （1）证明：∵由绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 【知识点三】菱形的判定 四边相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ★【题型 4】菱形性质与判定理解 【例题4】（25-26九年级上·广东佛山·月考）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）关于矩形和菱形的性质，矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．2条对称轴 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 由矩形和菱形的性质可求解． 选项A：矩形的对称轴是连接对边中点的两条直线，菱形的是两条对角线，两者均有2条对称轴，因此A不符合条件； 选项B：菱形的对角线一定互相垂直，而矩形的对角线仅在为正方形时垂直，因此B是菱形的性质，排除； 选项C：矩形的对角线一定相等，而菱形的对角线仅当其为正方形时才相等，因此C是矩形具有而菱形不一定具有的性质； 选项D：菱形的对角线平分一组对角，而矩形的对角线不会平分对角（除非是正方形），因此D是菱形的性质，排除； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·新疆巴州·期中）下列四个命题正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据特殊平行四边形的判定及性质，即可一一判定． 解：A．矩形的对角线互相平分且相等，但不互相垂直，故该选项错误，不符合题意； B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，有可能是梯形，故该选项错误，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项错误，不符合题意； D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定及性质，熟练掌握和运用特殊平行四边形的判定及性质是解决本题的关键． 【变式3】（2025九年级上·重庆·专题练习）下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质． 根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形、以及矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直判断即可． 解：A、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故对角相等，不符合题意； B、菱形对角线垂直，矩形对角线相等，但不一定垂直，符合题意； C、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故邻角互补，不符合题意； D、矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直，但不一定相等，不符合题意， 故选：B． ★【题型 5】菱形的判定 【例题5】（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理，掌握由平行四边形证明矩形的方法是解题关键． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 解：在平行四边形中， 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，这是平行四边形固有的性质，不能作为判定矩形的额外依据，故错误； 当，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线；先根据矩形的性质得到四个角是直角，根据三个是直角的四边形是矩形，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质得到线段的长度，进而运用勾股定理即可解决问题； 解：如图，延长交于点， 在正方形中， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 同理得：四边形是矩形， 四边形是矩形； ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， 在中， ∴， 故答案为：5． 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，相交于点O，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)或（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定： （1）利用证得，进而可得，进而可求证结论； （2）根据菱形的判定定理，增加一个条件即可； 熟练掌握平行四边形的判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． （1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加的条件为：， 由（1）得：四边形是平行四边形， 是菱形． 添加的条件为：， 由（1）得：四边形是平行四边形， 是菱形． ★【题型 6】菱形的性质与判定综合 【例题6】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若 ，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质，得到，可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质，菱形的性质解答即可． 本题主要考查矩形的判定，平行四边形、菱形的性质，菱形面积的求法，解题的关键是熟记矩形的各种判断方法． （1）证明：四边形是矩形．理由如下： ∵为菱形对角线的交点， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 【变式2】（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【答案】①（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明即可． 解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：①． 【变式3】（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． （1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． ★★【题型 7】菱形的性质与判定综合 【例题7】（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）先证明四边形是菱形，再根据勾股定理可得，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． （1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点，若，则平行四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理，先根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理得出为直角三角形，，从而得出，证明四边形为菱形，再求出四边形的面积即可． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 故答案为：24． 【变式3】（23-24八年级下·北京·月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点，、分别是，的中点，连接，．    (1)根据题意，补全图形； (2)求证：； (3)若，，．求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定． （1）根据题意即可补全图形； （2）根据平行四边形的性质证明即可得结论； （3）证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式求解即可． （1）解：如图，即为补全的图形，    （2）证明：是平行四边形， ，（平行四边形的对角线互相平分）， ，分别是，的中点， ， 又， ， ； （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴四边形的面积为． ★★【题型 8】菱形、矩形性质与判定综合理解 【例题8】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． （1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等面积法进行求解即可． （1）证明：在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵， ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24； （3）∵，，， ∴， 设平行线与间的距离为， 则， 解得． 故答案为；． ★★【题型 9】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 【例题9】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图1，在中，．求作：矩形． 小明的作法：(如图2) （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 (1)如图2，请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． (2)如图2，直线分别交，于点，，连接，，当，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）由题意可知垂直平分，则，结合得出四边形为平行四边形，又，即可得证四边形是矩形； （2）先证明四边形为菱形，然后根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． （1）证明：由题意可知垂直平分， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形． （2）解：∵， ，且， ． ， ， 四边形为菱形， 设，则， 在中，根据勾股定理， ，解得， ， 四边形的周长为． 【变式1】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，若，，则矩形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解矩形的性质，线段垂直平分线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 设与交于点，连接，，根据线段垂直平分线的定义得，，进而证明和全等得，由此可得四边形是菱形，则，继而得，然后根据勾股定理求出，即可得出矩形的周长． 解：设与交于点，连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴矩形的周长为：， 故答案为：． 【变式3】（2024吉林·中考模拟）如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②． (1)求证：四边形是菱形； (2)四边形的周长为______； (3)将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)矩形周长为或 【分析】（）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可； （）先证明四边形是菱形，再根据边长，即可得到四边形的周长； （）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长即可． （1）证明：∵矩形，， ∴，，， 由平移可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点， ∴中，， 又∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接， 由平移可得，，， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， 由（）可得，， ∴四边形是菱形， ∵， 则由勾股定理得： ， ∴四边形的周长为， 故答案为：； （3）解：将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下： ∴矩形的周长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． ★★★【题型 10】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 【例题10】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）实践操作 (1)在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质可得，，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，再求出，再利用勾股定理即可求解；②根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． （1）解：①∵在矩形纸片中，， ∴，， 由折叠的性质得到， ∴， ∴， ∴； ②解：由折叠得，， 矩形的对边， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2）解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据折叠和矩形的性质即可证明，即可判断①；先判断四边形是平行四边形，再根据判断四边形是菱形，即可判断②；点与点重台时设，表示出，利用勾股定理解出，进而求出即可判断③；当过点时，求出四边形面积的最小值，当与重台时，求出四边形面积的最大值，即可判断④． 解：①∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠可得， ∵， ∴，故①正确； ， ， 根据折叠得， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为菱形，故②正确，符合题意； 当点与重合时，如图所示 设，则． 在中，，即， 解得：． ， ， 又∵四边形为菱形， ， ， 故③错误，不符合题意； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴，故④正确，符合题意． 故正确的是①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，交于点，连接，先证明，进而推出四边形为菱形，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 解：连接，交于点，连接， ∵菱形， ∴，，，， ∴即： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处． (1)F点的坐标为______，并求出线段的长； (2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标； (3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)，，， 【分析】（1）由，且，求出、的长，再由折叠的特征求出的长，由勾股定理求出的长即可得到点的坐标；过作交于，设长为x， 由折叠知，以此为等量关系列方程即可求得长度． （2）连结、分别交于点、，由为的中点，可求出点的坐标，用待定系数法求直线的解析式，得到点的坐标，再由点分别为、的中点求出点的坐标； （3）以点、、、为顶点的四边形是菱形，则，而点在轴上，点在上，可知点在直线上，由、以及折叠得，，按以为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点的坐标即可． （1）解：矩形的边、分别在轴、轴上，且， ，，，， ，且， ，， 由折叠得，， ， ， ， ． 如图1，过作交于， 则四边形，为矩形， 设长为x，则， ∴， ∵， ∴在中，， 由折叠可知， ， 解得：， ∴； （2）解：如图2，连结交于点， 由（1）得，，，， 四边形是矩形， 点分别为、的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ， 设，则，， ，， ； （3）解：由（1）得，，，，， 由折叠得，， ①当、为菱形的边时，则， 点在轴上，点在上， ∴如图3，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形， 则 ， ∴； 如图4，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形， 则； ②当为菱形的边，为菱形的对角线时，如图5，四边形为菱形， 连结，交于点，则垂直平分，且四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； ②当为菱形的对角线，为菱形的边时，如图6，四边形是菱形， 设， 作于点，则，，， ， 由，得， 解得，， ， ∴， 综上所述，，，，． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，中点坐标等，熟练掌握相关知识点，采用分类讨论的思想方法是解决问题的关键． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 3．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 6．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． （二）填空题（6题） 7．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 8．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 9．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理． 作交于I，根据菱形的性质可知，由作图可知平分，即，进而根据三角形面积公式计算即可． 如图，作交于I， ∵菱形， ∴，即， 由作图可知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可． 解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积； 故答案为：． 11．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． (1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)；射线平分 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定． （1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质． （2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论． （1）解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法， ∴射线平分． 故答案为：；射线平分． （2）证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵射线平分， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 15．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． （1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； （2）解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 16．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及对称轴的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． （1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.2（2） 特殊平行四边形——菱形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】菱形定义 1 ★【题型 1】利用菱形的定义进行证明或求值 2 【知识点二】菱形的性质 2 ★【题型2】利用菱形的性质求值证明 2 ★★【题型3】利用菱形的性质求值证明 3 【知识点三】菱形的判定 5 ★【题型 4】菱形性质与判定理解 5 ★【题型 5】菱形的判定 5 ★【题型 6】菱形的性质与判定综合 6 ★★【题型 7】菱形的性质与判定综合 7 ★★【题型 8】菱形、矩形性质与判定综合理解 8 ★★【题型 9】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 10 ★★★【题型 10】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 11 二.中考真题 12 （一）单选题（6题） 13 （二）填空题（6题） 14 （三）解答题（4题） 15 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】菱形定义 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ★【题型 1】利用菱形的定义进行证明或求值 【例题1】（2024·陕西咸阳·一模）如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【变式1】（24-25九年级上·全国·月考）如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中线，过点、分别作，，与交于点．求证：四边形是菱形． 【知识点二】菱形的性质 菱形的四条边相等，对角线互相垂直. ★【题型2】利用菱形的性质求值证明 【例题2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）如图所示，在菱形中，于点C．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【变式3】（2024·北京海淀·一模）如图，在中，O为的中点，点E，F分别在上，经过点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． ★★【题型3】利用菱形的性质求值证明 【例题3】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，四边形是菱形，，交于点，于点． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【知识点三】菱形的判定 四边相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ★【题型 4】菱形性质与判定理解 【例题4】（25-26九年级上·广东佛山·月考）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）关于矩形和菱形的性质，矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．2条对称轴 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【变式2】（23-24八年级下·新疆巴州·期中）下列四个命题正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【变式3】（2025九年级上·重庆·专题练习）下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 ★【题型 5】菱形的判定 【例题5】（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为 ． 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，相交于点O，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） ★【题型 6】菱形的性质与判定综合 【例题6】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若 ，，求菱形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【变式3】（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． ★★【题型 7】菱形的性质与判定综合 【例题7】（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点，若，则平行四边形的面积为 ． 【变式3】（23-24八年级下·北京·月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点，、分别是，的中点，连接，．    (1)根据题意，补全图形； (2)求证：； (3)若，，．求平行四边形的面积． ★★【题型 8】菱形、矩形性质与判定综合理解 【例题8】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． ★★【题型 9】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 【例题9】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图1，在中，．求作：矩形． 小明的作法：(如图2) （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 (1)如图2，请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． (2)如图2，直线分别交，于点，，连接，，当，时，求四边形的周长． 【变式1】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，若，，则矩形的周长为 ． 【变式3】（2024吉林·中考模拟）如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②． (1)求证：四边形是菱形； (2)四边形的周长为______； (3)将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长． ★★★【题型 10】菱形、矩形性质与判定综合求值证明 【例题10】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）实践操作 (1)在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处． (1)F点的坐标为______，并求出线段的长； (2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标； (3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 2．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 3．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 5．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 8．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ． 9．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ． 11．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 12．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 14．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． (1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． (2)求证：四边形是菱形． 15．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 16．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $